高考達標檢測（二十一）平面向量的基本運算一、選擇題1.(2018·長春模擬)如圖所示，下列結論正確的是()①eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－b；③eq\o(PS,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋b.A．①② B．③④C．①③ D．②④解析：選C①根據向量的加法法則，得eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b，故①正確；②根據向量的減法法則，得eq\o(PT,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b，故②錯誤；③eq\o(PS,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(QS,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－2b＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b，故③正確；④eq\o(PR,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(QR,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－b＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b，故④錯誤，故選C.2．(2018·長沙一模)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－k,10)，且A，B，C三點共線，則k的值是()A．－eq\f(2,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：選Aeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2k，－2)．∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共線，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).3．(2018·嘉興調研)已知點O為△ABC外接圓的圓心，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，則△ABC的內角A等于()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選A由eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0得，eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，由O為△ABC外接圓的圓心，結合向量加法的幾何意義知，四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.4．若eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，a與b不共線，則∠AOB平分線上的向量eq\o(OM,\s\up7(→))為()A.eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)B.eq\f(a＋b,|a＋b|)C.eq\f(|b|a－|a|b,|a|＋|b|)D.λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))，λ由eq\o(OM,\s\up7(→))確定解析：選D以OM為對角線，以eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))方向為鄰邊作平行四邊形OCMD，∵OM平分∠AOB，∴平行四邊形OCMD是菱形．設OC＝OD＝λ，則eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\f(a,|a|)，eq\o(OD,\s\up7(→))＝λeq\f(b,|b|)，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))，且λ由eq\o(OM,\s\up7(→))確定．5．設D，E，F分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且eq\o(DC,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))＝2eq\o(EA,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，則eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))()A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直解析：選A由題意得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up7(→))，因此eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，故eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))反向平行．6.如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且eq\o(AM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝yeq\o(AC,\s\up7(→))，則eq\f(xy,x＋y)的值為()A．3 B.eq\f(1,3)C．2 D.eq\f(1,2)解析：選B利用三角形的性質，過重心作平行于底邊BC的直線，易得x＝y＝eq\f(2,3)，則eq\f(xy,x＋y)＝eq\f(1,3).7．(2018·蘭州模擬)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，若a∥b，則銳角θ＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,12)解析：選B因為a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×eq\f(1,2)＝0，得sin2θ＝eq\f(1,2)，所以sinθ＝±eq\f(\r(2),2)，故銳角θ＝eq\f(π,4).8．已知△ABC是邊長為4的正三角形，D，P是△ABC內的兩點，且滿足eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up7(→))，則△APD的面積為()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：選A法一：取BC的中點E，連接AE，由于△ABC是邊長為4的正三角形，則AE⊥BC，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，又eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，所以點D是AE的中點，AD＝eq\r(3).取eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up7(→))，以AD，AF為鄰邊作平行四邊形，可知eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→)).而△APD是直角三角形，AF＝eq\f(1,2)，所以△APD的面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),4).法二：以A為原點，以BC的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．∵等邊三角形ABC的邊長為4，∴B(－2，－2eq\r(3))，C(2，－2eq\r(3))，由題知eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)[(－2，－2eq\r(3))＋(2，－2eq\r(3))]＝(0，－eq\r(3))，eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up7(→))＝(0，－eq\r(3))＋eq\f(1,8)(4,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(3)))，∴△ADP的面積為S＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up7(→))|·|eq\o(DP,\s\up7(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).二、填空題9．在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若eq\o(BC,\s\up7(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up7(→))＝3e2，則eq\o(OC,\s\up7(→))＝________.(用e1，e2表示)解析：在矩形ABCD中，因為O是對角線的交點，所以eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)＝eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e2.答案：eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e210．