頁第八節解析幾何壓軸大題的解題策略指導第1課時審題上——4大策略找到解題突破口解析幾何研究的問題是幾何問題，研究的方法是代數法(坐標法)．因此，求解解析幾何問題最大的思維難點是轉化，即幾何條件代數化．如何在解析幾何問題中實現代數式的轉化，找到常見問題的求解途徑，是突破解析幾何問題難點的關鍵所在．突破解析幾何難題，先從找解題突破口入手．策略一垂直關系的轉化[典例]如圖所示，已知圓C：x2＋y2﹣2x＋4y﹣4＝0，問：是否存在斜率為1的直線l，使l與圓C交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．[名師微點](1)以AB為直徑的圓過原點等價于eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OB,\s\up7(→))，而eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OB,\s\up7(→))又可以“直譯”為x1x2＋y1y2＝0，可以看出，解此類解析幾何問題的總體思路為“直譯”，然后對個別難以“直譯”的條件先進行“轉化”，將“困難、難翻譯”的條件通過平面幾何知識“轉化”為“簡單、易翻譯”的條件后再進行“直譯”，最后聯立“直譯”的結果解決問題．(2)幾何關系“直角”坐標化的轉化方式①點B在以線段F1F2為直徑的圓上；②eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0；③kF1B·kF2B＝﹣1；④勾股定理．以上關系可相互轉化．[針對訓練]1．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，且其離心率為eq\f(1,2)，過坐標原點O作兩條互相垂直的射線與橢圓C分別相交于M，N兩點．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在圓心在原點的定圓與直線MN總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由．策略二角平分線條件的轉化[典例]已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得的弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點B(﹣1,0)，設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，求證：直線l過定點．[名師微點]本題前面的三種解法屬于比較常規的解法，主要是設點，設直線方程，聯立方程，并借助判別式、根與系數的關系等知識解題，計算量較大．解法四巧妙地運用了拋物線的參數方程進行設點，避免了聯立方程組，計算相對簡單，但是解法二和解法四中含有兩個參數y1，y2，因此判定直線過定點時，要注意將直線的方程變為特殊的形式．[針對訓練]2.橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)經過點(eq\r(2)，0)，左、右焦點分別是F1，F2，P點在橢圓上，且滿足∠F1PF2＝90°的P點只有兩個．(1)求橢圓C的方程；(2)過F2且不垂直于坐標軸的直線l交橢圓C于A，B兩點，在x軸上是否存在一點N(n,0)，使得∠ANB的角平分線是x軸？若存在，求出n；若不存在，請說明理由．策略三弦長條件的轉化[典例]如圖所示，已知橢圓G：eq\f(x2,2)＋y2＝1，與x軸不重合的直線l經過左焦點F1，且與橢圓G相交于A，B兩點，弦AB的中點為M，直線OM與橢圓G相交于C，D兩點．(1)若直線l的斜率為1，求直線OM的斜率；(2)是否存在直線l，使得|AM|2＝|CM||DM|成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．[名師微點]本題(2)的核心在于轉化|AM|2＝|CM||DM|中弦長的關系．由|CM|＝|OC|﹣|OM|，|DM|＝|OD|＋|OM|，又|OC|＝|OD|，則|AM|2＝|OC|2﹣|OM|2.又|AM|＝eq\f(1,2)|AB|，|OC|＝eq\f(1,2)|CD|，因此|AB|2＝|CD|2﹣4|OM|2，轉化為弦長|AB|，|CD|和|OM|三者之間的數量關系，易計算．[針對訓練]3．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(t)))在拋物線C上，且|QF|＝eq\f(3,2).(1)求拋物線C的方程及t的值；(2)若過點M(0，t)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，N為AB的中點，O是坐標原點，且S△AOB＝eq\r(3)S△MON，求直線l的方程．策略四面積條件的轉化[典例]設橢圓的中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線y＝kx(k＞0)與橢圓交于E，F兩點，求四邊形AEBF的面積的最大值．[名師微點]如果利用常規方法理解為S四邊形AEBF＝S△AEF＋S△BEF＝eq\f(1,2)|EF|·(d1＋d2)(其中d1，d2分別表示點A，B到直線EF的距離)，則需要通過聯立直線與橢圓的方程，先由根與系數的關系求出|EF|的弦長，再表示出兩個點線距，其過程很復雜．而通過分析，若把四邊形AEBF的面積拆成兩個小三角形——△ABE和△ABF的面積之和，則更為簡單．因為直線AB的方程及其長度易求出，故只需表示出點E與點F到直線AB的距離即可．[針對訓練]4．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)右焦點F(1，0)，離心率為eq\f(\r(2),2)，過F作兩條互相垂直的弦AB.(1)求橢圓的標準方程；(2)求以A，B，C，D為頂點的四邊形的面積的取值范圍．[總結規律·快速轉化]做數學，就是要學會翻譯，把文字語言、符號語言、圖形語言、表格語言相互轉換，我們要學會對解析幾何問題中涉及的所有對象逐個理解、表示、整理，在理解題意的同時，牢記解析幾何的核心方法是“用代數方法研究幾何問題”，核心思想是“數形結合”，牢固樹立“轉化”意識，那么就能順利破解解析幾何的有關問題．附幾種常見幾何條件的轉化，以供參考：1．平行四邊形條件的轉化幾何性質代數實現(1)對邊平行斜率相等，或向量平行(2)對邊相等長度相等，橫(縱)坐標差相等(3)對角線互相平分中點重合2.