專題8.2成對數據的統計相關性（重難點題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·高二課時練習）對兩變量間的關系，下列論述正確的是（

）A．任何兩個變量都具有相關關系B．正方形的面積與該正方形的邊長具有相關關系C．農作物的產量與施化肥量之間是一種確定性關系D．一個學生的數學成績與物理成績之間是一種非確定性的關系【解題思路】由兩個變量之間相關關系與函數關系之間的定義及區別即可求解.【解答過程】解：對A：當兩個變量之間具有確定關系時，兩個變量之間是函數關系，而不是相關關系，所以A錯誤；對B：正方形的面積與該正方形的邊長之間是函數關系，所以B錯誤；對C：農作物的產量與施化肥量之間是相關關系，是非確定性的關系，所以C錯誤；對D：學生的數學成績與物理成績之間是相關關系，是非確定性的關系，所以D正確；故選：D.2．（3分）（2022·高二課時練習）下列說法正確的是（

）A．圓的面積與半徑之間的關系是相關關系B．糧食產量與施肥量之間的關系是函數關系C．一定范圍內，學生的成績與學習時間成正相關關系D．人的體重與視力成負相關關系【解題思路】函數關系是變量之間的確定關系，相關關系是變量之間確實存在關系但不具有確定性，據此判斷即可.【解答過程】解：對于A，圓的面積與半徑之間的關系是確定的關系，是函數關系，所以A錯誤；對于B，糧食產量與施肥量之間的關系是不是函數關系，是相關關系，所以B錯誤；對于C，一定范圍內，學生的成績與學習時間是成正相關關系的，所以C正確；對于D，人的體重與視力是沒有相關關系的，所以D錯誤.故選：C.3．（3分）（2022春·吉林長春·高二期中）在建立兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，它們的相關指數R2如下，其中擬合最好的模型是（

A．模型1的相關指數R2為0.98 B．模型2的相關指數R2C．模型3的相關指數R2為0.50 D．模型4的相關指數R2【解題思路】根據相關指數R2【解答過程】兩個變量y與x的回歸模型中，它們的相關指數R2在所給的四個選項中0.98是相關指數最大的值，最接近于1，所以擬合效果最好的模型是模型1.故選：A.4．（3分）（2022·高二課時練習）已知r1表示變量X與Y之間的線性相關系數，r2表示變量U與V之間的線性相關系數，且r1＝0.837，r2＝﹣0.957，則（

）A．變量X與Y之間呈正相關關系，且X與Y之間的相關性強于U與V之間的相關性B．變量X與Y之間呈負相關關系，且X與Y之間的相關性強于U與V之間的相關性C．變量U與V之間呈負相關關系，且X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性D．變量U與V之間呈正相關關系，且X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性【解題思路】根據線性相關系數|r|越接近1，表示兩個變量之間的相關性越強，線性相關系數r的正負表示兩個變量之間呈正相關關系或負相關關系.【解答過程】因為線性相關系數r1＝0.837，r2＝﹣0.957，所以變量X與Y之間呈正相關關系，變量U與V之間呈負相關關系，X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性.故選：C.5．（3分）（2023·全國·高三專題練習）下列命題中正確的為（）A．相關系數r越大，兩個變量的線性相關性越強 B．相關系數r越小，兩個變量的線性相關性越弱C．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 D．用相關指數R2來刻畫回歸效果，R【解題思路】根據“殘差”的意義、線性相關系數和相關指數的意義，即可作出正確的判斷．【解答過程】相關系數的絕對值r越接近于1，兩個變量的線性相關性越強，所以A，B錯誤；殘差平方和越小的模型，擬合的效果就越好，所以C正確；用相關指數R2來刻畫回歸效果，R故選：C.6．（3分）（2022春·陜西咸陽·高二階段練習）若已知i=1nxi?x2是i=1nyiA．21.2 B．1.2【解題思路】根據相關系數公式計算可得；【解答過程】解：r=i=1故選：B.7．（3分）（2023·全國·高三專題練習）相關變量x，y的散點圖如圖所示，現對這兩個變量進行線性相關分析．方案一：根據圖中所有數據，得到回歸直線方程y=b1x+a1，相關系數為r1；方案二：剔除點10,32，根據剩下的數據得到回歸直線方程A．0<r1C．?1<r1【解題思路】根據相關系數的意義：其絕對值越接近1，說明兩個變量越具有線性相關，以及負相關的意義作判斷即可.【解答過程】由散點圖可知這兩個變量為負相關，所以r1因為剔除點10,32后，剩下點的數據更具有線性相關性，r2所以?1<r2故選：D．8．（3分）（2022春·內蒙古赤峰·高二階段練習）給出下列結論：在回歸分析中（1）可用相關指數R2的值判斷模型的擬合效果，R（2）可用殘差平方和判斷模型的擬合效果，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好；（3）可用相關系數r的值判斷模型的擬合效果，r越大，模型的擬合效果越好；（4）可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高.以上結論中，不正確的是（

