專題8.3空間點、直線、平面之間的位置關系新課程考試要求1.了解平面的含義，理解空間點、直線、平面位置關系的定義，掌握公理、判定定理和性質定理；2.了解兩點間距離、點到平面的距離的含義.3.理解兩條異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念.核心素養本節涉及的數學核心素養：數學運算、邏輯推理、直觀想象等.考向預測（1）以幾何體為載體，考查點線面的位置關系，以及異面直線所成角、線面角等，與平行關系、垂直關系等相結合考查的情況.（2）判斷線線、線面、面面的位置關系.（3）平面的基本性質，點、直線、平面之間的位置關系是高考試題主要考查知識點，題型多為選擇題或填空題，少有在大題中間接考查．平面的基本性質是立體幾何的基礎，而兩條異面直線所成的角、線面角、二面角和距離是高考熱點．【知識清單】知識點1．平面的基本性質(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(即直線在平面內)．(2)公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)．(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線．推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．知識點2．空間兩直線的位置關系直線與直線的位置關系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個平面內))直線與平面的位置關系有平行、相交、在平面內三種情況．平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況．平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．知識點3．異面直線所成的角異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．②范圍：.異面直線的判定方法：判定定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過該點的直線是異面直線；反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．知識點4．直線與平面所成角1．直線和平面所成角的求法：如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|).知識點5．二面角1．求二面角的大小(1)如圖1，AB、CD是二面角α－l－β的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如圖2、3，分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小(或)．【考點分類剖析】考點一：平面的基本性質【典例1】（2021·北京高一期末）已知點A∈直線l，又A∈平面SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例2】（2020·全國高考真題（文））如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當時，；（2）點在平面內．【規律方法】1.證明點共線問題的常用方法公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據公理3證明這些點都在交線上同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.2.證明線共點問題的方法證明若干線共點的基本思路是先找出兩條直線的交點，再證明其他直線都經過該點．而證明直線過該點的方法是證明點是以該直線為交線的兩個平面的公共點．3.證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合【變式探究】1.（2019·上海高三）若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件2.（2019·河南高三月考（文））如圖，是平行六面體，O是的中點，直線交平面于點M，則下列結論正確的是（）A.不共面 B.三點共線C.不共面 D.共面【總結提升】公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據；公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據；公理3是證明三線共點或三點共線的依據．要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理．畫幾何體的截面，關鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定，作圖時充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置．證明四點共面的基本思路：一是直接證明，即利用公理或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點確定一個平面，再證第四個點也在這個平面內即可．要證明點共線或線共點的問題，關鍵是轉化為證明點在直線上，也就是利用公理3，即證點在兩個平面的交線上．或者選擇其中兩點確定一直線,然后證明另一點也在直線上.考點二：空間線、面的位置關系【典例3】（2021·北京高一期末）若直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則下列結論一定成立的個數是（）①SKIPIF1<0內的所有直線與m異面；②SKIPIF1<0內存在唯一一條直線與m相交；③SKIPIF1<0內存在直線與m平行．A．0 B．1 C．2 D．3【典例4】（2021·江蘇省如皋中學高一月考）如圖，設不全等的SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不在同一個平面內，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三線共點．【總結提升】判斷空間兩直線位置關系的思路方法(1)判斷空間兩直線的位置關系一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準確判斷．(2)異面直線的判定方法①反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設的條件出發，經過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面．②定理法：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線．【變式探究】1.（廣東高考真題）若直線和是異面直線，在平面內，在平面內，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A.與，都相交 B.與，都不相交C.至少與，中的一條相交 D.至多與，中的一條相交2.若表示直線，表示平面，下列結論中正確的是_______.①；②；③；④.【總結提升】空間中兩直線位置關系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質、平行公理及線面平行與面面平行的性質定理；對于垂直關系，往往利用線面垂直的性質來解決.考點三：異面直線所成的角【典例5】（2021·江西高一期末（理））如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【規律方法】1.求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行．平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．2．向量法(基底法、坐標法)求異面直線所成的角根據題意，確定兩異面直線各自的方向向量a，b，則兩異面直線所成角θ滿足cosθ＝.【變式探究】（2021·江蘇省鎮江中學高一月考）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角是（）A．45° B．90°C．正切值為2 D．正切值為SKIPIF1<0考點四：直線與平面所成角【典例6】【多選題】（2021·江蘇高二期末）如圖所示，在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則下列結論正確的是（）A．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線B．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0D．點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0【典例7】（2018·天津高考真題（文））如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求證：AD⊥BC；（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．【總結提升】1.利用幾何法：原則上先利用圖形“找線面角”或者遵循“一做----二證----三計算”.2.利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其補角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.【變式探究】1.（2019·全國高三月考（理））已知球內接三棱錐中，平面ABC，為等邊三角形，且邊長為，又球的體積為，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為________.2.（2021·全國高三其他模擬）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有邊長均為1.（1）計算正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面積和體積；（2）求直線AB1與平面ABC所成角的大小.考點五：二面角【典例8】（2021·江蘇高二期末）如圖，在斜三棱柱SKIPIF1<0中，側面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值；（2）求二面角SKIPIF1<0的正切值.【總結提升】1.利用幾何法：原則上先利用圖形“找平面角”或者遵循“一做----二證----三計算”.2.（1）求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．(2)用平面的法向量求二面角時，二面角的大小與兩平面法向量的夾角有相等和互補兩種情況．【變式探究】（2021·河北巨鹿中學高一月考）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規律的立體結構，其所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個