.2平面向量的運算1、向量加法的概念及三角形法則：已知非零向量，在平面內取任意一點，作，則向量叫做與的和，記作，即。求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。對于零向量與任意向量，我們規定。2、向量加法的平行四邊形法則：以同一點為起點的兩個已知向量，以為鄰邊作平行四邊形，則以為起點的向量（是平行四邊形的對角線）就是向量與的和。我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。3、向量加法的運算律：①交換律：。②結合律：。4、向量的三角形不等式：①當向量與不共線時，的方向與不同，則。②當與同向時，，，同向，則。③當與反向時，若，的方向與相同，則；若，的方向與相同，則。一般地，我們有。5、相反向量：我們規定，與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作。我們規定，零向量的相反向量仍是零向量。由兩個向量和的定義易知，即任意向量與其相反向量的和是零向量。這樣，如果互為相反向量，那么。6、向量的減法：向量加上的相反向量，叫做與的差，即。求兩個向量差的運算叫做向量的減法。7、幾何意義：已知向量，在平面內任取一點，作，，則。即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量，這是向量減法的幾何意義。8、向量的數乘運算：一般地，我們規定實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作，它的長度與方向規定如下：①；②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反。當時，。9、向量數乘的運算律：設為實數，結合律：。分配律：；。特別地，，。10、向量的線性運算：向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算。向量線性運算的結果仍是向量。對于任意向量，以及任意實數，，，恒有。11、向量共線的條件：①當向量時，與任一向量共線。②事實上，對于向量（），，如果有一個實數，使，那么由向量數乘的定義可知與共線。反過來，已知向量與共線，且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同方向時，有；當與反方向時，有。12、向量共線的性質定理：向量（）與共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使。根據這一定理，設非零向量位于直線上，那么對于直線上的任意一個向量，都存在唯一的一個實數，使。也就是說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示。13、向量的夾角：已知兩個非零向量，，是平面上的任意一點，作，，則（）叫做向量與的夾角。顯然，當時，與同向；當時，與反向。14、垂直：如果與的夾角是，我們說與垂直，記作。15、向量數量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，我們把數量叫做向量與的數量積（或內積），記作，即。規定：零向量與任一向量的數量積為。16、投影向量：設，是兩個非零向量，，，我們考慮作如下的變換：過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量。在平面內任取一點，作，，過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量。設與方向相同的單位向量為，與的夾角為，則。17、平面向量數量積的性質：設，是非零向量，它們的夾角為，是與方向相同的單位向量，則①。②。③當與同向時，；當與反向時，。特別地或。④。（）。⑤。⑥。18、向量數量積的運算律：DACB①交換律：DACB②數乘結合律：。③分配律：。19、三點共線定理、三角形中線向量定理、三角形重心公式：對于平面內任意三點、、，為平面內不同于、、的任意一點，、、三點共線的充要條件是：存在實數，，使，其中。在△中，若點是邊的中點，則中線向量，反之亦正確。在△中，已知是△的重心，則。【題型1】向量的加法運算1．AB→A．AC→ B．BC→ C．AB→2．在平行四邊形ABCD中，AB→A．AC→ B．BD→ C．BC→3．已知AD為△ABC的中線，則AD→A．AB→+AC→ B．AB→?4．(ABA．BC→ B．AB→ C．AC→5．設O為平行四邊形ABCD的對角線的交點，則OA→A．AC→ B．BD→ C．AD→【題型2】向量的減法運算1．在四邊形ABCD中，AB→A．BC→ B．BD→ C．DB→2．在△ABC中，D為BC的中點，則CD→A．AC→ B．CA→ C．BA→3．在平行四邊形ABCD中，AC→A．DA→ B．BD→ C．BA→4．已知矩形ABCD的對角線相交于點O，則AO→A．AB→ B．AC→ C．OC→5．已知線段AB的中點為C，則AB→A．3AC→ B．AC→ C．CA→【題型3】向量加減混合運算1．AB→A．0→ B．AD→ C．AC→2．化簡OA→A．AB→ B．BA→ C．0→3．化簡AB→A．MD→ B．AD→ C．AC→4．平行四邊形ABCD中，BC→A．CB→ B．BC→ C．DC→5．已知正六邊形ABCDEF，則AC→A．BC→ B．AE→ C．BE→【題型4】向量的數乘運算1．若C在線段AB上，且ACCBA．BC→=713BA→ B．AC2．