已知S是△ABC所在平面外一點，D是SC的中點，若eq\o(BD,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))＋zeq\o(AS,\s\up7(→))，則x＋y＋z＝________.解析：依題意得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AS,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up7(→))，因此x＋y＋z＝－1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝0.答案：011．(2018·貴陽模擬)已知平面向量a，b滿足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，則向量a的坐標是________．解析：設a＝(x，y)，∵平面向量a，b滿足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，∴eq\r(x2＋y2)＝1，且x－y＝0，解得x＝y＝±eq\f(\r(2),2).∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分別為AB，BC的中點，點P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE上變動(如圖所示)，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(ED,\s\up7(→))＋μeq\o(AF,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，則2λ－μ的取值范圍是________．解析：以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，E(1，0)，D(0,1)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，設P(cosα，sinα)(0°≤α≤90°)，∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(ED,\s\up7(→))＋μeq\o(AF,\s\up7(→))，∴(cosα，sinα)＝λ(－1,1)＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－λ＋\f(3,2)μ，λ＋\f(μ,2)))，∴cosα＝－λ＋eq\f(3,2)μ，sinα＝λ＋eq\f(μ,2)，∴λ＝eq\f(1,4)(3sinα－cosα)，μ＝eq\f(1,2)(cosα＋sinα)，∴2λ－μ＝sinα－cosα＝eq\r(2)sin(α－45°)，∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°，∴－eq\f(\r(2),2)≤sin(α－45°)≤eq\f(\r(2),2)，∴－1≤eq\r(2)sin(α－45°)≤1，∴2λ－μ的取值范圍是[－1,1]．答案：[－1,1]三、解答題13.如圖所示，在△ABC中，D，F分別是BC，AC的中點，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))；(2)求證：B，E，F三點共線．解：(1)延長AD到G，使eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))，連接BG，CG，得到平行四邊形ABGC，所以eq\o(AG,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)證明：由(1)可知eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up7(→))，又因為eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))有公共點B，所以B，E，F三點共線．14．(2018·鄭州模擬)平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1，2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k的值；(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d的坐標．解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(16,13).(2)設d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝eq\r(5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))∴d的坐標為(3，－1)或(5,3)．15.如圖，在△OAB中，eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))，AD與BC交于點M，設eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(OM,\s\up7(→))；(2)在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設eq\o(OE,\s\up7(→))＝peq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OF,\s\up7(→))＝qeq\o(OB,\s\up7(→))，求證：eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.解：(1)設eq\o(OM,\s\up7(→))＝xa＋yb，由eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up7(→))，得eq\o(OM,\s\up7(→))＝4xeq\o(OC,\s\up7(→))＋yb，∵C，M，B三點共線，∴4x＋y＝1.①由eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))，得eq\o(OM,\s\up7(→))＝xa＋2yeq\o(OD,\s\up7(→))，∵A，M，D三點共線，∴x＋2y＝1，②聯立①②得，x＝eq\f(1,7)，y＝eq\f(3,7).∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.(2)證明：∵eq\o(OE,\s\up7(→))＝peq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OF,\s\up7(→))＝qeq\o(OB,\s\up7(→))，∴eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,p)eq\o(OE,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,q)eq\o(OF,\s\up7(→))，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,7)·eq\f(1,p)eq\o(OE,\s\up7(→))＋eq\f(3,7)·eq\f(1,q)eq\o(OF,\s\up7(→)).∵E，M，F三點共線，∴eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.1．已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC，實數x，y滿足eq\o(PA,\s\up7(→))＋xeq\o(PB,\s\up7(→))＋yeq\o(PC,\s\up7(→))＝0，設△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記eq\f(S1,S)＝λ1，eq\f(S2,S)＝λ2，eq\f(S3,S)＝λ3，則λ2·λ3取最大值時，3x＋y的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．1 D．2解析：選D由題意可知λ1＋λ2＋λ3＝1.∵P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC，∴λ1＝eq\f(1,2)，∴λ2＋λ3＝eq\f(1,2)，∴λ2λ3≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋λ3,2)))2＝eq\f(1,16)，當且僅當λ2＝λ3＝eq\f(1,4)時取等號，∴λ2·λ3取最大值時，P為EF的中點．延長AP交BC于M，則M為BC的中點，∴PA＝PM，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＝－eq\o(PM,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))，又∵eq\o(PA,\s\up7(→))＋xeq\o(PB,\s\up7(→))＋yeq\o(PC,\s\up7(→))＝0，∴x＝y＝eq\f(1,2)，∴3x＋y＝2.2.如圖，在Rt△ABC中，P是斜邊BC上一點，且滿足eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))，點M，N在過點P的直線上，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ>0，μ>0)，則λ＋2μ的最小值為()A．2 B.eq\f(8,3)C．3 D.eq\f(10,3)解析：選B∵eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝μeq\