頁第五節空間向量及其應用第1課時系統知識牢基礎——空間向量及其應用知識點一空間向量的概念及有關定理1．空間向量的有關概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量2.空間向量的有關定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底．[重溫經典]1．若O，A，B，C為空間四點，且向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能構成空間的一個基底，則()A．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共線B．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))共線C．eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共線D．O，A，B，C四點共面2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))，則x，y的值分別為()A．1,1B．1，eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)，eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)，13．(多選)如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且AP＝3PN，eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up7(→))，設eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，則下列等式成立的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b﹣eq\f(1,2)cB．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c﹣aC．eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)b﹣eq\f(1,4)c﹣eq\f(3,4)aD．eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c4.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點，用eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))表示eq\o(OC1,\s\up7(→))，則eq\o(OC1,\s\up7(→))＝________________.5.如圖所示，在四面體OABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up7(→))＝________(用a，b，c表示)．6．設a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，若a∥b，則x＝________.7.給出下列命題：①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；②若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；③已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p，總存在實數x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc；④若A，B，C，D是空間任意四點，則有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0.其中為真命題的是________(填序號)．知識點二兩個向量的數量積及其運算1．空間向量的數量積及運算律(1)數量積及相關概念①兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是[0，π]，若a，b＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②非零向量a，b的數量積a·b＝|a||b|cosa，b．(2)空間向量數量積的運算律①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標表示數量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角a，b(a≠0，b≠0)cosa，b＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))[重溫經典]1．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))的值為()A．﹣1B．0C．1D．22.如圖所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則|eq\o(PC,\s\up7(→))|等于()A．6eq\r(2)B．6C．12D．1443．已知a＝(1,2，﹣2)，b＝(0,2,4)，則a，b夾角的余弦值為________．4．已知a＝(2,3,1)，b＝(﹣4,2，x)，且a⊥b，則|b|＝________.5．已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，則向量a＋b與a﹣b的夾角是________．6．如圖所示，在大小為45°的二面角A-EF-D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是________．知識點三空間中的平行與垂直的向量表示1．直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．2．空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0[重溫經典]1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是()A．(﹣1,1,1)B．(1，﹣1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))2．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u＝(1，﹣3，z)，向量v＝(3，﹣2,1)與平面α平行，則z等于()A．3B．6C．﹣9D．93．平面α的一個法向量為(1,2，﹣2)，平面β的一個法向量為(﹣2，﹣4，k)．若α∥β，則k等于()A．2B．﹣4C．4D．﹣24．已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2,3,5)，n2＝(﹣3,1，﹣4)，則()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不對5.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關系是________．6．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，過點E作EF⊥BP交BP于點F.(1)證明：PA∥平面EDB；(2)證明：PB⊥平面EFD.知識點四利用空間向量求空間角1．異面直線所成角設異面直線a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)，其中a，b分別是直線a，b的方向向量．2．直線與平面所成角如圖所示，設l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則sinφ＝|cosa，n|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).3．二面角(1)若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個平面內與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補角)的大小就是向量eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))的夾角，如圖a.(2)平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，n1，n2＝θ，則二面角α-l-β為θ或π﹣θ.設二面角大小為φ，則|cosφ|＝|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如圖b，c.[重溫經典]1．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1，1)，則兩平面所成的二面角為()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°2．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，cosm，n＝﹣eq\f(1,2)，則l與α所成的角為()A．30°B．60°C．120°D．150°3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(2,5)4．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為________．5．過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為________．第2課時精研題型明考向——利用空間向量求空間角一、真題集中研究——明考情1.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.(1)證明：點C1在平面AEF內；(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A-EF-A1的正弦值．2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．3．圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小．[把脈考情]常規角度1.求異面直線所成的角：以棱柱、棱錐等簡單幾何體為載體，考查應用定義法或向量法求兩異面直線所成的角．2.求直線與平面所成的角：以棱柱、棱錐或不規則的幾何體為載體，與線、面位置關系的證明相結合，考查直線與平面所成的角的求法．3.求二面角：以棱柱、棱錐或不規則的幾何體為載體，與線面位置關系的證明相結合，考查二面角的求法創新角度求空間角常與立體幾何中的翻折問題、探索性問題等交匯命題二、題型精細研究——提素養題型一異面直線所成的角[典例]在各棱長均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M是棱BB1的中點，N是棱AC的中點，則異面直線A1M與NB所成角的正切值為()A.eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(2),2)[方法技巧]用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)建立空間直角坐標系；(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．[針對訓練]若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為eq\r(3)，AB＝1，則直線AB1與CD1所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°題型二直線與平面所成的角[典例]如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC.(1)證明：EF⊥DB；(2)求直線DF與平面DBC所成角的正弦值．[方法技巧]解答直線與平面所成角的問題，通常建立空間直角坐標系，然后轉化為向量運算求解，具體方法為：如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|n·e|,|n||e|).[針對訓練]一副標準的三角板(如圖1)中，∠ABC為直角，∠A＝60°，∠DEF為直角，DE＝EF，BC＝DF.把BC與DF重合，拼成一個三棱錐(如圖2)，設M是AC的中點，N是BC的中點．(1)求證：平面ABC⊥平面EMN；(2)若AC＝4，二面角E-BC-A為直二面角，求直線EM與平面ABE所成角的正弦值．題型三二面角[典例]如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE＝AD.△ABC是底面的內接正三角形，P為DO上一點，PO＝eq\f(\r(6),6)DO.(1)證明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B-PC-E的余弦值．[方法技巧]利用向量法解二面角問題的策略找法向量法分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小找與棱垂直的方向向量法分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小[提醒]兩平面的法向量所成的角與二面角的平面角的關系為相等或互補，所以，當求得兩法向量夾角的余弦值時，一定要結合圖形判斷二面角的取值范圍．[針對訓練]請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答．①AB⊥BC，②FC與平面ABCD所成的角為eq\f(π,6)，③∠ABC＝eq\f(π,3).如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，PD的中點為F.(1)在線段AB上是否存在一點G，使得AF∥平面PGC？若存在，指出G在AB上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由；(2)若________，求二面角F-AC-D的余弦值．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．把邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，則異面直線AD，BC所成的角為()A．120°B．30°C．90°D．60°2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)3．(多選)已知四邊形ABCD為正方形GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，FB，BE，H為BF的中點，則下列結論正確的是()A．DE⊥BFB．EF與CH所成角為eq\f(π,3)C．EC⊥平面DBFD．BF與平面ACFE所成角為eq\f(π,4)4．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為________．5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，二面角B-AA1-C1的大小為60°，點B到平面ACC1A1的距離為eq\r(3)，點C到平面ABB1A1的距離為2eq\r(3)，則直線BC1與直線AB1所成角的正切值為________．6.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直線OF與平面BED所成的角為45°，則AE＝________.7．試在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③PA＝PC三個條件中選兩個條件補充在下面的橫線處，使得PO⊥平面ABCD成立，請說明理由，并在此條件下進一步解答該題：如圖，在四棱錐P-ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD為菱形，若______，且∠ABC＝60°，異面直線PB與CD所成的角為60°，求二面角A-PB-C的余弦值．8.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，且AD＝2AB＝2BC＝2，∠BAD＝90°，△PAD為等邊三角形，平面ABCD⊥平面PAD，點E，M分別為PD，PC的中點．(1)求證：CE∥平面PAB；(2)求直線DM與平面ABM所成角的正弦值．9.如圖，在圓柱W中，點O1，O2分別為上、下底面的圓心，平面MNFE是軸截面，點H在上底面圓周上(異于點N，F)，點G為下底面圓弧ME的中點，點H與點G在平面MNFE的同側，圓柱W的底面半徑為1，高為2.(1)若平面FNH⊥平面NHG，求證：NG⊥FH；(2)若直線NH與平面NFG所成線面角α的正弦值等于eq\f(\r(15),5)，求證：平面NHG與平面MNFE所成銳二面角的平面角大于eq\f(π,3).10.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)設O為△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值．第3課時難點專攻奪高分——立體幾何的綜合性問題題型一翻折問題[典例]如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，BE⊥AD，BC＝3，AD＝15，BE＝3eq\r(3).把△ABE沿BE折起，使得AC＝6eq\r(2)，得到四棱錐A-BCDE.如圖2所示．(1)求證：平面ACE⊥平面ABD；(2)求平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值．[方法技巧]翻折問題的2個解題策略確定翻折前后變與不變的關系畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數量關系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數量關系不變，而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發生變化；對于不變的關系應在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決確定翻折后關鍵點的位置所謂的關鍵點，是指翻折過程中運動變化的點．因為這些點的位置移動，會帶動與其相關的其他的點、線、面的關系變化，以及其他點、線、面之間位置關系與數量關系的變化．只有分析清楚關鍵點的準確位置，才能以此為參照點，確定其他點、線、面的位置，進而進行有關的證明與計算[針對訓練]1．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD中點，將△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)求證：AE⊥PB；(2)當四棱錐P-ABCE的體積最大時，求二面角A-PE-C的平面角的余弦值．2．如圖，在直角梯形AO1O2C中，AO1∥CO2，AO1⊥O1O2，O1O2＝4，CO2＝2，AO1＝4，點B是線段O1O2的中點，將△ABO1，△BCO2分別沿AB，BC向上折起，使O1，O2重合于點O，得到三棱錐O-ABC.試在三棱錐O-ABC中，(1)證明：平面AOB⊥平面BOC；(2)求直線OC與平面ABC所成角的正弦值．題型二探索性問題考法(一)空間角的存在性問題[例1]如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F為CE的中點．(1)求證：平面BDF⊥平面ACE；(2)若2AE＝EB，判斷在線段AE上是否存在一點P，使得二面角P-DB-F的余弦值的絕對值為eq\f(\r(10),10).并說明理由．eq\a\vs4\al([方法技巧])存在性問題的解題策略借助于空間直角坐標系，把幾何對象上動態點的坐標用參數(變量)表示，將幾何對象坐標化，這樣根據所要滿足的題設要求得到相應的方程或方程組．若方程或方程組在題設范圍內有解，則通過參數的值反過來確定幾何對象的位置；若方程或方程組在題設范圍內無解，則表示滿足題設要求的幾何對象不存在．考法(二)線面關系中的存在性問題[例2]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O是底面ABCD的中心，E是線段OD1上的一點．(1)若E為OD1的中點，求直線OD1與平面CDE所成角的正弦值．(2)是否存在點E，使得平面CDE⊥平面CD1O？若存在，請指出點E的位置關系，并加以證明；若不存在，請說明理由．eq\a\vs4\al([方法技巧])解決線面關系中存在性問題的策略對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用向量法進行線面關系的邏輯推理，尋找假設滿足的數據或事實，若滿足，則肯定假設，若得出矛盾的結論，則否定假設．[針對訓練]1.如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.(1)設點M為棱PD的中點，求證：EM∥平面ABCD.(2)線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于eq\f(2,5)？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由．2.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側棱長是eq\r(3)，D是AC的中點．(1)求二面角A1-BD-A的大小．(2)在線段AA1上是否存在一點E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由．題型三空間向量與最值相結合[典例]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝eq\f(π,2)，PA＝AD＝2，AB