點M在AB上，且AM→=1A．﹣3AB→ B．34AB→ C．3．若|AC→|＝2|CB→|且AC→=λA．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．無法確定4．點C在線段AB的反向延長線上，且AC→=?25AB→，A．?72 B．72 C．?5．已知AB→=?32BC→，A．15 B．?15 【題型5】三點共線的運用、用已知向量表示其他向量1．如圖，在△ABC中，點D是BC邊上靠近B的三等分點，則AD→A．23AB→?13AC→ 2．如圖，在△ABC中，AN→=2NC→，P是BN上一點，若AP→=A．16 B．23 C．123．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB→A．34AB→?14AC→ 4．在△ABC中，BD→=23BC→，A．16AB→?23AC→ 5．已知點D在△ABC的邊AC上，CD＝2DA，點E是BD中點，則EC→A．13AB→+C．?13AB【題型6】平面向量數量積的性質及其運算1．已知單位向量a→，b→滿足A．12 B．13 C．152．已知向量a→，b→均為單位向量，且a→A．233 B．263 C．3．已知空間向量a→，b→滿足|a→|=1，|A．1 B．2 C．2 D．44．已知非零向量a→，b→滿足|b→|=23|A．π6 B．π4 C．π35．向量|a→|=|b→|=1，A．1314 B．?1314 C．4【題型7】向量的投影1．向量a→與b→的夾角為π3，|a→|=1，|bA．2 B．32 C．1 D．2．已知|a→|=2，b→為單位向量，a→與A．?2 B．﹣1 C．1 D．3．已知|a→|=6，|b→|=3，A．12 B．4 C．﹣8 D．24．已知平面向量|a→|＝2，|b→|＝4，且a→?b→=A．1 B．12 C．﹣1 D．5．已知向量m→，n→滿足|m→|＝1，|n→|＝2，|m→+nA．1 B．2 C．2 D．3【題型8】投影向量1．已知向量a→，b→的夾角為π3，且|a→|=1，A．b→ B．12b→ C．2．已知向量a→，b→滿足|a→A．?b→ B．b→ C．?33．設a→，b→是兩個單位向量，若a→+bA．?13 B．13 C．?4．設a→，b→為單位向量，a→在b→方向上的投影向量為?1A．2 B．3 C．5 D．75．已知平面向量a→，b→滿足|a→|=2，aA．2a→ B．2b→ C．【題型9】數量積表示兩個向量的夾角1．已知平面向量a→、b→滿足|b→|=2|a→A．π6 B．5π6 C．π32．已知平面向量a→，b→滿足|aA．π6 B．π3 C．2π33．已知|a→|=2，|b→A．π6 B．π3 C．?π4．已知|a→|=1，|b→|=2，A．﹣1 B．?12 C．05．已知平面向量a→，b→的夾角為π3，且|A．5π6 B．2π3 C．π3【題型10】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系1．已知單位向量e1→，e2→的夾角為π3，向量m→=λA．1 B．﹣1 C．±1 D．22．若a→，b→是夾角為60°的兩個單位向量，λa→+b→與﹣3A．18 B．14 C．783．已知平面向量a→，b→滿足|a→|=A．﹣2 B．2 C．?12 4．已知非零向量a→，b→滿足3|a→|=2|b→A．1 B．23 C．?25．已知非零向量a→，b→滿足|a→|=3|b→A．4 B．﹣4 C．94 D．當堂檢測一．選擇題（共12小題）1．設非零向量a→，b→滿足|a→A．a→⊥b→ B．|a→|＝|b→| C．a→∥b→2．若非零向量a→，b→滿足|a→|=223|b→|，且（a→?A．π4 B．π2 C．3π43．向量|a→|＝|b→|＝1，|c→|=2，且a→A．?15 B．?25 C．4．已知非零向量a→，b→，c→，則“a→?c→A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知單位向量a→，b→的夾角為60°，則在下列向量中，與A．a→+2b→ B．2a→+b→6．正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則EC→?EDA．5 B．3 C．25 D．57．已知向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→|=3，|a→?A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，F是線段AE上靠近點A的三等分點，則DF→A．?13AB→C．13AB→9．已知非零向量m→，n→滿足4|m→|＝3|n→|，cos＜m→，n→＞=A．4 B．﹣4 C．94 D．10．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E、F分別在邊BC、DC上，BE→=λBC→，DF→=μDC→，若AE→?AF→=A．12 B．23 C．5611．已知向量a→，b→滿足|a→|＝5，|b→|＝6，a→?bA．?3135 B．?1935 C．12．已知非零向量a→，b→滿足|a→|＝2|b→|，且（a→?bA．π6 B．π3 C．2π3二．多選題（共6小題）（多選）13．設單位向量a→，b→滿足|3a→A．a→⊥b→ B．|a→?b→|＝1 C．|a→（多選）14．已知向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→|＝2，|A．