四、模糊集合的模糊程度——模糊熵四、模糊集合的模糊程度——模糊熵A的模糊熵E(A)，在單位超立方體In中從0到1，其中頂點(diǎn)的熵為0，說明不模糊，中點(diǎn)的熵為1，是最大熵。從頂點(diǎn)到中點(diǎn)，熵逐漸增大。簡(jiǎn)單地從幾何圖形上來考慮可以得到熵的比例形式：1整理ppt熵是一個(gè)一般性的概念，它度量了一個(gè)系統(tǒng)或一段信息的不確定性。模糊熵描述了一個(gè)模糊集的模糊性程度。一般的定義[1]： 〔1〕清楚集是不模糊的，那么清楚集的模糊熵為0； 〔2〕[1/2]是隸屬性最難確認(rèn)的模糊集，[1/2]的模糊性應(yīng)最大 〔3〕模糊集A與距[1/2]的1遠(yuǎn)近程度是相同的，那么要求A與的模糊程度一樣 〔4〕模糊集A的模糊性應(yīng)具有單調(diào)變化的性質(zhì)，即A越接近[1/2],A的模糊性越大；A越遠(yuǎn)離[1/2],A的模糊性越小。四、模糊集合的模糊程度——模糊熵2整理ppt模糊熵定理：模糊熵定理的幾何圖示。由對(duì)稱性，完整模糊方形的四個(gè)點(diǎn)到各自的最近頂點(diǎn)、最遠(yuǎn)頂點(diǎn)的距離都相等。該定理正式宣告了“西方邏輯〞的終止。〔〕四、模糊集合的模糊程度——模糊熵3整理pptk>0是常數(shù)很多文章是用這個(gè)定義來求模糊熵另外的一種定義〔類似于信息論中熵的定義〕四、模糊集合的模糊程度——模糊熵4整理ppt五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系(dominatedmembershipfunctionrelationship)：如果A=(.30.7)和B=(.4.7.9)，那么A就是B的一個(gè)模糊子集，但B不是A的模糊子集。顯然，這種模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的,是二值定義下的子集性(Zadeh’s1965)。5整理ppt1.模糊子集的幾何表示 B的所有模糊子集構(gòu)成集合——模糊冪集F(2B)，它構(gòu)成了在單位超立方體中倚著原點(diǎn)的規(guī)那么的超長(zhǎng)方形，其邊寬等于各隸屬度值mB(xi)。可以用Lebesgue測(cè)度或體積V(B)來度量F(2B)的大小，其中，體積V(B)為隸屬度值的乘積：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理圖7.76整理ppt2.包含度定理： 在圖7.7中，點(diǎn)A可以是長(zhǎng)方形內(nèi)的點(diǎn)，也可以不是。在長(zhǎng)方形F(2B)外不同的點(diǎn)A是B的不同程度的子集。而上述二值定義下的子集性忽略了這一點(diǎn)。考慮到集合A屬于F(2B)的不同程度，通過抽象隸屬度函數(shù)來定義包含度： S(.,.)在[0,1]之間取值，其代表了多值的子集測(cè)度〔包含度〕，是模糊理論中的根本的、標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)。五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理7整理ppt度量S(.,.)的兩種方法：

(1)代數(shù)方法:即失配法(fit-violationstrategy)

假定X包含有100個(gè)元素：X={x1,…,x100}。而只有第一個(gè)元素違背了主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系，使得mA(x1)>mB(x1)。直觀上，我們認(rèn)為A很大程度上是B的子集。可以估算，子集性為S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆個(gè)元素，A幾乎完全是B的子集了。可見失配的幅度mA(x1)-mB(x1)越大，失配的數(shù)目相對(duì)于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者說，A就越象是B的超集。直觀上有：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理8整理ppt失配數(shù)的計(jì)算：

max(0,mA(x)-mB(x))

歸一化之后得到超集的最小度量：

包含度為：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理9整理ppt這種包含度滿足主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，那么分子被加數(shù)應(yīng)都為0，因此主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系都滿足。反之，當(dāng)且僅當(dāng)B是空集時(shí)，S(A,B)=0。而空集本來就無法包含集合，無論是模糊集還是非模糊集。在這兩種極端情況之間，包含度的大小為：0<S(A,B)<1考慮匹配矢量A=(.20.4.5)和B=(.7.6.3.7)。A幾乎是B的子集，但不完全是，因?yàn)樗裕愃瓶傻茫何濉⒛：祥g的包含關(guān)系——包含度定理10整理ppt(2)幾何方法： 在圖7.7中，集合A或是位于F(2B)內(nèi),或是在外頭。直覺上，當(dāng)A接近F(2B)時(shí),S(A,B)應(yīng)接近于1，當(dāng)A遠(yuǎn)離F(2B)時(shí),S(A,B)應(yīng)該減小。那么A與F(2B)之間的距離如何計(jì)算？五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理圖7.711整理ppt尋找B*(A位于F(2B)外):通過F(2B)邊線的直線延伸，將超立方體In分割成2n個(gè)超長(zhǎng)方形。他們分為混合的或是純的主值隸屬度。非子集A1,A2,A3,分別位于不同的象限。通過F(2B〕與A1,A3的范數(shù)距離，分別找到與西北和東南象的點(diǎn)A1,A3距離最近的點(diǎn)B1*和B3*。而離東北象限中的點(diǎn)A2距離最近的點(diǎn)B*就是B自身。由此可證得一般性勾股定理。且這種“正交〞優(yōu)化情況說明d(A,B)就是lp直角三角形的斜邊。五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理12整理ppt以B為中心的l1范數(shù)區(qū)域呈鉆石形。A1和A2到F(2B)等距，但A1比A2離B更近。而同時(shí)，M(A1)>M(A2)。可見，包含度依賴于基數(shù)M(A)。考慮歸一化，進(jìn)一步猜測(cè)：定義超集度為：

