高職高考數學總復習123456789集合與邏輯用語不等式函數指數函數與對數函數數列三角函數平面向量平面解析幾何概率與統計初步目錄第三章函數第一節函數及其表示

第二節基本性質

第三節二次函數知識結構考綱要求知識內容考試層次要求了解理解掌握函數的概念、定義及記號?函數的三種表示法?增函數、減函數、單調區間的概念?判斷簡單函數的單調性?函數的奇偶性?判斷簡單函數的奇偶性?二次函數的圖像和性質及其簡單應用?第一節函數及其表示

知識清單考點一函數的定義考點二函數的定義域考點三函數的值域考點四函數的表示方法考點一函數的定義如果在某變化過程中有兩個變量x,y,并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值,按照某個對應法則,都有唯一確定的y值和它對應,那么y就是x的函數,x稱為自變量,x的取值范圍稱為函數的定義域,各x的值對應的y值稱為函數值,函數值的集合稱為值域(我們稱用變量敘述的定義為函數的傳統定義).函數就是定義在非空數集A,B上的映射,此時稱數集A為定義域,數集B={f(x)|x∈A}為值域.定義域、對應法則、值域構成了函數的三要素.知識清單考點一函數的定義考點二函數的定義域考點三函數的值域考點四函數的表示方法考點二

函數的定義域

(1)如無特別說明,函數的定義域是指使函數的解析式有意義的自變量的取值范圍.(2)函數定義域的求法.已知函數解析式,求定義域:①分式形式的函數,分母不等于零;偶次根式被開方式非負;x0中的底數x不等于零.②分段函數的定義域是各段中x取值的并集;若f(x)是由多個部分的式子構成的,那么函數的定義域是使各部分有意義的集合的交集.③若f(x)的定義域為[a,b],則其復合函數f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b解出.知識清單考點一函數的定義考點二函數的定義域考點三函數的值域考點四函數的表示方法考點三函數的值域函數的值域取決于定義域和對應法則,不論采用什么方法求函數的值域均應考慮其定義域.1一次函數

的值域為R.2二次函數當a>0時的值域為當a<0時的值域為3反比例函數的值域為常見函數的值域知識清單考點一函數的定義考點二函數的定義域考點三函數的值域考點四函數的表示方法考點四函數的表示方法列表法圖像法解析法通過列出自變量與對應的函數值的表來表達函數關系的方法叫作列表法.如果圖形F是函數y=f(x)的圖像,則圖像上的任意點的坐標都滿足函數的關系式,反之滿足函數關系式的點都在圖像上.這種由圖形表示函數的方法叫作圖像法.如果在函數y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代數式來表達的,這種方法叫作解析式法.典例精解例1

與y=x表示相同函數的是().典例精解判斷兩個函數是否相同,要看函數的三要素:定義域、值域、對應法則.其中對應法則不能僅僅從解析式上考慮,要分析其對應法則的本質.解析技巧點撥因為與y=x對應法則不同,排除A;與y=x的定義域不同,排除B；實質是y=|x|,與y=x的對應法則、值域不同,排除C;而與y=x定義域相同、對應法則相同、值域相同,故選D典例精解例2

求下列函數的定義域:典例精解解析

故定義域為

故定義域為

故定義域為

故定義域為典例精解技巧點撥1234567求函數的定義域時,應注意以下幾個方面:函數式是整式時,定義域為R.函數式含分式時,分母不等于零.函數式含偶次根式時,被開方數大于等于零.函數式含對數式時,真數大于零,底數大于零且不等于1.函數式含零指數式時,底數不等于零,如，則x-1≠0,即x≠1.函數式含正切型函數時,如y=tanx,則x≠π2+kπ,k∈Z.實際應用題中函數的定義域還要受實際條件的限制.典例精解例3

求下列函數的值域:解析(1)因為f(x)在[2,3]上單調遞增,所以x=2時，時所以函數的值域為[-1,0].(2)因為

所以函數的值域為(-1,1).典例精解技巧點撥直接觀察法反函數法配方法換元法不等式法對于一些比較簡單的函數,根據函數的定義域、性質的觀察,結合函數的解析式,求得函數的值域.直接求函數的值域困難時,可以通過求其反函數的定義域來確定原函數的值域是求二次函數值域最基本的方法之一,即把函數通過配方轉化為能直接看出其值域的方法通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數,然后通過求函數的值域,間接地求解原函數的值域利用幾個重要不等式及推論來求得最值,進而求得值域.求函數的值域,應根據解析式的結構特點選擇適當的方法,常見的有:典例精解例4解析此題y=f(x)表達式滿足直接代入求值的條件,將x分別替換為2,-3,a即可求出相應值.技巧點撥第二節函數的性質知識清單考點一函數的單調性考點二函數的奇偶性考點一函數的單調性1.函數單調性的概念如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量當時,有，那么函數f(x)在此區間上是單調遞增(增函數);當時,有

