關于反射現象的幾何光學題

以下是關于反射現象的幾何光學問題，它們不僅有趣，而且還包含著深刻的數學哲學家。1反射定律結果題目:如圖1所示,兩平面鏡M1、M2的夾角為θ.過P點有一條與M1成α角的方向射向Q點的光線.要使該光線經兩面鏡若干次反射后能沿原路返回,試推導α、θ應滿足的關系式.(設0<α<90°,0<θ<90°)解析:設射到Q點的光線經兩面鏡第1、2、……n次反射后,反射線與發生反射的那個面鏡間的夾角分別為θ1、θ2、……θn,如圖2所示.根據反射定律及圖2所示的幾何關系不難推知θ1=180°-α,θ2=θ1-θ=180°-(α+θ),θ3=θ2-θ=180°-(α+2θ),……由此可歸納出θn=θn-1-θ=180°-[α+(n-1)θ].(1)欲使光線在發生第n次反射后能沿原路返回,須使θn=90°.(2)聯立(1)、(2)兩式得θ=90°?αn?1.(n=2?3???)(3)θ=90°-αn-1.(n=2?3???)(3)(3)式即為所求的關系式.例如,若令α=20°,則當θ=70°,35°,23.3°,17.5°,…時,均可以使入射光線經兩面鏡總共反射2,3,4,5,…次后沿原路反射回去.2.p孔射出的解析題目:如圖3所示,內壁為凹面鏡的圓筒,在P點處開有一小孔.一條光線沿與過P點的直徑所在的直線成α=20°角的方向,從小孔P射入筒內.試通過計算說明該光線能否從P孔射出.解析:相鄰兩次反射時的反射點與圓心O的兩條連線之間的夾角為(見圖4)θ=180°-2α=140°.要使光線在筒內發生n次反射后從P孔射出,須滿足(n+1)θ=k·360°,即n+1k=360°140°=187.n+1k=360°140°=187.由于能夠找到使上式成立的整數n和k,故該光線能從P孔射出.由上式容易看出:當k取整數7且n同時取整數17時,上式成立.這表明當光線進入筒內,在總共反射了17次(轉了7圈)后便從P孔射出.3第一次反射后的第2次反射后的兩次反射后的方向不發生偏轉角題目:如圖5所示,兩平面鏡互成α角,AB為一條入射光線.若保持α角不變,將面鏡M1和M2一起以B點為軸轉過一個小角θ.則下列說法中正確的是:A.第1次反射后的光線偏轉θ角,第2次反射后的光線偏轉2θ角.B.第1次反射后的光線偏轉2θ,第2次反射后的光線偏轉4θ角.C.第1次反射后的光線偏轉2θ角,第2次反射后的光線偏轉θ角.D.第1次反射后的光線偏轉2θ角,第2次反射后的光線其方向不發生偏轉.解析:當順時針轉過θ角時,入射線AB的入射角增大為i+θ(i為原入射角).則第一次反射后的反射線與入射線的夾角增大為2(i+θ).因此,第一次反射后的光線較原來所轉過的角度為2(θ+i)-2i=2θ.當鏡逆時針轉過θ角時,結論與上述相同.設第2次反射后的反射線與入射線AB之間的夾角為θ′,如圖6所示.根據圖6所示的幾何關系,有∠α+∠1+∠2=180°,(∠1+∠1′)+(∠2+∠2′)=180°.所以有:∠1′+∠2′=α,故θ′=2(∠1′+∠2′)=2α.當兩面鏡轉過很小角θ后,由上述結論可知,第2次反射后的光線與入射光線的夾