專題四突破解答題之3——三角形

三角形是中考必考的內容.關于三角形的邊、角和“三線”是中考命題的熱點，既可以出現在小題中，也可以融入大題中，是研究幾何綜合題的基礎，所以三角形的基本性質必須熟練掌握.全等三角形判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰(邊)三角形的判定與性質是中考命題的熱點，既可以出現在簡單的解答題中，也可以與特殊四邊形、圓和函數形成綜合題.以三角形為背景的應用題也是中考必考內容，一般考查解直角三角形和勾股定理的應用居多.

與三角形有關的邊角計算 例1：如圖Z4-1，在△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，則∠CDE的度數為()圖Z4-1A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°解析：∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，∴∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED.∵∠B＋∠DCB＝∠CDA＝50°，∴∠B＝25°.∵∠B＋∠BDE＋∠BED＝180°，∴∠CDE＝180°－∠CDA－∠BDE＝180°－50°－77.5°＝52.5°.故選D.答案：D

[解題技巧]熟悉等腰三角形的性質、三角形的內角和定理、三角形的外角性質、鄰補角的定義等知識點的理解和掌握，并能熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵.

全等、相似和等腰三角形的證明與性質 例2：(2018年四川資陽)已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點M是斜邊AB的中點，MD∥BC，且MD＝CM，DE⊥AB于點E，連接AD，CD. (1)求證：△MED∽△BCA；

(2)求證：△AMD≌△CMD；圖Z4-2(3)設△MDE的面積為S1，四邊形BCMD

[思路分析](1)易證∠DME＝∠CBA，∠ACB＝∠MED＝90°，從而可證明△MED∽△BCA；

(2)由∠ACB＝90°，點M是斜邊AB的中點，可知MB＝MC＝AM，從而可證明∠AMD＝∠CMD，從而可利用全等三角形的判定證明△AMD≌△CMD；EB＝2x，從而可求出AB＝14x，BC＝10x.最后根據銳角三角函數的定義即可求出答案. (1)證明：∵MD∥BC，∴∠DME＝∠CBA. ∵∠ACB＝∠MED＝90°，∴△MED∽△BCA. (2)證明：∵∠ACB＝90°，點M是斜邊AB的中點， ∴MB＝MC＝AM.∴∠MCB＝∠MBC. ∵∠DMB＝∠MBC，∴∠MCB＝∠DMB.∵∠AMD＝180°－∠DMB，∠CMD＝180°－∠MCB＝180°－∠DMB，∴∠AMD＝∠CMD.∴△AMD≌△CMD(SAS).(3)解：∵MD＝CM，與三角形有關的綜合題

例3：如圖Z4-3，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，點D是AB的中點，點P是AB上的一個動點(點P與點A，B不重合)，矩形PECF的頂點E，F分別在BC，AC上.(1)探究DE與DF的關系，并給出證明；(2)當點P滿足什么條件時，線段EF的長最短？(直接給出結論，不必說明理由)圖Z4-3

[思路分析](1)連接CD，首先根據△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，點D是AB的中點得到CD＝AD，CD⊥AD，然后根據四邊形PECF是矩形得到△APF是等腰直角三角形，從而得到△DCE≌△DAF，證得DE＝DF，DE⊥DF；

而得到當DE和DF同時最短時，EF最短，得到點P與點D重合時，線段EF最短.解：(1)DE＝DF，DE⊥DF.證明如下：如Z4-4，連接CD.圖Z4-4∵△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，點D是AB的中點，∴CD＝AD，CD⊥AD. ∵四邊形PECF是矩形，∴CE＝FP，FP∥CB.∴△APF是等腰直角三角形.∴AF＝PF＝EC.∵∠DCE＝∠A＝45°，∴△DCE≌△DAF(SAS).∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE.∵∠CDA＝90°，∴∠EDF＝90°.∴DE＝DF，DE⊥DF.(2)∵DE＝DF，DE⊥DF，∴當DE和DF同時最短時，EF最短.∴當DF⊥AC，DE⊥BC時，二者最短.∴此時點P與點D重合.∴點P與點D重合時，線段EF最短.

[名師點評]與三角形相關的綜合題一般與四邊形、圓或函數緊密相連，運用旋轉、對稱等圖形變化方式加以對問題的進一步探究是常見的命題方式.解決此類題型一般離不開三角形的基本性質.解直角三角形與勾股定理的應用

例4：(2017年甘肅天水)如圖Z4-5，一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向的A處，它向東航行20海里到達燈塔P南偏西45°方向上的B處，若輪船繼續沿正東方向航行，求輪船航行途中與燈塔P的最短距離.(結果保留根號)圖Z4-5

[思路分析]如圖Z4-6，利用題意得到AC⊥PC，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AB＝20海里.設BC＝x海里，則AC＝AB＋BC＝(20＋x)海里.解△PBC，得PC＝BC＝x海里，解Rt△APC，解方程即可.圖Z4-6解：如圖Z4-6，AC⊥PC