a→?b→C．|a→?b→|=7（多選）15．設a→A．若|a→+b→B．若a→⊥bC．若|a→+b→|=|aD．若存在實數λ使得a→=λ（多選）16．在△ABC中，M是BC的中點．若AB→=a→，A．12|a→B．12|a→C．12D．1（多選）17．已知向量a→，b→滿足|a→+b→A．π6 B．2π7 C．3π8（多選）18．已知e1→，e2→是夾角為π3A．|aB．a→⊥bC．?a→，b→?D．a→在b→三．填空題（共6小題）19．已知向量a→，b→的夾角為60°，|a→|＝2，|b→|＝1，則|a→20．已知單位向量a→，b→的夾角為45°，ka→?b→與21．已知a→，b→為單位向量，且a→?b→=0，若c→=222．若向量a→，b→滿足|a→|＝3，|a→?b→|＝5，a23．已知向量a→+b→+c→=0→，|a→|＝1，|b→24．設向量a→，b→的夾角的余弦值為13，且|a→|＝1，|b→|＝3，則（2四．解答題（共8小題）25．如圖，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，DB→=2AD（1）求CD的長；（2）求AB→26．已知|a→|＝4，|b→|＝3，（a→（1）求a→與b→的夾角（2）求|a→27．已知向量a→與b→的夾角為θ=3π4，且（1）若ka→+2b→（2）求a→?b（3）求a→與a28．如圖，M，N分別是△ABC的邊BC，AB上的點，且BM=14BC，AN=12AB，（1）若AM→=xAB→+y（2）若AB＝4，AC＝3，∠BAC＝60°，求AP→29．已知|a→|=2，|b→|＝1，a（1）求a→在b（2）求|a→+2（3）若向量（2a→?λb→）與（λa→?30．已知|a→|＝4，|b→|＝8，a→（1）求a→?b（2）當k為何值時，(a31．如圖，已知△ABC中，D為BC的中點，AE=12EC，AD，BE交于點F，設AC→（1）用a→，b→分別表示向量AB→（2）若AF→=tAD→32．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，AB＝2．（1）若△ABC為等邊三角形，且AD∥BC，E是CD的中點，求AE→（2）若AC＝AB，cos∠CAB=35，AC→

課后作業一、單選題1．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E,F分別為CD,AD的中點，若以向量AE,BF為基底表示向量，則下列結論正確的是（

A．AD=45C．AB=252．在△ABC中，點M是邊AC上靠近點A的三等分點，點N是BC的中點，若MN=xAB+yAC，則A．1 B．23 C．?23．在△ABC中，點D為邊AB的中點．記CA=m，CD=n，則A．2m→+n→ B．m→4．已知向量a,b，那么12A．a?2b B．a?4b C．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，AE和BD相交于點F．記AB=a,

A．CF=?23a?13b 6．若O是△ABC內一點，OA+OB+OC=0，則A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心7．在等腰梯形ABCD中，AB=CD=2，∠ABC=∠BCD=60°，則AB在CD上的投影的數量為（

）A．?3 B．?1 C．1 D．8．在平行四邊形ABCD中，AB=32，AD=2，AEA．2 B．22 C．239．已知非零向量a與b滿足b=2a,a+2b在a上的投影向量為3aA．30° B．45° C．60° D．90°10．設非零向量a，b滿足a=2b且2a?b⊥aA．30° B．60° C．120° D．150°11．若a=b=1，a⊥b，且2A．?6 B．6 C．3 D．?312．如圖，在平面四邊形ABCD中，E，F分別為BD和AC的中點，那么（

）

A．EF=12C．EF=?12二、多選題13．已知正方形ABCD的邊長為2，向量a，b滿足AB=2a，BC=A．b=2 B．C．a在b上的投影向量的模為2 D．b14．已知向量a,b滿足a?b=1，|A．|a|=2 C．a與b的夾角為π3 D．a與b的夾角為15．已知向量a,b滿足|a|=|bA．a+b=2 B．|a?b16．向量是近代數學中重要和基本的概念之一，它既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數與幾何的橋梁.若向量a，b滿足a=b=2，aA．a?b=?2 B．a與C．a?b>a+b 三、填空題17．已知非零向量a→，b→滿足|a→18．已知向量a，b滿足a=1，b=3，a，b的夾角為150°，則2a+19．已知平面向量a,b滿足a=2,b=3，且a+20．在△ABC中，∠BCA=90°，BA=2BC=2．設AD=λABλ∈21．已知向量a,b滿足a=b22．如圖所示，在△ABC中，NC=3AN，P是BN上的一點，若AP=mAB+四、解答題23．已知a,b是兩個不共線的向量，a為單位向量，(1)若_________，求a?b；在①a⊥(2)是否存在實數λ，使得λa+b與a24．已知平面向量a、b，若a=2，b=3，(1)求向量a、b的夾角；(2)若c=a+tb且25．已知兩個非零向量a，b，且(a+2b（1）求a，b的夾角θ；（2）若|a|=1，求|ta26．已知向量AB，AC滿足AB=3，AC（1）求BC；（2）若AP=λAB+AC，且27．