）A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）【解題思路】由R2越大，模型的擬合效果越好，R2越大，模型的擬合效果越好，相關系數【解答過程】用相關指數R2的值判斷模型的擬合效果，R用殘差平方和判斷模型的擬合效果，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故（2）不正確；可用相關系數r的值判斷模型的擬合效果，|r|越大，模型的擬合效果越好，故（3）不正確；用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高，故（4）正確；故選：B.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·高二課時練習）（多選）在下列各量之間，存在相關關系的是（

）.A．正方體的體積與棱長之間的關系B．一塊農田的水稻產量與施肥量之間的關系C．人的身高與年齡之間的關系D．某戶家庭用電量與電價之間的關系【解題思路】根據相關關系的定義直接判斷即可.【解答過程】A和D中均是確定性關系，是函數關系；相關關系是一種非確定的關系，一塊農田的水稻產量與施肥量有關，是相關關系，故B正確；人的身高與年齡有關，是相關關系，故C正確故選：BC.10．（4分）（2023·山西·統考一模）某同學用搜集到的六組數據xi,yii=1,2,?,6繪制了如下散點圖，在這六個點中去掉BA．決定系數R2變小 B．相關系數rC．殘差平方和變小 D．解釋變量x與預報變量y相關性變弱【解題思路】從圖中分析得到去掉B點后，回歸效果更好，再由決定系數，相關系數，殘差平方和和相關性的概念和性質作出判斷.【解答過程】從圖中可以看出B點較其他點，偏離直線遠，故去掉B點后，回歸效果更好，決定系數R2越接近于1，所擬合的回歸方程越優，故去掉B點后，R相關系數r越趨于1，擬合的回歸方程越優，故去掉B點后，故相關系數r的絕對值越趨于1，B正確；殘差平方和變小擬合效果越好，故C正確；解釋變量x與預報變量y相關性增強，D錯誤.故選：BC.11．（4分）（2022秋·江蘇南通·高三階段練習）對兩個變量x與y進行線性相關性和回歸效果分析，得到一組樣本數據:x1,yA．若所有樣本點都在直線y=?x+1上，則兩個變量的樣本相關系數為r=1B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．若r越大，則變量x與y的線性相關性越強D．若r越小，則變量x與y的線性相關性越強【解題思路】根據相關系數r的定義及其意義，對選項逐一判斷即可得到結果.【解答過程】當所有的樣本點都在直線y=?x+1上時，樣本點數據完全負相關，其相關系數r=?1，故A錯誤；殘差平方和越小的模型，R2相關系數r值越大，則變量x與y的線性相關性越強，故C正確；相關系數r越小，則變量x與y的線性相關性越弱，D錯誤；故選:AD.12．（4分）（2022·高二課時練習）某校高三1班48名物理方向的學生在一次質量檢測中，語文成績、數學成績與六科總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，“”表示的是該班甲、乙、丙三位同學對應的點.從這次考試的成績看，下列結論正確的是（