d(A,F(2B))=d(A,B*)為了保證其值在(0,1)之間變化,要進(jìn)行歸一化處理，該常數(shù)等于最大的單位立方體距離，l1情況下值為n:S(A,B)=1-d(A,B*)/n這種度量存在的問題：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理〔圖7.9〕13整理ppt假定p=1，令正交性說明：設(shè)其充要條件是沒有失配現(xiàn)象發(fā)生，恒有。所以設(shè)其充要條件是有失配現(xiàn)象發(fā)生，這時(shí)，綜上：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理14整理ppt這種證明方法同樣給出了優(yōu)化子集B*的一個(gè)更重要的性質(zhì)：因?yàn)槿绻幸粋€(gè)失配關(guān)系，那么，所以，其余的，所以故。B*是具有雙重優(yōu)化特性的點(diǎn)，它既是離A最近的B的子集，也是離B最近的A的子集A*:五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理15整理ppt

包含度定理：推導(dǎo)相對(duì)頻率：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理16整理ppt五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理包含度定理的一些推論結(jié)論:fuzzytheoryextendsprobabilitytheory17整理ppt如何用模糊集合間的關(guān)系表征某個(gè)模糊集合的模糊程度包含度是模糊中最根本的有代表性的一個(gè)數(shù)值熵-包含度定理：說明：將包含度定理中的A、B分別用和代替，并注意到交集是并集的子集，即可證得。該定理說明了整體是其局部的一局部的程度。六、熵-包含度定理18整理ppt

圖示二維的熵-包含度定理。交集是并集的子集。可見長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)度相等，所以并集到交集的模糊冪集所構(gòu)成的超長(zhǎng)方形的最優(yōu)距離d*滿足：六、熵-包含度定理另外，利用式7-36也可得到該公式。〔7-36〕19整理ppt1模糊熵應(yīng)用于圖象邊緣檢測(cè)重慶郵電學(xué)院學(xué)報(bào)1996042唐山地震前地震活動(dòng)模糊熵值的異常特征華北地震科學(xué)1997033基于模糊熵與方向相似度的液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)故障檢測(cè)國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)1998044一種新的模糊熵圖象分割方法信號(hào)處理1998035用隨機(jī)模糊熵權(quán)方法編制礦井生產(chǎn)方案遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)1999016基于廣義模糊熵的故障特征參數(shù)選擇控制與決策1999067基于廣義模糊熵的液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)故障檢測(cè)研究宇航學(xué)報(bào)1999018一種基于模糊熵和遺傳算法的圖像分割方法上海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)1999069一種基于最大模糊熵的高斯聚類算法電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)20000310模糊熵的可靠性設(shè)計(jì)與運(yùn)用七、模糊熵的一些應(yīng)用20整理ppt11基于凸多項(xiàng)式模糊熵的圖象閾值方法控制與決策20000312基于模糊熵的多目標(biāo)模糊優(yōu)選模型及其應(yīng)用煤炭學(xué)報(bào)20000413基于模糊熵的平安等級(jí)隸屬度向量的離散化方法中國(guó)有色金屬學(xué)報(bào)20000414一類Vague集模糊熵的構(gòu)造方法華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)20010915用模糊評(píng)價(jià)法和模糊熵確定拱橋洪水淹沒深度武漢城市建設(shè)學(xué)院學(xué)報(bào)20010116關(guān)于Vague集的模糊熵及其構(gòu)造計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件20020217數(shù)據(jù)挖掘中決策樹加權(quán)模糊熵算法計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化20020318基于遺傳算法的模糊熵圖像分割算法計(jì)算機(jī)仿真20020519不確定性動(dòng)態(tài)軍事指揮決策的模糊熵分析系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用20020320電力系統(tǒng)中長(zhǎng)期負(fù)荷預(yù)測(cè)的最大模糊熵模型研究電力自動(dòng)化設(shè)備20030821整理ppt21冀魯豫交界區(qū)地下流體模糊熵值的變化與地震的關(guān)系地震研究20030122一種基于代價(jià)函數(shù)和模糊熵的圖像分割方法光子學(xué)報(bào)20031223基于遺傳算法和模糊熵的前視紅外圖像分割紅外與毫米波學(xué)報(bào)20030624基于Fuzzy集的Vague集的模糊熵華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)20030125模糊決策樹中參數(shù)對(duì)模糊熵的敏感性分析計(jì)算機(jī)工程20031126基于模糊熵及遺傳算法的圖像增強(qiáng)技術(shù)農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)20030327利用模糊熵進(jìn)行參數(shù)有效性分析的語音情感識(shí)別電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào)20030328基于模糊熵聚類和Kalman濾波的區(qū)域跟蹤測(cè)控技術(shù)20031129基