已知向量e1,e（1）若B,C,D三點共線，求實數λ的值；（2）若e1=2e2=2,e128．已知向量a與b的夾角為60°，a=1，b（1）求3a（2）若(a+λb)和6.2平面向量的運算1、向量加法的概念及三角形法則：已知非零向量，在平面內取任意一點，作，則向量叫做與的和，記作，即。求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。對于零向量與任意向量，我們規定。2、向量加法的平行四邊形法則：以同一點為起點的兩個已知向量，以為鄰邊作平行四邊形，則以為起點的向量（是平行四邊形的對角線）就是向量與的和。我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。3、向量加法的運算律：①交換律：。②結合律：。4、向量的三角形不等式：①當向量與不共線時，的方向與不同，則。②當與同向時，，，同向，則。③當與反向時，若，的方向與相同，則；若，的方向與相同，則。一般地，我們有。5、相反向量：我們規定，與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作。我們規定，零向量的相反向量仍是零向量。由兩個向量和的定義易知，即任意向量與其相反向量的和是零向量。這樣，如果互為相反向量，那么。6、向量的減法：向量加上的相反向量，叫做與的差，即。求兩個向量差的運算叫做向量的減法。7、幾何意義：已知向量，在平面內任取一點，作，，則。即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量，這是向量減法的幾何意義。8、向量的數乘運算：一般地，我們規定實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作，它的長度與方向規定如下：①；②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反。當時，。9、向量數乘的運算律：設為實數，結合律：。分配律：；。特別地，，。10、向量的線性運算：向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算。向量線性運算的結果仍是向量。對于任意向量，以及任意實數，，，恒有。11、向量共線的條件：①當向量時，與任一向量共線。②事實上，對于向量（），，如果有一個實數，使，那么由向量數乘的定義可知與共線。反過來，已知向量與共線，且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同方向時，有；當與反方向時，有。12、向量共線的性質定理：向量（）與共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使。根據這一定理，設非零向量位于直線上，那么對于直線上的任意一個向量，都存在唯一的一個實數，使。也就是說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示。13、向量的夾角：已知兩個非零向量，，是平面上的任意一點，作，，則（）叫做向量與的夾角。顯然，當時，與同向；當時，與反向。14、垂直：如果與的夾角是，我們說與垂直，記作。15、向量數量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，我們把數量叫做向量與的數量積（或內積），記作，即。規定：零向量與任一向量的數量積為。16、投影向量：設，是兩個非零向量，，，我們考慮作如下的變換：過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量。在平面內任取一點，作，，過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量。設與方向相同的單位向量為，與的夾角為，則。17、平面向量數量積的性質：設，是非零向量，它們的夾角為，是與方向相同的單位向量，則①。②。③當與同向時，；當與反向時，。特別地或。④。（）。⑤。⑥。18、向量數量積的運算律：DACB①交換律：DACB②數乘結合律：。③分配律：。19、三點共線定理、三角形中線向量定理、三角形重心公式：對于平面內任意三點、、，為平面內不同于、、的任意一點，、、三點共線的充要條件是：存在實數，，使，其中。在△中，若點是邊的中點，則中線向量，反之亦正確。在△中，已知是△的重心，則。【題型1】向量的加法運算1．AB→A．AC→ B．BC→ C．AB→【解答】解：AB→故選：B．2．在平行四邊形ABCD中，AB→A．AC→ B．BD→ C．BC→【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB→故選：A．3．已知AD為△ABC的中線，則AD→=A．AB→+AC→C．12AB→【解答】解：∵AD為△ABC的中線，∴由平行四邊形法則得：AD→=12（故選：D．4．(ABA．BC→ B．AB→ C．AC→【解答】解：(=AM故選：C．5．設O為平行四邊形ABCD的對角線的交點，則OA→A．AC→ B．BD→ C．AD→【解答】解：由圖形可知OA→+OC故選：D．【題型2】向量的減法運算1．在四邊形ABCD中，AB→A．BC→ B．BD→ C．DB→【解答】解：由向量減法的法則可知，AB→故選：D．2．在△ABC中，D為BC的中點，則CD→A．AC→ B．CA→ C．BA→【解答】解：∵在△ABC中，D為BC的中點，∴CD→=DB故選：D．3．在平行四邊形ABCD中，AC→A．