專題8.5直線、平面垂直的判定及性質新課程考試要求1.了解平面的含義，理解空間點、直線、平面位置關系的定義，掌握公理、判定定理和性質定理；2.掌握公理、判定定理和性質定理.核心素養本節涉及的數學核心素養：數學運算、邏輯推理、直觀想象等.考向預測（1）以幾何體為載體，考查線線、線面、面面垂直證明.（2）利用垂直關系及垂直的性質進行適當的轉化，處理綜合問題.（3）本節是高考的必考內容．預測2020年高考將以直線、平面垂直的判定及其性質為重點，涉及線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定及其應用，題型為解答題中的一問，或與平行相結合進行命題的判斷.以及運用其進一步研究體積、距離、角的問題，考查轉化與化歸思想、運算求解能力及空間想象能力．【知識清單】知識點1．直線與平面垂直的判定與性質定義：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直．定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,l⊥a,l⊥b,a∩b＝A))?l⊥α性質定理如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b知識點2．平面與平面垂直的判定與性質定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ABβ,AB⊥α))?β⊥α性質定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝MN,ABβ,AB⊥MN))?AB⊥α知識點3．線面、面面垂直的綜合應用1．直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法①定義法．②利用判定定理：如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．(2)直線和平面垂直的性質①直線垂直于平面，則垂直于平面內任意直線．②垂直于同一個平面的兩條直線平行．③垂直于同一直線的兩平面平行．2．斜線和平面所成的角斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角．3．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法①定義法②利用判定定理：如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的性質如果兩平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．【考點分類剖析】考點一：直線與平面垂直的判定與性質【典例1】（2021·全國高考真題（文））已知直三棱柱SKIPIF1<0中，側面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，E，F分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0.（1）求三棱錐SKIPIF1<0的體積；（2）已知D為棱SKIPIF1<0上的點，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明見解析.【解析】(1)首先求得AC的長度，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；(2)將所給的幾何體進行補形，從而把線線垂直的問題轉化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結論.【詳解】(1)如圖所示，連結AF，由題意可得：SKIPIF1<0，由于AB⊥BB1，BC⊥AB，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)由(1)的結論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體SKIPIF1<0，如圖所示，取棱SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連結SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為中點，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例2】（2021·河北易縣中學高一月考）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O是線段AC的中點，M是線段BC的中點.（1）求證：PO⊥平面ABC；（2）求直線PM與平面PBO所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）利用勾股定理得出線線垂直，結合等邊三角形的特點，再次利用勾股定理得出線線垂直，進而得出線面垂直；（2）根據線面垂直SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，得出線和面的夾角SKIPIF1<0，從而得出線面角的正弦值.【詳解】（1）由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0又SKIPIF1<0是邊長等于SKIPIF1<0的等邊三角形，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0.由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角.由（1）SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為SKIPIF1<0【規律方法】(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質.(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想.(3)線面垂直的性質，常用來證明線線垂直.【變式探究】1．（2020·云南省下關第一中學高二月考（文））如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是邊長為SKIPIF1<0的菱形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）證明出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用線面垂直判定定理可得出結論；（2）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，連接SKIPIF1<0，分析可知直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的長，分析出SKIPIF1<0為等邊三角形，可計算出三棱錐SKIPIF1<0的體積，并計算出SKIPIF1<0的面積，利用等體積法可計算出點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【詳解】（1）因為四邊形SKIPIF1<0是菱形，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，連接SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，于是SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等邊三角形，所以三角形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.2.（2019·陜西高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，,，面面,為等邊三角形，為的中點．(1)求證：平面；(2)若是的中點，求三棱錐的體積．【答案】（1）詳見解析（2）【解析】(1)證：因為為等邊中邊的中點，所以,又因為在菱形中，，所以為等邊三角形，為的中點，所以,而,所以平面.(2)解：由(1)知，面面,所以底面，因為等邊的邊長為2，所以,易知為邊長為2的等邊三角形，所以三棱錐的體積為：,因為是的中點，所以，所以三棱錐的體積為．考點二：平面與平面垂直的判定與性質【典例3】（2020·全國高考真題（文））如圖，SKIPIF1<0為圓錐的頂點，SKIPIF1<0是圓錐底面的圓心，SKIPIF1<0是底面的內接正三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設DO=SKIPIF1<0，圓錐的側面積為SKIPIF1<0，求三棱錐P?ABC的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓錐頂點，SKIPIF1<0為底面圓心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓內接正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）設圓錐的母線為SKIPIF1<0，底面半徑為SKIPIF1<0，圓錐的側面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.【典例4】（2020·全國高考真題（文））如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別為，的中點，又在等邊中，為中點，則又側面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）過作垂線，交點為，畫出圖形，如圖平面平面，平面平面又為的中心.故：，則，平面平面，平面平面，平面平面又在等邊中即由（1）知，四邊形為梯形四邊形的面積為：，為到的距離，.【規律方法】1.判定面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．2．證面面垂直的思路(1)關鍵是考慮證哪條線垂直哪個面．這必須結合條件中各種垂直關系充分發揮空間想象綜合考慮．(2)條件中告訴我們某種位置關系，就要聯系到相應的性質定理，如已知兩平面互相垂直，我們就要聯系到兩平面互相垂直的性質定理．【變式探究】1.在四邊形中，，，將沿折起，使平面平面，構成三棱錐，如圖，則在三棱錐中，下列結論正確的是（）A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面【答案】D【解析】在直角梯形中，因為為等腰直角三角形，故，所以，故，折起后仍然滿足.因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，因平面，所以.又因為，，所以平面，因平面，所以平面平面.2.（2020·貴溪市實驗中學月考（文））如圖所示，在四棱錐中，平面，是線段的中垂線，與交于點，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因為平面，所以．又因為，，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）因為，，，，所以由勾股定理得，．所以，．設點到平面的距離為．由，得，即，解得．【總結提升】在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，轉化為線面垂直或線線垂直．轉化方法：在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．考點三：線面、面面垂直的綜合應用【典例5】（2020·安徽省舒城中學月考（文））設m，n是空間兩條不同的直線，α，β是空間兩個不同的平面．給出下列四個命題：①若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n；②若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α；③若m⊥n，m⊥α，α∥β，則n∥β；④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，則m⊥β．