直角三角形條件的轉化幾何性質代數實現(1)兩邊垂直斜率乘積為﹣1，或向量數量積為0(2)勾股定理兩點間的距離公式(3)斜邊中線性質(中線等于斜邊一半)兩點間的距離公式3.等腰三角形條件的轉化幾何性質代數實現(1)兩邊相等兩點間的距離公式(2)兩角相等底邊水平或豎直時，兩腰斜率相反(3)三線合一(垂直且平分)垂直：斜率或向量平分：中點坐標公式4．菱形條件的轉化幾何性質代數實現(1)對邊平行斜率相等，或向量平行(2)對邊相等長度相等，橫(縱)坐標差相等(3)對角線互相垂直平分垂直：斜率或向量平分：中點坐標公式、中點重合5.圓條件的轉化幾何性質代數實現(1)點在圓上點與直徑端點向量數量積為零(2)點在圓外點與直徑端點向量數量積為正數(3)點在圓內點與直徑端點向量數量積為負數6．角條件的轉化幾何性質代數實現(1)銳角、直角、鈍角角的余弦(向量數量積)的符號(2)倍角、半角、平分角角平分線性質，定理(夾角、到角公式)(3)等角(相等或相似)比例線段或斜率eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．在直角坐標系xOy中，拋物線C：x2＝6y與直線l：y＝kx＋3交于M，N兩點．(1)設M，N到y軸的距離分別為d1，d2，證明：d1與d2的乘積為定值；(2)y軸上是否存在點P，當k變化時，總有∠OPM＝∠OPN？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．2．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短軸長為2eq\r(2)，離心率為eq\f(\r(6),3)，點A(3,0)，P是C上的動點，F為C的左焦點．(1)求橢圓C的方程；(2)若點P在y軸的右側，以AP為底邊的等腰△ABP的頂點B在y軸上，求四邊形FPAB面積的最小值．3．雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上．當BF⊥AF時，|AF|＝|BF|.(1)求C的離心率；(2)若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF.4．已知橢圓W:eq\f(x2,4m)＋eq\f(y2,m)＝1的長軸長為4，左、右頂點分別為A，B，經過點P(n,0)的直線與橢圓W相交于不同的兩點C，D(不與點A，B重合)．(1)當n＝0，且直線CD⊥x軸時，求四邊形ACBD的面積；(2)設n＝1，直線CB與直線x＝4相交于點M，求證：A，D，M三點共線．5．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F(﹣1,0)，過F且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為3.(1)求橢圓C的方程；(2)已知點M(﹣4,0)，過F作直線l交橢圓于A，B兩點，證明：∠FMA＝∠FMB.6．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F，A，B是橢圓上關于原點O對稱的兩個動點，當點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(14),2)))時，△ABF的周長恰為7eq\r(2).(1)求橢圓的方程；(2)過點F作直線l交橢圓于C，D兩點，且eq\o(CD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))(λ∈R)，求△ACD面積的取值范圍．第2課時解題上——5大技法破解“計算繁而雜”這一難題中學解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標系中，用方程的觀點來研究曲線，體現了用代數的方法解決幾何問題的優越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至會中止解題的過程，達到“望題興嘆”的地步．特別是高考過程中，在規定的時間內，保質保量完成解題的任務，計算能力是一個重要的方面．因此，本講從以下5個方面探索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優化思維過程，達到快準解題．技法一回歸定義，以逸待勞回歸定義的實質是重新審視概念，并用相應的概念解決問題，是一種樸素而又重要的策略和思想方法．圓錐曲線的定義既是有關圓錐曲線問題的出發點，又是新知識、新思維的生長點．對于相關的圓錐曲線中的數學問題，若能根據已知條件，巧妙靈活應用定義，往往能達到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果．[典例]如圖，F1，F2是橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D．eq\f(\r(6),2)[名師微點]本題巧妙運用橢圓和雙曲線的定義建立|AF1|，|AF2|的等量關系，從而快速求出雙曲線實半軸長a的值，進而求出雙曲線的離心率，大大降低了運算量．[針對訓練]1．已知橢圓C的焦點為F1(﹣1,0)，F2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝12．拋物線y2＝4mx(m＞0)的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若點A(﹣m,0)，則eq\f(|PF|,|PA|)的最小值為________．技法二設而不求，金蟬脫殼設而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實質是整體結構意義上的變式和整體思想的應用．設而不求的靈魂是通過科學的手段使運算量最大限度地減少，通過設出相應的參數，利用題設條件加以巧妙轉化，以參數為過渡，設而不求．[典例]已知P是圓C：(x﹣2)2＋(y＋2)2＝1上一動點，過點P作拋物線x2＝8y的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB斜率的最大值為()A.eq\f(1,4)B．eq\f(3,4)C.eq\f(3,8)D．eq\f(1,2)[名師微點](1)本題設出A，B兩點的坐標，卻不求出A，B兩點的坐標，巧妙地利用根與系數的關系用PA，PB的斜率把A，B的坐標表示出來，從而快速解決問題．