DA→ B．BD→ C．BA→【解答】解：∵平行四邊形ABCD，∴AC→故選：D．4．已知矩形ABCD的對角線相交于點O，則AO→A．AB→ B．AC→ C．OC→【解答】解：在矩形ABCD中，BC→又因為AC?BD＝O，則DO→因此，AO→故選：D．5．已知線段AB的中點為C，則AB→A．3AC→ B．AC→ C．CA→【解答】解：線段AB的中點為C，∴AB→=2AC→=?2BC→，∴AB故選：A．【題型3】向量加減混合運算1．AB→A．0→ B．AD→ C．AC→【解答】解：根據題意，AB→故選：A．2．化簡OA→A．AB→ B．BA→ C．0→【解答】解：原式=OA故選：B．3．化簡AB→A．MD→ B．AD→ C．AC→【解答】解：AB→+CD→?MB故選：B．4．平行四邊形ABCD中，BC→A．CB→ B．BC→ C．DC→【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC→故選：B．5．已知正六邊形ABCDEF，則AC→A．BC→ B．AE→ C．BE→【解答】解：AC→故選：B．【題型4】向量的數乘運算1．若C在線段AB上，且ACCBA．BC→=713BA→ B．AC【解答】解：∵C在線段AB上且ACCB∴AC=310AB，BC=710AB，則ACBC→=710BA→=?故選：D．2．點M在AB上，且AM→=1A．﹣3AB→ B．34AB→ C．【解答】解：∵AM→∴BM→?BA故選：B．3．若|AC→|＝2|CB→|且AC→=λA．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．無法確定【解答】解：|AC→|=2|∴AC→與CB→同向時，λ＝2，反向時，即λ＝±2．故選：C．4．點C在線段AB的反向延長線上，且AC→=?25AB→，A．?72 B．72 C．?【解答】解：∵AC→∴AC→∴AC→=27BC∴λ=2故選：D．5．已知AB→=?32BC→，A．15 B．?15 【解答】解：AC→∵BD→∴BC→=BD∴AC→=?15故選：A．【題型5】三點共線的運用、用已知向量表示其他向量1．如圖，在△ABC中，點D是BC邊上靠近B的三等分點，則AD→A．23AB→?13AC→ 【解答】解：AD→故選：C．2．如圖，在△ABC中，AN→=2NC→，P是BN上一點，若AP→=A．16 B．23 C．12【解答】解：∵AN→∴AC→∴AP→=tAB→+13∴t+12=1故選：C．3．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB→A．34AB→?14AC→ 【解答】解：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，EB→=AB→?=3故選：A．4．在△ABC中，BD→=23BC→，A．16AB→?23AC→ 【解答】解：BC→BD→=2AD→AE→CE→故選：A．5．已知點D在△ABC的邊AC上，CD＝2DA，點E是BD中點，則EC→A．13AB→+C．?13AB【解答】解：如圖，根據題意，EC→故選：D．【題型6】平面向量數量積的性質及其運算1．已知單位向量a→，b→滿足A．12 B．13 C．15【解答】解：因為向量a→則|a則(a所以a→故選：C．2．已知向量a→，b→均為單位向量，且a→A．233 B．263 C．【解答】解：∵向量a→，b→均為單位向量，且a→?b∴|a→+b→|2=a→2+2a∴|a→+b故選：B．3．已知空間向量a→，b→滿足|a→|=1，|A．1 B．2 C．2 D．4【解答】解：向量a→、b→滿足|a→|=1則|2a故選：C．4．已知非零向量a→，b→滿足|b→|=23|A．π6 B．π4 C．π3【解答】解：因為a→⊥(3a設a→與b→的夾角為θ，非零向量a→，b則cosθ=a→?b→|a故選：A．5．向量|a→|=|b→|=1，A．1314 B．?1314 C．4【解答】解：由已知可得c→因為|a→|=|b→|=1，所以cos＜a故選：A．【題型7】向量的投影1．向量a→與b→的夾角為π3，|a→|=1，A．2 B．32 C．1 D．【解答】解：∵向量a→與b→的夾角為π3，|a→|＝1，|b→|＝3，∴a→在b→故選：D．2．已知|a→|=2，b→為單位向量，a→與A．?2 B．﹣1 C．1 D．【解答】解：∵|a→|=2，b→∴a→∴a→在b→方向上的投影為故選：B．3．已知|a→|=6，|b→|=3，A．12 B．4 C．﹣8 D．2【解答】解：記向量a→與b→的夾角為所以a→在b→方向上的投影為：故選：B．4．已知平面向量|a→|＝2，|b→|＝4，且a→?b→=A．1 B．12 C．﹣1 D．【解答】解：平面向量|a→|＝2，|b→|＝4，且a→則b→在a→方向上的投影為故選：A．5．已知向量m→，n→滿足|m→|＝1，|n→|＝2，|m→+nA．1 B．2 C．2 D．3【解答】解：向量m→，n→滿足|m→|＝1，|n→|＝2，|∴12+22+2m→?n→=7，可得：m→?故選：A．【題型8】投影向量1．已知向量a→，b→的夾角為π3，且|a→|=1，A．b→ B．12b→ C．【解答】解：向量a→，b→的夾角為π3，且|則a→?b→=1×2×12故選：D．2．已知向量a→，b→滿足|a→A．?b→ B．b→ C．?3【解答】解：因為|a所以(a→+所以a→在b→上的投影向量為故選：B．3．設a→，b→是兩個單位向量，若a→+bA．?13 B．13 C．?