）A．該班六科總成績排名前6的同學語文成績比數學成績排名更好B．在語文和數學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是語文C．數學成績與六科總成績的相關性比語文成績與六科總成績的相關性更強D．在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其六科總成績名次靠前的學生是甲【解題思路】結合圖形可分析出答案.【解答過程】由圖可得，該班六科總成績排名前6的同學數學成績比語文成績排名更好，故A錯誤；由右圖可得丙同學的總成績排在班上倒數第三名，其語文成績排在250到300名之間，從左圖可得其數學成績排在400名左右，故B正確；數學成績與六科總成績的相關性比語文成績與六科總成績的相關性更強，因為右圖的點的分布較左圖更分散，故C正確；由左圖可得甲的總成績排在班上第7名，年級名次100多一點，對應到右圖可得，其語文成績排在年級近100名，故甲的語文成績名次比其六科總成績名次靠前，由左圖可得甲的總成績排在班上第27名，年級名次接近250名，對應到右圖可得，其語文成績排在年級250名之后，故乙的語文成績名次比其六科總成績名次靠后，故D正確；故選：BCD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·高二課時練習）有下列關系：①人的年齡與他（她）擁有的財富之間的關系；②學生與他（她）的學號之間的關系；③森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關系；④曲線上的點與該點的坐標之間的關系．其中有相關關系的是①③．（填上你認為正確的所有序號）【解題思路】根據相關關系的定義，逐一判斷即可.【解答過程】對于①，人的年齡與他（她）擁有的財富是一種不確定的相關關系；對于②，學生與他（她）的學號之間的關系是一種確定的對應關系，是映射，不是相關關系；對于③，森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關系是一種不確定的關系，屬于相關關系；對于④，曲線上的點與該點的坐標之間的關系是一一對應關系，不是相關關系．綜上，其中有相關關系的是①③．故答案為：①③．14．（4分）（2023·高二課時練習）對四組數據進行統計，依次獲得如圖所示的散點圖．關于其相關系數的大小比較，將0、r1、r2、r3、r4從小到大排列，應為【解題思路】根據散點圖直接求解即可.【解答過程】由散點圖可知0<r所以r2故答案為:r215．（4分）（2022·高二單元測試）變量X與Y相對應的一組數據為：(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應的一組數據為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示變量Y與X之間的線性相關系數，r2表示變量V與U之間的線性相關系數，是則r1與r2的大小關系是【解題思路】根據題意給的數據可知變量Y與X之間的正相關、變量Y與X之間的正相關，進而可得r1>0、【解答過程】由變量X與Y相對應的一組數據為：(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)．可得：變量Y與X之間的正相關，因此r1而由變量U與V相對應的一組數據為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，可知：變量Y與X之間的正相關，∴r因此r1與r2的大小關系是故答案為：r216．（4分）（2022·高二課時練習）某中學統計了2011~2021這11年本校學生參加高考數學均分、英語均分、總分均分，得到如表所示的表格：年份20112012201320142015201620172018201920202021數學x（分）7577797480817783808281英語m（分）959810010110210310198107106100總分y（分）473481479485490487478492488493489從表中可知，數學和英語這兩科中與總分相關性較高的是數學.【解題思路】根據相關系數公式計算可得.【解答過程】設數學學科和英語學科的相關系數分別為r1，r2，x=79，yi=111i=111i=111∴i=111xi?i=111i=111∴i=111mi?∵r1>r故答案為：數學.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022春·陜西咸陽·高一階段練習）判斷下列兩個變量之間是否具有相關關系：(1)月平均氣溫與家庭月用電量；(2)一天中的最高氣溫與最低氣溫；(3)某企業生產的一種商品的銷量與其廣告費用；(4)谷物的價格與牛肉的價格；(5)在公式LW=12中的L與W．【解題思路】根據相關關系的定義逐一判斷即可.