(2)在運用圓錐曲線問題中設而不求的方法技巧時，需要做到：①凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實施“設而不求”；②“設而不求”不可避免地要設參、消參，而設參的原則是宜少不宜多．[針對訓練]3．過點M(1,1)作斜率為﹣eq\f(1,2)的直線與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于________．技法三巧設參數，變換主元換元引參是一種重要的數學方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換元引參使一些關系能夠相互聯系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達到事半功倍．常見的參數可以選擇點的坐標、直線的斜率、直線的傾斜角等．在換元過程中，還要注意代換的等價性，防止擴大或縮小原來變量的取值范圍或改變原題條件．[典例]設橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點．若|AP|＝|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞eq\r(3).[名師微點]求解本題利用橢圓的參數方程，可快速建立各點之間的聯系，降低運算量．[針對訓練]4．設直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，與圓C：(x﹣5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于點M，且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條，求r的取值范圍．技法四妙借向量，無中生有平面向量是銜接代數與幾何的紐帶，溝通“數”與“形”，融數、形于一體，是數形結合的典范，具有幾何形式與代數形式的雙重身份，是數學知識的一個交匯點和聯系多項知識的媒介．妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運算效率，達到良好效果．[典例]如圖，在平面直角坐標系xOy中，F是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點，直線y＝eq\f(b,2)與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________．[名師微點]本題通過相關向量坐標的確定，結合∠BFC＝90°，巧妙借助平面向量的坐標運算來轉化圓錐曲線中的相關問題，從形入手轉化為相應數的形式，簡化運算．[針對訓練]5.已知點A為圓B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一點，定點C的坐標為(2,0)，線段AC的垂直平分線交AB于點M.(1)求點M的軌跡方程；(2)若動直線l與圓O：x2＋y2＝eq\f(8,3)相切，且與點M的軌跡交于點E，F，求證：以EF為直徑的圓恒過坐標原點．技法五巧用“韋達”，化繁為簡某些涉及線段長度關系的問題可以通過解方程、求坐標，用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方程，使相關的點的同名坐標為方程的根，由根與系數的關系求出兩根間的關系或有關線段長度間的關系．后者往往計算量小，解題過程簡捷．[典例]已知橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點．(1)當直線AM的斜率為1時，求點M的坐標；(2)當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由．[名師微點]本例在第(2)問中應用了根與系數的關系求出xM＝eq\f(2－8k2,1＋4k2)，這體現了整體思想．這是解決解析幾何問題時常用的方法，簡單易懂，通過設而不求，大大降低了運算量．[針對訓練]6．已知橢圓E：eq\f(x2,t)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA.(1)當t＝4，|AM|＝|AN|時，求△AMN的面積；(2)當2|AM|＝|AN|時，求k的取值范圍．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F，且斜率為eq\r(3)的直線交C于點M(M在x軸上方)，l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，則M到直線NF的距離為()A.eq\r(5)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．2eq\r(2)2．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若eq\o(BA,\s\up7(→))＝2eq\o(AF,\s\up7(→))，且|eq\o(BF,\s\up7(→))|＝4，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,6)﹣eq\f(y2,5)＝1B．eq\f(x2,8)﹣eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,8)﹣eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,6)＝13．已知直線y＝2x＋m與橢圓C：eq\f(x2,5)＋y2＝1相交于A，B兩點，O為坐標原點．當△AOB的面積取得最大值時，|AB|＝()A.eq\f(5\r(42),21)B．eq\f(\r(210),21)C.eq\f(2\r(42),7)D．eq\f(3\r(42),7)4．記雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0))的左焦點為F，雙曲線C上的點M，N關于原點對稱，且∠MFN＝eq\f(3,4)∠MOF＝90°，則eq\f(b2,a2)＝()A．3＋2eq\r(3)B．4＋2eq\r(3)C．3＋eq\r(3)D．4＋eq\r(3)5．橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上存在兩點A，B，且A，B關于直線4x﹣2y﹣3＝0對稱，若O為坐標原點，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))))＝()A．1B．eq\r(3)C.eq\r(5)D．eq\r(7)6．已知拋物線y2＝2px(p>0)經過點M(1,2)，直線l與拋物線交于相異兩點A，B，若△MAB的內切圓圓心為(1，t)，則直線l的斜率為________．7．已知直線x＋2y﹣3＝0與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，且線段AB的中點在直線3x﹣4y＋1＝0，則此橢圓的離心率為________．8.如圖，拋物線E：y2＝4x的焦點為F，點M與F關于坐標原點O對稱，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，使得AB⊥BM，又A點在x軸上的投影為C，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AC))﹣eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))﹣eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))＝________.9．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點F為拋物線y2＝4x的焦點，P，Q是橢圓C上的兩個動點，且線段PQ長度的最大值為4.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若OP⊥OQ，求△OPQ面積的最小值．10．在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點．(1)如果直線l過拋物線的焦點，求eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))的值；(2)如果eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝﹣4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．第3課時題型上——全析高考常考的6大題型題型一圓錐曲線中的定點問題圓錐曲線中的定點問題一般是指與解析幾何有關的直線或圓過定點的問題(其他曲線過定點太復雜，高中階段一般不涉及)，其實質是：當動直線或動圓變化時，這些直線或圓相交于一點，即這些直線或圓繞著定點在轉動．這類問題的求解一般可分為以下三步：一選：選擇變量，定點問題中的定點，隨某一個量的變化而固定，可選擇這個量為變量(有時可選擇兩個變量，如點的坐標、斜率、截距等，然后利用其他輔助條件消去其中之一)．二求：求出定點所滿足的方程，即把需要證明為定點的問題表示成關于上述變量的方程．三定點：對上述方程進行必要的化簡，即可得到定點坐標．[典例]已知A，B分別為橢圓E：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)的左、右頂點，G為E的上頂點，eq\o(AG,\s\up7(→))·eq\o(GB,\s\up7(→))＝8.P為直線x＝6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點．[方法技巧]求解圓錐曲線中定點問題的2種方法(1)特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點，再證明定點與變量無關．(2)直接推理法：①選擇一個參數建立方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常數k當成變量，將變量x，y當成常數，將原方程轉化為kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式；②根據曲線(包含直線)過定點時與參數沒有關系(即方程對參數的任意值都成立)，得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程組的解為坐標的點就是曲線所過的定點，若定點具備一定的限制條件，可以特殊解決．[針對訓練]1．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2)))在橢圓上，A，B分別為橢圓C的上、下頂點，點M(t,2)(t≠0)．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線MA，MB與橢圓C的另一交點分別為P，Q，證明：直線PQ過定點．2．已知雙曲線C：eq\f(x2,4)﹣y2＝1.(1)求雙曲線C的離心率；(2)若直線l：y＝kx＋m與雙曲線C相交于A，B兩點(A，B均異于左、右頂點)，且以AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．題型二圓錐曲線中的定值問題圓錐曲線中的定值問題一般是指在求解解析幾何問題的過程中，探究某些幾何量斜率、距離、面積、比值等與變量斜率、點的坐標等無關的問題.其求解步驟一般為：,一選：選擇變量，一般為點的坐標、直線的斜率等.,二化：把要求解的定值表示成含上述變量的式子，并利用其他輔助條件來減少變量的個數，使其只含有一個變量或者有多個變量，但是能整體約分也可以.,三定值：化簡式子得到定值.由題目的結論可知要證明為定值的量必與變量的值無關，故求出的式子必能化為一個常數，所以只需對上述式子進行必要的化簡即可得到定值.[典例]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且過點A(2,1)．(1)求C的方程；(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．[方法技巧]圓錐曲線中定值問題的特點及2大解法(1)特點：待證幾何量不受動點或動線的影響而有固定的值．(2)兩大解法：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；②引進變量法：其解題流程為[針對訓練]設橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦點為F，過F的直線l與C相交于A，B兩點．