【解答】解：∵a→+b→在∴(a∴a→∵|a∴由向量的夾角公式可知，cos?a故選：A．4．設a→，b→為單位向量，a→在b→方向上的投影向量為?1A．2 B．3 C．5 D．7【解答】解：因為a→在b→方向上的投影向量為所以a→?b又因為a→，b→為單位向量，所以|a→|=|所以|a→?2b→故選：D．5．已知平面向量a→，b→滿足|a→|=2，aA．2a→ B．2b→ C．【解答】解：依題意，a→+b|a又因為|a→|=2故所求投影向量為：|a故選：A．【題型9】數量積表示兩個向量的夾角1．已知平面向量a→、b→滿足|b→|=2|a→A．π6 B．5π6 C．π3【解答】解：因為|b→|=2|a→|=2，且所以a→設a→與b→的夾角為θ，則因為θ∈[0，π]，所以θ=2π3，即a→與b故選：D．2．已知平面向量a→，b→滿足|aA．π6 B．π3 C．2π3【解答】解：∵a→?（a→?b→）＝20，∴a→2∵|a→|＝4，|b→|＝2，∴cos＜a∵＜a→，b→＞∈[0，π]，∴故選：C．3．已知|a→|=2，|b→A．π6 B．π3 C．?π【解答】解：設向量a→與b→的夾角為因為|a所以|a所以cosθ=1因為θ∈[0，π]，所以θ=π故選：B．4．已知|a→|=1，|b→|=2，A．﹣1 B．?12 C．0【解答】解：∵|a∴(2a∴a→?b故選：A．5．已知平面向量a→，b→的夾角為π3，且|A．5π6 B．2π3 C．π3【解答】解：由平面向量a→，b→的夾角為可得(2a且|2a設向量2a→?b→與b因為θ∈[0，π]，可得θ=2π3，即2a→?故選：B．【題型10】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系1．已知單位向量e1→，e2→的夾角為π3，向量m→=λA．1 B．﹣1 C．±1 D．2【解答】解：由已知得m→∵單位向量e1→，e2→的夾角為π3所以12(1?λ故選：C．2．若a→，b→是夾角為60°的兩個單位向量，λa→+b→與﹣3A．18 B．14 C．78【解答】解：a→，b則|a→|=|b→|=1，a→?則(λa→+故選：B．3．已知平面向量a→，b→滿足|a→|=A．﹣2 B．2 C．?12 【解答】解：因為(λb→?即λa→?b→故選：B．4．已知非零向量a→，b→滿足3|a→|=2|b→A．1 B．23 C．?2【解答】解：∵3|a→|=2|b→又a→∴a→?(kb∴k＝﹣1．故選：D．5．已知非零向量a→，b→滿足|a→|=3|b→A．4 B．﹣4 C．94 D．【解答】解：∵|a→|=3|∴a→∵b→⊥(ta∴ta→?b→+b→2故選：D．當堂檢測一．選擇題（共12小題）1．設非零向量a→，b→滿足|a→A．a→⊥b→ B．|a→|＝|b→| C．a→∥b→【解答】解：∵非零向量a→，b→滿足|a→+ba→2+b→2+2a→b→=故選：A．2．若非零向量a→，b→滿足|a→|=223|b→|，且（a→?A．π4 B．π2 C．3π4【解答】解：∵（a→?b→）⊥（3a→+2b→），∴（a→?b→）?（3a→即a→?b→=3a→2﹣2b→2，∵|a→|=223|b→|，∴a→2=89b→2，即a∴cos＜a→，b→＞=a故選：A．3．向量|a→|＝|b→|＝1，|c→|=2，且a→A．?15 B．?25 C．【解答】解：因為向量|a→|＝|b→|＝1，|c→|=2，且所以c→2=a→即2＝1+1+2×1×1×cos＜a→，解得cos＜a→，b→＞=0，所以又a→?c→=2a所以（a→?c→）?（b→?c→）＝（2a→+b→）?（|a→?c→|＝|所以cos?a→?c→，故選：D．4．已知非零向量a→，b→，c→，則“a→?c→A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：當a→⊥c→且b→⊥c故a→?b則“a→?c→=b→由a→=b→，可得a→所以a→=b→可以推出a→?b→=綜上所述，“a→?c→=b→故選：B．5．已知單位向量a→，b→的夾角為60°，則在下列向量中，與A．a→+2b→ B．2a→+b→【解答】解：單位向量|a→|＝|b→|＝1，a→?b對于A，（a→+2b→）?b→=a→?b→+2對于B，（2a→+b→）?b→=2a→?對于C，（a→?2b→）?b→=a→?b→?2對于D，（2a→?b→）?b→=2a→?故選：D．6．正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則EC→?EDA．5 B．3 C．25 D．5【解答】解：正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，所以EB→?EA→=?1，EB則EC→?ED→=（EB→+故選：B．7．已知向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→|=3，|a→?A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：因為向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→|=3所以|a→?2b→兩邊平方得，13﹣4a→解得a→故選：C．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，F是線段AE上靠近點A的三等分點，則DF→A．?13AB→C．13AB→【解答】DF→故選：C．9．