雙原子鏈中原子質量的分布

關于1個單原子鏈中的雜質引起的單原子鏈振動模型，在固體理論教科書中進行了基本分析和討論。在一個雙原子鏈中，由雜質引起的局域振動模型相對復雜，通常只有幾個基本結論。在這項工作中，我們使用數值方法求解了二維雙原子鏈中的晶體振動運動方程，并分析了不同雜質質量對晶體振動譜的影響。請注意，由于不同的雜質質量，由雜質引起的局域振動模型可以是高頻模型或間隙模型，或者高頻模型和間隙模型可以同時存在。給出局域模型的原子振動圖像。1確定原子鏈的可能范圍考慮一般的由N個原胞組成的一維雙原子鏈,原子質量分別為m、M,相鄰原子間的平衡距離為a,原胞大小為2a.質量為M′的雜質原子替代鏈中質量為m的原子,取點缺陷所在位置為坐標原點.以u2l表示第l個原胞內質量為m的原子離開平衡位置的位移,u2l-1表示第l個原胞內質量為M的原子離開平衡位置的位移,l=0,±1,±2,…,±N.β是基體原子之間的近鄰互作用力常數,β′是雜質原子與其近鄰原子間的力常數,如圖1所示.在簡諧近似和最近鄰近似下,含雜質的一維雙原子鏈運動方程組為:M′d2u0dt2=β′(u1+u?1?2u0)Μ′d2u0dt2=β′(u1+u-1-2u0)(1a)Md2u1dt2=β(u2?u1)+β′(u0?u1)Μd2u1dt2=β(u2-u1)+β′(u0-u1)(1b)Md2u?1dt2=β(u?2?u?1)+β′(u0?u?1)Μd2u-1dt2=β(u-2-u-1)+β′(u0-u-1)(1c)md2u2ldt2=β(u2l+1+u2l?1?2u2l),(|l|≥1)md2u2ldt2=β(u2l+1+u2l-1-2u2l),(|l|≥1)(1d)Md2u2l?1dt2=β(u2l?2+u2l?2u2l?1),(|l|≥2)Μd2u2l-1dt2=β(u2l-2+u2l-2u2l-1),(|l|≥2)(1e)下面對于一定長度的原子鏈,取原胞數N=100,采用數值方法進行求解分析,以得到含單個雜質時原子鏈的各種局域模和局域振動圖像.為方便數值計算,取ε=m?M′m?g=β′βξ=mM?ω2M=2βMω2m=2βm?E=2ω2ω2Mε=m-Μ′m?g=β′βξ=mΜ?ωΜ2=2βΜωm2=2βm?E=2ω2ωΜ2類似于完整雙原子鏈的做法,將試探解寫為:us=Qq(s)e-iωt,s=1,2,3,…,2N.代入運動方程組(1),得到關于Qq(s)的線性齊次方程組:由于一維雙原子鏈問題的復雜性,故本文只討論g=1的情況.對于確定的原子鏈和雜質,即一組確定的(ε,ξ),數值求解方程組(2),可以得到E的2N個可能取值,其中包括可能的局域振動模頻率;對不同的E,計算可以得到實空間原子振動曲線Qq(s)(s=1,2,3,…,2N),s是實空間變量.由此直接分析可以得到空間相位關系,從而確定波矢q,得到振動模(q,E)即(q,ω),包括格波解和可能的局域振動解.2雙原子鏈反演中雜質原子振動圖像的參數分析如果基質原子間力常數β等于雜質原子近鄰力常數β′,即g=1,則局域模的形成只與雜質原子質量和兩種基質原子質量有關.求解方程組(2),得到局域模解關于(ε,ξ)分布的相圖,如圖2所示.由ε和ξ的定義知,ε<1,ξ>0.圖中陰影部分表示可以形成局域模的參數分布.對于ξ<1,即雜質原子替代了輕原子位置的情況,若雜質原子比輕原子還輕,即ε>0時,雜質只產生高頻模,對應圖2中左上深色部分;若雜質原子比輕原子重,即ε<0時,則只能形成隙模,對應圖2中左下淺色區域.對于ξ>1,即雜質原子替代了鏈中的重原子位置的情況,ε>0時隙模和高頻模能同時產生,對應圖2中右上灰色區域,ε<0時出現共振模.以上基本結論與教科書是一致的.下面舉例分別討論相圖各區域對應的局域模類型和原子振動圖像.對于完整雙原子鏈,由參數定義E=2ω2ω2ME=2ω2ωΜ2可知,光頻支最高頻率為EOmax=2(1+ξ)ξEmaxΟ=2(1+ξ)ξ.若ξ>1,則光學支最小頻率EOmin=2,聲學支最大頻率EAmax=2ξEmaxA=2ξ;若ξ<1,則光頻支最小頻率EOmin=2ξEminΟ=2ξ,聲頻支最大頻率EAmax=2.3高頻局域模和高頻模一維雙原子鏈中雜質引起的局域振動模,與雜質原子的近鄰力常數和雜質原子的兩種不同代位情況及雜質原子的質量等有關.為簡單起見,通常只討論雜質原子的近鄰力常數與基質原子的近鄰力常數均相同的情況,在此近似下,本文分析討論了雜質原子的兩種不同代位和不同的雜質原子質量產生的各種局域振動模的情況.對于雜質原子替代輕原子,且比輕原子還輕,即ξ<1且ε>0的情況,雜質在一維雙原子鏈中只產生高頻局域模.例如,取ε=0.2,ξ=0.8,此時EOmax=4.5.由方程組(2)計算得到局域模為Ed=4.7317,Ed>EOmax,對應于光頻支頻帶之上的一孤立能級,是高頻局域模;該高頻模實空間的原子振動圖像如圖3所示,其中“○”、“○”分別表示原胞中的兩種基質原子,“╋”表示雜質原子.此局域振動模的波矢q=0,是從光學支中分離出來的.類似于光學支的長波極限,原胞中兩種原子的振動具有完全相反的相位.對于雜質原子替代輕原子,但比輕原子重,即ξ<1且ε<0的情況,雜質在一維雙原子鏈中只產生隙模.例如,取ε=-1.2,ξ=0.8,此時EOmin=2.5,EAmax=2.由方程組(2)計算得到局域模為Ed=2.2093,EAmax<Ed<EOmin,對應聲頻支和光頻支之間帶隙中的一個孤立能級,是隙模.該隙模實空間的原子振動圖像如圖4所示.該隙模對應的波矢q=±π2a?q=±π2a?原胞中兩種原子的振動具有完全相同的相位,而相鄰原胞的振動相位相反.對于雜質原子替代重原子,且比重原子輕,即ξ>1且ε>0的情況,雜質在一維雙原子鏈中將同時產生隙模和高頻模;而雜質原子比重原子還重(ε<0)時,則只產生共振模.例如:取ε=0.2和ξ=1.3,此時EOmax≈3.5385,EOmin=2,EAmax≈1.5385.由方程(2)計算得到兩個局域模頻率,分別記為Ed1=3.6527和Ed2=1.5525.其中Ed1>EOmax,EAmax<Ed2<EOmin.局域模Ed1是高頻模,局域