,那么函數f(x)在此區間上單調遞減(減函數).如果函數y=f(x)在某個區間上是增函數或減函數，就說f(x)在此區間上具有單調性，這個區間叫作單調區間.2.單調函數的圖像增函數的圖像從左往右呈上升趨勢,減函數的圖像從左往右呈下降趨勢.3.函數單調性證明的一般過程考點一函數的單調性1在指定區間內任取兩個自變量的值2作差，通過因式分解、配方或有理化等手段對差進行變形.3判斷的符號,由定義得出單調性.若y=f(u),u=g(x),對一切x∈區間D,有對應的u∈區間E,則復合函數y=f[g(x)]的單調性見表3-1.考點一函數的單調性4.復合函數的單調性u=g(x)在D上y=f(u)在E上y=f[g(x)]在D上遞增遞增遞增遞減遞減遞增遞增遞減遞減遞減遞增遞減這些結論可概括為“同增異減”表3-1知識清單考點一函數的單調性考點二函數的奇偶性考點二函數的奇偶性1.軸對稱和中心對稱的圖形一般地,設點P(a,b)為平面上任意一點,則點P(a,b)關于x軸的對稱點的坐標為(a,-b),點P(a,b)關于y軸的對稱點的坐標為(-a,b),點P(a,b)關于原點的對稱點的坐標為(-a,-b).結論:關于誰,誰不變;關于原點都改變.對于函數圖像,我們有如下的結論:(1)如果函數圖像上任意一點P關于原點的對稱點P'也在函數的圖像上,那么,函數圖像關于原點對稱,原點O稱為這個函數圖像的對稱中心.(2)如果函數圖像上任意一點P關于y軸的對稱點P'也在函數的圖像上,那么,函數圖像關于y軸對稱,y軸稱為這個函數圖像的對稱軸.考點二函數的奇偶性2.函數奇偶性的定義奇函數偶函數奇偶性如果對于函數y=f(x)在定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),則這個函數是奇函數.如果對于函數y=f(x)在定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),則這個函數是偶函數.如果f(x)是奇函數或偶函數,我們就說f(x)具有奇偶性.考點二函數的奇偶性3.奇函數和偶函數的性質y=f(x)是奇函數,則f(x)的圖像關于原點對稱;y=f(x)是偶函數,則f(x)的圖像關于y軸對稱.若f(x)是奇函數且在x=0處有定義,則f(0)=0.奇函數在其對稱的單調區間上具有相同的單調性,偶函數在其對稱的單調區間上具有相反的單調性.123考點二函數的奇偶性4.奇偶函數的判定y=f(x)是奇函數,則f(x)的圖像關于原點對稱;y=f(x)是偶函數,則f(x)的圖像關于y軸對稱.奇函數在其對稱的單調區間上具有相同的單調性,偶函數在其對稱的單調區間上具有相反的單調性.（1）檢查函數的定義域是否關于原點對稱.

若定義域不關于原點對稱,則一定是非奇非偶函數;

若定義域關于原點對稱,再考察函數值的關系.（2）判斷函數奇偶性的方法定義法若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)為奇函數;若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)為偶函數.圖像法根據y=f(x)是奇函數,則f(x)的圖像關于原點對稱;y=f(x)是偶函數,則f(x)的圖像關于y軸對稱來判定考點二函數的奇偶性5.待定系數法一般地,在求一個函數時,如果知道這個函數的一般形式,可先把所求函數寫成一般的形式,其中系數待定,然后根據題設條件求出這些待定系數,這種通過求待定系數來確定變量之間的關系式的方法稱為待定系數法.定義首先確定所求問題含待定系數的函數解析式;其次根據恒等條件,列出一組含待定系數的方程(組);最后解方程(組)或消去待定系數.一般過程正比例函數表達式反比例函數表達式一次函數表達式二次函數表達式一般式頂點式兩根式常見函數的表達式考點二函數的奇偶性其中(m,n)為拋物線頂點.其中,為二次方程的兩根或函數與x軸的交點的橫坐標.例1

判斷下列函數的增減性典例精解(1)函數y=2x-3在R上是________函數;(2)函數的單調遞增區間是_________,單調遞減區間是________;(3)函數在(0,+∞)上是___________函數典例精解解析這些初等函數:一次函數、二次函數、反比例函數、對數函數和指數函數(實際上還包括三角函數),可畫出所給函數的圖像進行判斷.(1)增;(2)[1,+∞),(-∞,1];(3)減.技巧點播熟記常見函數的單調性對解題有很大的好處,上述各函數的圖像如圖3-1所示.圖3-1典例精解例2討論函數上的單調性.解析在(1,+∞)上任取兩數因為

，所以

故函數

上是增函數.技巧點撥函數單調性的證明或者判斷的步驟是:取值作差判斷符號做結論典例精解例3求函數的單調區間.解析由題意知此函數的定義域為對稱軸為開口向上.因此,函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增.所以函數的單調遞增區間為[6,+∞),單調遞減區間為(-∞,-1].