已知非零向量m→，n→滿足4|m→|＝3|n→|，cos＜m→，n→＞=A．4 B．﹣4 C．94 D．【解答】解：∵4|m→|＝3|n→|，cos＜m→，n→＞=∴n→?（tm→+n→）＝tm→?n→+n→2＝t|m→|?|n→|?解得：t＝﹣4，故選：B．10．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E、F分別在邊BC、DC上，BE→=λBC→，DF→=μDC→，若AE→?AF→=A．12 B．23 C．56【解答】解：由題意可得若AE→?AF→=（AB→＝2×2×cos120°+AB→?μAB→+λAD→?AD→+λAD→＝4λ+4μ﹣2λμ﹣2＝1，∴4λ+4μ﹣2λμ＝3①．CE→?CF→=?EC→?（?FC→）=EC→?FC→=（1﹣λ）BC＝（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°＝（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=?23即﹣λ﹣μ+λμ=?23由①②求得λ+μ=5故選：C．11．已知向量a→，b→滿足|a→|＝5，|b→|＝6，a→?bA．?3135 B．?1935 C．【解答】解：向量a→，b→滿足|a→|＝5，|b→|＝6，可得|a→+bcos＜a→，故選：D．12．已知非零向量a→，b→滿足|a→|＝2|b→|，且（a→?bA．π6 B．π3 C．2π3【解答】解：∵（a→?b→）⊥b→∴cos＜a→，∵＜a→，故選：B．二．多選題（共6小題）（多選）13．設單位向量a→，b→滿足|3a→A．a→⊥b→ B．|a→?b→|＝1 C．|a→【解答】解：根據題意，設單位向量a→，b若|3a→+b→又由0?θ?π，則θ=π3，故∵a→?b→=∵（a→?b→）2=∴|a→?b∵（a→+b→）2=∴|a→+b→|故選：BD．（多選）14．已知向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→|＝2，|A．a→?b→C．|a→?b→|=7【解答】解：|a∴a→?b∴a→|acos＜a∴a→與b→的夾角為2π3故選：BC．（多選）15．設a→A．若|a→+b→B．若a→⊥bC．若|a→+b→|=|aD．若存在實數λ使得a→=λ【解答】解：對于A，當|a→+b→由向量共線的定義可知，存在負實數λ，使得a→=λb對于B，∵a→∴以a→，b→為鄰邊的平行四邊形為矩形且∴|a→+對于C，∵|a∴a→，b∴由投影向量的定義可知，a→在b→方向上的投影向量為a→對于D，當a→，b→同向共線時，滿足存在實數λ使得但|a→+故選：ABC．（多選）16．在△ABC中，M是BC的中點．若AB→=a→，A．12|a→?b→| B．12|a→+b【解答】解：根據題意，在△ABC中，M是BC的中點．則AM→=12（AB→故|AM→|=12|a→+對于C，122(a→2對于D，12a→2+故選：BC．（多選）17．已知向量a→，b→滿足|a→+b→A．π6 B．2π7 C．3π8【解答】解：因為|a→+b→則|a所以4a→?b→=4，即即|a設a→與b→的夾角為θ，則即cosθ=1且|a→||所以θ≤π3，則a→與b→的夾角可以為故選：AB．（多選）18．已知e1→，e2→是夾角為π3A．|aB．a→⊥bC．?a→，b→?D．a→在b→【解答】解：∵e1→，e2→是夾角為π3的單位向量，a|a|ba→∴coscos＜a→，a→在b→上的投影向量為綜上可知，AC正確．故選：AC．三．填空題（共6小題）19．已知向量a→，b→的夾角為60°，|a→|＝2，|b→|＝1，則|a→+2【解答】解：【解法一】向量a→，b→的夾角為60°，且|a→∴(a→+2b→)＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|a→+2b→20．已知單位向量a→，b→的夾角為45°，ka→?b→與a→【解答】解：∵向量a→，b→為單位向量，且a→∴a→又ka→?b∴（ka→?即k?22=0，則故答案為：2221．已知a→，b→為單位向量，且a→?b→=0，若c→=2a→【解答】解：a→?c∵c→2=（2a→?5b→）∴|c→∴cos＜a→，故答案為：222．若向量a→，b→滿足|a→|＝3，|a→?b→|＝5，a→?【解答】解：由題意，可得(a因為|a→|＝3，a→?b→所以b→23．已知向量a→+b→+c→=0→，|a→|＝1，|b→|＝|c【解答】解：方法1：由a→+b→+c→∴（a→+b→）2＝（?c→）2或（a→+c→）2＝（?b又∵|a→|＝1，|b→|＝|c→|＝2，∴5+2a→?b→∴a→?b→=?12，a→?c→=?12，b→故答案為：?9方法2：a→?b→+b→故答案為：?924．設向量a→，b→的夾角的余弦值為13，且|a→|＝1，|b→|＝3，則（2【解答】解：由題意可得a→則(2a故答案為：11．四．解答題（共8小題）25．如圖，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，DB→=2AD（1）求CD的長；（2）求AB→【解答】解：（1）∵DB→∴AD→∴CD→∴|CD→|=|13（2）DE→∴AB→26．已知|a→|＝4，|b→|＝3，（a→（1）求a→與b→的夾角（2）求|a→【解答】解：（1）|a→|＝4，|b→|＝3，（a→所以2a→2?9b→2cos＜a→，b→＞=a→?b可得θ=2π（2）|a→+b27．