6.2橢圓、雙曲線、拋物線專題六內容索引0102考情分析?備考定向高頻考點?探究突破03預測演練?鞏固提升考情分析?備考定向試題統計題型(2018全國Ⅰ,理8)

(2018全國Ⅱ,理5)(2018全國Ⅲ,理11) (2019全國Ⅰ,理10)(2019全國Ⅰ,理16) (2019全國Ⅱ,理8)(2019全國Ⅱ,理11) (2019全國Ⅲ,理10)(2019全國Ⅲ,理15) (2020全國Ⅰ,理4)(2020全國Ⅰ,理15) (2020全國Ⅱ,理8)(2020全國Ⅱ,理19) (2020全國Ⅲ,理5)(2020全國Ⅲ,理11) (2020全國Ⅲ,理20)(2021全國乙,理11) (2021全國乙,理13)(2021全國甲,理5) (2021全國甲,理15)(2022全國乙,理5) (2022全國乙,理11)(2022全國甲,理10)選擇題填空題解答題命題規律復習策略從近五年的高考試題來看,圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質等是高考考查的重點,也是高考命題的基本元素.考查的角度有:對圓錐曲線的定義的理解及定義的應用,求圓錐曲線的標準方程,求圓錐曲線的離心率以及向量、直線、圓錐曲線的小綜合.抓住考查的主要題目類型進行訓練,重點是依據圓錐曲線的幾何性質求離心率;根據圓錐曲線的定義求標準方程;圓錐曲線與向量的小綜合;兩種圓錐曲線間的小綜合;直線與圓錐曲線的小綜合;圓錐曲線的綜合應用等.高頻考點?探究突破命題熱點一圓錐曲線的定義的應用【思考】

什么問題可考慮應用圓錐曲線的定義?求圓錐曲線標準方程的基本思路是什么?例1設P是橢圓

=1上一點,M,N分別是兩圓:(x+2)2+y2=1和(x-2)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為(

)A.4,8 B.2,6C.6,8 D.8,12A解析:

如圖,由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個焦點A,B,由橢圓的定義知|PA|+|PB|=6.連接PA,PB,分別與兩圓相交于M1,N1兩點,當M,N分別位于M1,N1處時,|PM|+|PN|最小,最小值為|PA|+|PB|-2=4.延長PA,PB,分別與兩圓相交于M2,N2兩點,當M,N分別位于M2,N2處時,|PM|+|PN|最大,最大值為|PA|+|PB|+2=8,故|PM|+|PN|的最小值和最大值分別為4,8.題后反思1.涉及橢圓(或雙曲線)兩焦點間的距離或焦點弦的問題以及到拋物線焦點(或準線)的距離問題,可優先考慮圓錐曲線的定義.2.求圓錐曲線的標準方程時“先定型,后計算”,即先確定是何種曲線,焦點在哪個坐標軸上,再利用條件求a,b,p的值.對點訓練1(1)已知圓C:(x+2)2+(y-3)2=1上一動點M,拋物線y2=8x上一動點N(x0,y0),則x0+|MN|的最小值為(

)BA解析:

(1)由題意得,拋物線y2=8x的準線為l:x=-2,拋物線y2=8x的焦點為F(2,0),圓C的圓心為C(-2,3),半徑為1.如圖,過點N作拋物線y2=8x的準線l:x=-2的垂線,垂足為點E,由拋物線的定義可得|NE|=|NF|,則x0=|NF|-2,所以x0+|MN|=|NF|+|MN|-2≥|CF|-3當且僅當C,M,N,F四點共線且點M,N在線段CF上時,x0+|MN|取得最小值,且最小值為2.(2)不妨設點P在第一象限,設|PF1|=m,|PF2|=n,則m>n,依題意,得

命題熱點二求圓錐曲線的離心率【思考】

求圓錐曲線離心率的基本思路是什么?例2已知雙曲線C:

=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,以F1F2為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為A,直線AF1與雙曲線的左支交于點B,且|AB|=|AF2|,設雙曲線的離心率為e,則e2=

.