技巧點撥先判斷函數定義域,再判斷函數的單調性.典例精解例4判斷下列函數的奇偶性:解析判斷函數的奇偶性,首先判斷函數的定義域是否關于坐標原點對稱,若關于坐標原點對稱,再判斷f(-x)與f(x)的大小關系,結合奇偶性定義給出結論;若函數的定義域不關于坐標原點對稱,則函數一定是非奇非偶函數.因為f(x)的定義域是R,關于坐標原點對稱,又因為所以函數f(x)=x(x+1)是非奇非偶函數.典例精解例4判斷下列函數的奇偶性:解析(2)因為f(x)的定義域是R,關于坐標原點對稱,又因為所以函數是奇函數.(3)所以函數f(x)的定義域是[-1,0)∪(0,1],關于坐標原點對稱.又因為所以函數是偶函數.典例精解例4判斷下列函數的奇偶性:技巧點撥判斷一個函數是否具有奇偶性的基本步驟如下:(1)先求出函數的定義域D,如果對于任意的x∈D都有-x∈D(關于坐標原點對稱),則可以根據函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性;如果存在某個，但是，即函數的定義域不關于坐標原點對稱,則函數一定是非奇非偶函數.(2)判斷f(-x)與f(x)的大小關系,若f(-x)=f(x),則函數為偶函數;若f(-x)=-f(x),則函數為奇函數.對于用圖像法表示的函數,可以通過對函數圖像對稱性的觀察來判斷函數是否具有奇偶性.典例精解例5

已知y=f(x)是奇函數,且當時，

求當x<0時,f(x)的解析式.典例精解解析當x<0時,-x>0.因為當x≥0時,

所以又因為f(x)是奇函數,所以f(-x)=-f(x).所以技巧點播本題中f(x)為奇函數,且f(0)有意義,f(0)=0,即圖像過原點.利用奇函數的性質即可作答.典例精解例6已知分段函數

求函數f(x)的定義域,計算f(3)-f(-2)+f(1)的值,并作出函數f(x)的圖像.解析分段函數的定義域是自變量的各不同取值范圍的并集.求分段函數的函數值時,應該首先判斷

所屬的取值范圍,再把代入相應的解析式中進行計算.函數f(x)的定義域是因為3∈[2,+∞),所以f(3)=2×3=6.因為-2∈(-∞,-1],所以因為1∈(-1,2),所以f(1)=1+2=3.所以f(3)-f(-2)+f(1)=6-4+3=5.作出

的圖像,取x≤-1的部分.作出f(x)=x+2的圖像,取-1<x<2的部分.作出f(x)=2x的圖像,取x≥2的部分.由此得到函數f(x)的圖像(見圖3-2).圖3-2典例精解例6已知分段函數

求函數f(x)的定義域,計算f(3)-f(-2)+f(1)的值,并作出函數f(x)的圖像.因為分段函數是一個函數,所以作分段函數的圖像時應將不同取值范圍內的圖像作在同一個平面直角坐標系中.技巧點撥第三節一元二次函數知識清單考點一二次函數的概念及其定義域考點二二次函數的圖像和性質考點一二次函數的概念及其定義域二次函數的概念形如

的函數叫作二次函數二次函數的定義域二次函數的定義域是R.知識清單考點一二次函數的概念及其定義域考點二二次函數的圖像和性質考點二二次函數的圖像和性質二次函數

的圖像是一條拋物線。具體圖像和性質如表3-2所示。考點二二次函數的圖像和性質a＞0a＜0圖像開口方向向上向下頂點坐標對稱軸單調性最值典例精解例1函數f(x)=ax2+bx+c

圖像的一部分如圖3-3所示,圖像過點A(-3,0),對稱軸方程為x=-1,給出下面四個結論:

b2>4ac

2a-b=1

a-b+c=0

5a<b

其中正確的是().

圖3-3典例精解解析由函數f（x）的圖像可知a<0，最大值由于a<0，所以4a<0，4ac-b2<0，故b2>4ac，①正確對稱軸方程為x=-1，即，故2a=b，②錯誤圖像在-1點的函數值大于0，所以3a-b+c＞0，③錯誤因為2a=b，a<0，故5a<b，④正確選擇B.技巧點撥解決一元二次函數的圖像問題有兩種方法：①排除法，抓住函數的特殊性質或特殊點；②討論函數圖像，依據圖像特征得