【解答過程】(1)月平均氣溫的高低不受家庭月用電量的影響，兩個變量之間不具有相關關系；(2)一天中的最高氣溫不受最低氣溫的影響，兩個變量之間不具有相關關系；(3)企業生產的一種商品的銷量除了受其廣告費用影響，還受其它因素影響，比如商品的質量等，因此這兩個變量之間具有相關關系；(4)谷物的價格不受牛肉的價格影響，兩個變量之間不具有相關關系；(5)在公式LW=12中，給定L一個值，W有唯一確定的值與之對應，是函數關系，不具有相關關系.18．（6分）（2022·高二課時練習）某種機械設備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設備的使用年限x（單位：年）與失效費y（單位：萬元）的統計數據如下表所示：使用年限x（單位：年）24568失效費y（單位：萬元）34567根據上表數據，計算y與x的相關系數r，并說明y與x的線性相關性的強弱．（已知若0.75≤r≤1，則認為y與x線性相關性很強；若0.3≤r<0.75，則認為y與x線性相關性一般；若r<0.3，則認為y【解題思路】先求得y與x的相關系數r，再去判斷y與x的線性相關性的強弱．【解答過程】由題表知，x=15i=15i=15xi所以r=i=1因為0.75≤r≤1，所以認為y與x的線性相關性很強．19．（8分）（2022·高二課時練習）科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的樣本數據，如下表：x（年齡/歲）26273941495356586061y（脂肪含量/%）14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根據上表的數據得到下圖的散點圖．根據上表中的樣本數據及其散點圖，計算樣本相關系數（精確到0.01），并描述它們的相關程度．附：參考數據：y=27，i=110xiyi=13527.8參考公式：相關系數r=i=1【解題思路】先求得樣本相關系數，再去判斷它們的相關程度．【解答過程】根據題表中的樣本數據知，x=則樣本相關系數r==13527.8?12690由樣本相關系數r≈0.98，可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關程度很強．20．（8分）（2022·黑龍江哈爾濱·校考三模）“海水稻”就是耐鹽堿水稻，是一種介于野生稻和栽培稻之間的普遍生長在海邊灘涂地區，具有耐鹽堿的水稻，它比其它普通的水稻均有更強的生存競爭能力，具有抗澇，抗病蟲害，抗倒伏等特點，還具有預防和治療多種疾病的功效，防癌效果尤為顯著.海水稻的灌溉是將海水稀釋后進行灌溉.某試驗基地為了研究海水濃度x(‰)對畝產量y(噸)的影響，通過在試驗田的種植實驗，測得了某種海水稻的畝產量與海水濃度的數據如表.繪制散點圖發現，可用線性回歸模型擬合畝產量y與海水濃度x之間的相關關系，用最小二乘法計算得y與x之間的線性回歸方程為y=海水濃度xi34567畝產量yi0.620.580.490.40.31殘差e（1）請你估計：當澆灌海水濃度為8‰時，該品種的畝產量.（2）①完成上述殘差表：②統計學中，常用相關指數R2來刻畫回歸效果，R2越大，模型擬合效果越好，并用它來說明預報變量與解釋變量的相關性.你能否利用以上表格中的數據，利用統計學的相關知識，說明澆灌海水濃度對畝產量的貢獻率？（計算中數據精確到(附：殘差公式ei=y【解題思路】（1）根據題意，算出x,y，將樣本中心點x,y代入線性回歸方程為（2）根據線性回歸方程y=?0.08x+0.88和殘差公式ei=yi?y【解答過程】（1）根據題意，可得x=y=而y與x之間的線性回歸方程為y=則0.48=5b+0.88，解得：當x=8時，y=?0.08×8+0.88=0.24所以當海水濃度為8‰時，該品種的畝產量為0.24噸.（2）①由（1）知y=?0.08x+0.88根據殘差公式ei海水濃度xi34567畝產量yi0.620.580.490.40.31殘差e-0.020.020.010-0.01②根據題意，可得：R2=1?0.0004+0.0004+0.0001+0+0.0001所以澆灌海水濃度對畝產量的貢獻率是98%.21．（8分）（2023·河南·校聯考模擬預測）某學校組織學生觀看了“天宮課堂”第二課的直播后，極大地激發了學生學習科學知識的興趣，提高了學生學習的積極性，特別是對實驗操作的研究與探究.現有某化學興趣小組的同學在老師的指導下，開展了某項化學實驗操作，為了解實驗效度與實驗中原料A的消耗量（單位：g）的關系，該校實驗員隨機選取了10個小組的實驗數據如下表.小組編號i12345678910總計實驗效度x0.50.60.50.70.80.60.60.80.50.46原料A的消耗量y1.31.31.31.61.81.51.51.71.61.415并計算得i=110(1)求這10個小組的實驗效度與實驗中原料A的消耗量的平均值；(2)求這10個小組的實驗效度與實驗中原料A的消耗量的相關系數（精確到0.01）；(3)經該校實驗員統計，以往一個學年各種實驗中需用到原料A的實驗有200次左右.假設在一