解析:

由題意知,|AF1|>|AF2|,∴由雙曲線定義可知|AF1|-|AF2|=2a,又|AB|=|AF2|,∴|AF1|-|AF2|=|AF1|-|AB|=|BF1|=2a,又|BF2|-|BF1|=2a,∴|BF2|=4a.∵A在以F1F2為直徑的圓上,∴AF1⊥AF2,題后反思解決橢圓和雙曲線的離心率的求值或取值范圍問題,其關鍵就是先確立一個關于a,b,c(a,b,c均為正數)的方程或不等式,再根據a,b,c的關系消掉b得到a,c的關系式.建立關于a,b,c的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.C命題熱點三求軌跡方程【思考】

求軌跡方程的基本策略是什么?例3(2022廣西柳州高級中學模擬)如圖,已知橢圓M:

=1的長軸為AB,C為圓

x2+y2=4上一動點,且點C不在x軸上,線段AC,BC與橢圓M分別交于點D,E,線段AE,BD相交于點F.(1)當點C在y軸的正半軸上時,求△ADF與△BEF的面積之和;(2)證明直線AF與BF的斜率之積為定值,并求點F的軌跡方程.解:

(1)當點C在y軸的正半軸上時,點C(0,2),又點A(-2,0),B(2,0),所以直線AC的方程為y=x+2,直線BC的方程為y=-x+2.題后反思1.求軌跡方程時,先看軌跡的形狀能否預知,若能預先知道軌跡為何種圓錐曲線,則可考慮用定義法求解或用待定系數法求解;否則利用直接法或代入法.2.討論軌跡方程的解與軌跡上的點是否對應,要注意字母的取值范圍.對點訓練3如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過點M作C1的切線,切點分別為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當(1)求p的值;(2)當點M在C2上運動時,求線段AB的中點N的軌跡方程.命題熱點四圓錐曲線與圓相結合的問題【思考】

圓錐曲線與圓相結合的題目經常用到圓的哪些性質?例4拋物線C的頂點為坐標原點O,焦點在x軸上,直線l:x=1交拋物線C于P,Q兩點,且OP⊥OQ.已知點M(2,0),且☉M與直線l相切.(1)求拋物線C,☉M的方程;(2)設A1,A2,A3是拋物線C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與☉M相切.判斷直線A2A3與☉M的位置關系,并說明理由.∴拋物線C的標準方程為y2=x.☉M的方程為(x-2)2+y2=1.(2)由題意可知直線A1A2,A1A3,A2A3均不平行于x軸.設點A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),直線A1A2的方程為x-x1=m1(y-y1),直線A1A3的方程為x-x1=m2(y-y1),m1≠m2.所以y1+y2=m1,即y2=m1-y1.同理,y3=m2-y1.設直線A2A3的方程為x=ky+b,題后反思處理有關圓錐曲線與圓相結合的問題,要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用,如直徑對的圓周角為直角,構成了垂直關系;弦心距、半徑、弦長的一半構成直角三角形.利用圓的一些特殊幾何性質解題,往往使問題簡化.(1)求橢圓C的方程;(2)橢圓C與x軸相交于A,B兩點,P為橢圓C上一動點,直線PA,PB與直線x=3交于M,N兩點,設△PMN與△PAB的外接圓的半徑分別為r1,r2,求

的最小值.預測演練?鞏固提升A2.(2022全國乙,理5)設F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=(

)B解析:

設點A(xA,yA),由題意知點F(1,0),則|BF|=2.由拋物線的定義知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,D4.已知圓的方程為x2+y2=4,若拋物線過點A(-1,0),B(1,0),且以圓的切線為準線,則拋物線的焦點軌跡方程是

.

解析:

設拋物線的焦點為F,過A,B,O(O為坐標原點)作準線的垂線AA1,BB1,OO1,垂足分別為點A1,B1,O1,則有|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4.由拋物線的定義得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4,故點F的軌跡是以A,B為焦點,長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點),5.已知橢圓C