已知向量a→與b→的夾角為θ=3π4，且（1）若ka→+2b→（2）求a→?b（3）求a→與a【解答】解：（1）∵ka→+2b→∴根據共線向量基本定理：存在λ，使ka∴根據平面向量基本定理得：k=3λ4λ=2，解得k=（2）由已知，得a→?b（3）設a→與a→+b→因此，a→與a→+28．如圖，M，N分別是△ABC的邊BC，AB上的點，且BM=14BC，AN=12AB，（1）若AM→=xAB→+y（2）若AB＝4，AC＝3，∠BAC＝60°，求AP→【解答】解：（1）因為AM→=AB→+∴x=34，y=14?x（2）過點N作ND∥BC交AP于D；則AD＝DM；DN=12BM=12∴DP=16∴AP=47∴AP→?BC→=47AM→?BC→=47×（34AB→+1∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝60°，∴AP→?BC→=1729．已知|a→|=2，|b→|＝1，a（1）求a→在b（2）求|a→+2（3）若向量（2a→?λb→）與（λa→?【解答】解：（1）a→在b→方向上的投影為|a→（2）a→?b→=|a→|?|b→|a→+2b→|2=a→2+4a→則|a→+2b→（3）向量（2a→?λb→）與（λa可得（2a→?λb→）?（λa→?3b→）＞0，且（2a→?即為2λa→2+3λb→2﹣（6+λ2）a→即有7λ﹣（6+λ2）＞0，解得1＜λ＜6，由（2a→?λb→）與（λa→?3b解得λ＝±6，則實數λ的取值范圍為（1，6）∪（6，6）．30．已知|a→|＝4，|b→|＝8，a→（1）求a→?b（2）當k為何值時，(a【解答】解：（1）a→?b|a→+b→|（2）∵(a→+2b→∴16k﹣128+（2k﹣1）×（﹣16）＝0，化為k＝﹣7．∴當k＝﹣7值時，(a31．如圖，已知△ABC中，D為BC的中點，AE=12EC，AD，BE交于點F，設AC→=（1）用a→，b→分別表示向量AB→（2）若AF→=tAD→【解答】解：（1）由題意，D為BC的中點，且AE→∵AB→+AC→=2AD→，∴AB→=2（2）∵AF→=tAD→=tb→，∴FB∵EB→=?43a→+2b→，FB32．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，AB＝2．（1）若△ABC為等邊三角形，且AD∥BC，E是CD的中點，求AE→（2）若AC＝AB，cos∠CAB=35，AC→【解答】解：（1）因為△ABC為等邊三角形，且AD∥BC，所以∠DAB＝120°．又AD＝2AB，所以AD＝2BC，因為E是CD的中點，所以：AE→=12又BD→=AD→?AB=34?16?（2）解法：（一）因為AB＝AC，AB＝2，所以：AC＝2．因為：AC→所以：AC→?(AD又AC→?AB所以：AC→所以：|DC故：|DC課后作業一、單選題1．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E,F分別為CD,AD的中點，若以向量AE,BF為基底表示向量，則下列結論正確的是（

A．AD=45C．AB=25【詳解】點E,F分別為CD,AD的中點，∵ACAE=BF=1212故選：C2．在△ABC中，點M是邊AC上靠近點A的三等分點，點N是BC的中點，若MN=xAB+yAC，則A．1 B．23 C．?2【詳解】點M是邊AC上靠近點A的三等分點，點N是BC的中點，如圖所示，MN所以x=1故選：B.3．在△ABC中，點D為邊AB的中點．記CA=m，CD=n，則A．2m→+n→ B．m→+2【詳解】

因為點D為邊AB的中點，所以AD=∴CB故選：D.4．已知向量a,b，那么12A．a?2b B．a?4b C．【詳解】12故選：C.5．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，AE和BD相交于點F．記AB=a,

A．CF=?23a?13b 【詳解】平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，因為DE//AB，所以所以DF=1則CF=故選：A.6．若O是△ABC內一點，OA+OB+OC=0，則A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心【詳解】取線段AB的中點D，連接OD，則OA+OB=2

因此CO=2OD，即C,O,D三點共線，線段CD是△ABC的中線，且O是靠近中點所以O是△ABC的重心.故選：D7．在等腰梯形ABCD中，AB=CD=2，∠ABC=∠BCD=60°，則AB在CD上的投影的數量為（

）A．?3 B．?1 C．1 D．【詳解】過點A作AM//CD，且AD//MC，所以四邊形AMCD是平行四邊形，則AM=CD=2，且AB=2，∠ABC=60所以△ABM是等邊三角形，所以AB與CD所成角為120°所以AB在CD上的投影的數量為ABcos

故選：B8．在平行四邊形ABCD中，AB=32，AD=2，AEA．2 B．22 C．23【詳解】在平行四邊形ABCD中，如圖所示：

因為AE=EB，所以E是AB的中點，即DE=AE?因為AB=32，AD=2因此，AC?故選：A.9．已知非零向量a與b滿足b=2a,a+2b在a上的投影向量為3aA．30° B．45° C．60° D．90°【詳解】a+2b在a上的投影向量為所以，a2+2a所以，abcosa又b=2a，所以有cosa,b=a故選：C.10．設非零向量a，b滿足a=2b且2a?b⊥aA．30° B．60° C．120° D．150°【詳解