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【解析】由是空間兩條不同的直線，是空間兩個不同的平面．在①中，若，則與相交、平行或異面，故①錯誤；在②中，設，因為，所以，又，所以，又，，所以，故②正確；在③中，若，則與平行或，故③錯誤；在④中，設，因為，所以，又，所以，又因為，所以，所以，故④正確．故選：C．【典例6】（2021·浙江）已知三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為斜邊的等腰直角三角形，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為斜邊的直角三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0．（Ⅰ）現給出兩個條件：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點．從中任意選一個條件為已知條件，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角和直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角相等，且SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）SKIPIF1<0.【解析】（Ⅰ）選①選②，都是先證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）根據兩個線面角相等得出SKIPIF1<0，進而可求SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0的體積．【詳解】（Ⅰ）若選①SKIPIF1<0證明：∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．若選②SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點證明：∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0為等腰直角三角形SKIPIF1<0斜邊SKIPIF1<0中點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（Ⅱ）由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成線面角，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．求得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【規律方法】1.證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質定理；三是平行線法(若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面)．解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化；另外，在證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度，經計算滿足勾股定理)、直角梯形等等．2.垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.（1）證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.（2）證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.（3）證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.3.在垂直關系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據已知的平面圖形通過計算的方式(如勾股定理)證明線線垂直，也可以根據已知的垂直關系證明線線垂直．4.垂直關系的轉化：【變式探究】1.（2020·安徽省太和第一中學開學考試）四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其余棱長均為4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點（不含端點），則（）A．不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】D【解析】作出示意圖如下圖所示：SKIPIF1<0分別是AB，CD的中點，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，對于A選項，取E，F分別在AB，CD的中點SKIPIF1<0時，因為SKIPIF1<0，其余棱長均為4，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A錯誤；對于D選項，取E，F分別在AB，CD的中點SKIPIF1<0時，由A選項的解析得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故D正確；對于B選項，作SKIPIF1<0面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0定在AB的中線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的角，當E在AB上移動時，SKIPIF1<0的最小值為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是銳角，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故當E在AB上移動時，不存在E，使得DE⊥CD.故B錯誤.對于C選項，作SKIPIF1<0面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0定在AB的中線SKIPIF1<0上，且不重合于點SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0不落在AB上，又因為過空間中一點有且只有一條直線與已知平面垂直，故不存在E，使得DE⊥平面ABC，故C選項不正確，故選：D.2.（2021·唐山市第十一中學高一月考）如圖所示，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，點E為SKIPIF1<0的中點，點F為SKIPIF1<0的中點．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連結SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用中位線結合正方形證得SKIPIF1<0，利用線面垂直的性質定理證得SKIPIF1<0，利用中線證得SKIPIF1<0為等腰三角形，利用平行證得結論；（2）利用三角形全等和等腰三角形證得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，然后利用線面垂直的判定定理證得結論.【詳解】（1）連結SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0斜邊SKIPIF1<0上的中線，∴SKIPIF1<0．又∵四邊形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0．而由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0斜邊SKIPIF1<0上的中線，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰三角形，∵E為SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）由已知易得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是等腰三角形，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．考點四：平行、垂直的綜合應用【典例7】（2020·全國高考真題（理））如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別為，的中點，又在中，為中點，則又側面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）連接平面，平面平面根據三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面故：四邊形是平行四邊形設邊長是()可得：，為的中心，且邊長為故：解得：在截取，故且四邊形是平行四邊形，由（1）平面故為與平面所成角在，根據勾股定理可得：直線與平面所成角的正弦值：.【典例8】（2021·江蘇省鎮江中學高一月考）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為2的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點.（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）在線段SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成最大角的正切值為SKIPIF1<0，若存在，請求出SKIPIF1<0點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）連接BD，證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）假設線段SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角得平面角，當SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，利用條件求出SKIPIF1<0，即可得出結論.【詳解】（1）證明：連接BD，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則三角形SKIPIF1<0為等邊三角形，因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）解：假設線段SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，由（1）可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角得平面角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，使得SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成最大角的正切值為SKIPIF1<0.【總結提升】1.與探索性問題有關的解題策略(1)求條件探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性．(2)涉及點的位置探索性問題一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據相似知識建點．2．證明折疊問題中的平行與垂直，關鍵是分清折疊前后圖形的位置和數量關系的變與不變．一般地，折疊前位于“折痕”同側的點、線間的位置和數量關系折疊后不變，而折疊前位于“折痕”兩側的點、線間的位置關系折疊后會發生變化．對于不變的關系可在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決．【變式探究】1.（2019·云南高三月考（文））如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，P為AB邊上一動點，PD∥BC交AC于點D，現將△PDA沿PD翻折至△PDA1，E是A1C的中點．（1）若P為AB的中點，證明：DE∥平面PBA1．（2）若平面PDA1⊥平面PDA，且DE⊥平面CBA1，求四棱錐