(1)若eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，求l的方程；(2)設過點A作x軸的垂線交C于另一點P，若M是△PAB的外心，證明：eq\f(|AB|,|MF|)為定值．題型三構造目標不等式解決范圍問題欲求變量的取值范圍，可設法構造含有變量的不等式組，通過解不等式組來達到目的.[典例]已知點A，B分別為橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點，點P(0，﹣2)，直線BP交E于點Q，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(QB,\s\up7(→))，且△ABP是等腰直角三角形．(1)求橢圓E的方程；(2)設過點P的動直線l與E相交于M，N兩點，當坐標原點O位于以MN為直徑的圓外時，求直線l斜率的取值范圍．[方法技巧]圓錐曲線中范圍問題的5個解題策略(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；(2)利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系；(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；(4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍；(5)利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍．[針對訓練]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M(a，2eq\r(5))在拋物線C上．(1)若|MF|＝6，求拋物線的標準方程；(2)若直線x＋y＝t與拋物線C交于A，B兩點，點N的坐標為(1,0)，且滿足NA⊥NB，原點O到直線AB的距離不小于eq\r(2)，求p的取值范圍．題型四構造函數模型解決最值問題若題目中的條件和要求的結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立目標函數，然后根據其結構特征，構建函數模型求最值，一般情況下，常構建的函數模型有：1二次型函數；2雙曲線型函數；3多項式型函數.[典例]已知點A(﹣2,0)，B(2,0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為﹣eq\f(1,2).記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G.①證明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面積的最大值．[方法技巧]求解圓錐曲線中最值問題的2種方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：(1)利用幾何法：通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；(2)利用代數法：把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)參數的函數(解析式)，然后利用函數方法、不等式方法等進行求解．[針對訓練]如圖，已知拋物線x2＝y.點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，拋物線上的點P(x，y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(3,2)))，過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．題型五圓錐曲線中的證明問題圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關系方面的，如證明相切、垂直、過定點等；數量關系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點共線等．在熟悉圓錐曲線的定義和性質的前提下，要多采用直接法證明，但有時也會用到反證法．[典例]如圖，已知橢圓P：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的長軸A1A2的長為4，過橢圓的右焦點F作斜率為k(k≠0)的直線交橢圓于B，C兩點，直線BA1，BA2的斜率之積為﹣eq\f(3,4).(1)求橢圓P的方程；(2)已知直線l：x＝4，直線A1B，A1C分別與l相交于M，N兩點，設E為線段MN的中點，求證：BC⊥EF.[方法技巧]圓錐曲線證明問題的類型及求解策略(1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系，如：某點在某直線上、某直線經過某個點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數量關系(相等或不等)．(2)解決證明問題時，主要根據直線與圓錐曲線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等，通過相關性質的應用、代數式的恒等變形以及必要的數值計算等進行證明．[針對訓練]如圖，菱形ABCD的面積為8eq\r(2).eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝﹣4，斜率為k的直線l交y軸于點P，且eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))，以線段BD為長軸，AC為短軸的橢圓與直線l相交于M，N兩點(M與A在x軸同側)．(1)求橢圓的方程；(2)求證：AN與CM的交點在定直線y＝1上．題型六圓錐曲線中的存在性問題存在性問題一般分為探究條件和探究結論兩種類型，若探究條件，則可先假設條件成立，再驗證結論是否成立，成立則存在，否則不存在.若探究結論，則應先寫出結論的表達式，再針對表達式進行討論，往往涉及對參數的討論.[典例]已知曲線C上動點M與定點F(﹣eq\r(2)，0)的距離和它到定直線l1：x＝﹣2eq\r(2)的距離的比是常數eq\f(\r(2),2)，若過P(0,1)的動直線l與曲線C相交于A，B兩點．(1)說明曲線C的形狀，并寫出其標準方程；(2)是否存在與點P不同的定點Q，使得eq\f(|QA|,|QB