1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個

向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝

.(2)基底：若e1，e2不共線，我們把

叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．不共線λ1e1＋λ2e2{e1，e2}2．平面向量的坐標運算(1)平面向量運算的坐標表示(2)平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則向量a，b共線的充要條件為____________.x1y2－x2y1＝01．(人教A版必修第二冊P29·例4改編)已知a＝(3,6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，則b＝

(

)A．(1,2) B．(－1，－2)C．(－1,2) D．(1，－2)答案：B3．(2021·全國乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝________.層級一/基礎點——自練通關(省時間)基礎點平面向量的坐標運算

[題點全訓]4．已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，則實數m＝________.[一“點”就過]利用向量的坐標運算解題時，首先利用加、減、數乘運算法則進行運算，然后根據“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則，轉化為方程(組)進行求解．[方法技巧](1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的．

[方法技巧]平面向量共線的坐標表示問題的解題策略(1)已知兩向量共線，求某些參數的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”．(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)．

2．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，則角C＝________.在向量問題中想不到應用坐標法解題——————————————————————————————————本題先通過建立平面直角坐標系，引入向量的坐標運算，然后用三角函數的知識求出λ＋μ的最大值．引入向量的坐標運算使得本題比較容易解決，體現了用坐標法解決問題的優勢．通過建立平面直角坐標系，引入向量的坐標運算，然后結合三角函數、解析幾何或函數等知識進行求解，凸顯了向量的代數特征．層級三/細微點——優化完善(掃盲點)一、全面清查易錯易誤點1．(忽視兩向量作為基底的條件)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件為

(

)A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0解析：當e1∥e2時，a∥e1，又b＝2e1，所以b∥e1，又e1≠0，故a與b共線；當λ＝0時，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，故a與b共線．答案：D

2．(忽視向量共線的充要條件)已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，則“m＝－3”是“a∥b”的

(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件解析：若m＝－3，則a＝(9，－9)＝9b，故a∥b；若a∥b，則－m2－(－9)×1＝0，解得m＝3或m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要條件．答案：A

二、融會貫通應用創新題5．(結合新定義問題)若a，β是一組基底，向量γ＝xa＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底a，β下的坐標．現已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標為

(

)A．(2,0)

B．(0，－2)

C．(－2,0)

D．(0,2)9．(體現開放探究)對于n個向量a1，a2，a3，…，an，若存在n個不全為0的實數k1，k2，k3，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋k3a3＋…＋knan＝0成立，則稱向量a1，a2，a3，…，an是線性相關的．按此規定，能使向量a1＝