塊體彈簧元法在水墊塘反拱底板穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用

在河谷地區(qū)修建的高壩，如二郎、西灣、小灣、構(gòu)皮灘、拉西瓦、錦屏等，采用水庫(kù)和深孔聯(lián)合排水的配置形式，水庫(kù)后面配置了兩座水庫(kù)，形成了一個(gè)水貸款池，下水泵的能量集中在貸款池中的消減帶上。泄洪水流落入下游水墊塘后,具有相當(dāng)大的動(dòng)能,產(chǎn)生巨大的時(shí)均和脈動(dòng)荷載。為了增加水墊塘的整體抗沖能力,常需要對(duì)水墊塘進(jìn)行全面的混凝土襯砌防護(hù)。水墊塘的混凝土底板襯砌防護(hù)形式主要有兩種:其一是梯形復(fù)式斷面水墊塘防護(hù)型式,其二是反拱形水墊塘防護(hù)型式。根據(jù)已有研究成果,反拱形底板的穩(wěn)定性大大優(yōu)于平底板,在相同運(yùn)行工況下,反拱形底板安全系數(shù)可達(dá)平底板2～3倍,表明反拱形底板是解決高拱壩大流量泄洪消能問(wèn)題的有效措施。反拱底板是一個(gè)拱殼形結(jié)構(gòu),因考慮施工、溫度、不均勻沉降等,每隔10m～20m設(shè)橫、縱縫,在隨機(jī)動(dòng)水荷載作用下可能形成“隨機(jī)拱”結(jié)構(gòu)。底板塊和塊之間并非是連續(xù)的整體,而是靠壓力和摩擦力來(lái)保證其整體性的,因而,整個(gè)拱圈并非結(jié)構(gòu)力學(xué)上的拱。盡管國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)反拱底板的穩(wěn)定性是進(jìn)行了一系列的研究,提出了一些判斷失穩(wěn)的條件,但在處理反拱底板的結(jié)構(gòu)形式時(shí),這些研究大都將底板近似視為三鉸拱,二鉸拱或無(wú)鉸拱。而這些力學(xué)模型不能很好地反映反拱底板的受力特點(diǎn)和失穩(wěn)機(jī)制,不能精確分析反拱形底板板塊\_錨固\_拱端\_動(dòng)水荷載的相互作用機(jī)制,因而急需找到一種能夠全面反映水墊塘反拱底板受力特點(diǎn)和失穩(wěn)機(jī)制有效的數(shù)學(xué)模型。本文首次建立用于分析水墊塘反拱底板穩(wěn)定的塊體彈簧元的數(shù)學(xué)模型,以便為工程設(shè)計(jì)提供更科學(xué)的依據(jù)。1成為“上抬”的“拱座”反拱底板的破壞形式包括兩種:其一是反拱底板的整體失穩(wěn)——當(dāng)反拱底板在水動(dòng)力荷載作用形成整體上抬時(shí),整體上舉力超過(guò)“拱座”的抗力時(shí)產(chǎn)生的失穩(wěn),如圖1a所示;其二是反拱底板的局部失穩(wěn)——當(dāng)反拱底板在隨機(jī)水動(dòng)力荷載作用下,部分塊體“上抬”、部分塊體“下壓”,“下壓”的塊體成為“上抬”的“拱座”,即塊與塊之間形成“隨機(jī)拱”,如圖1b所示。當(dāng)塊體A承受的上舉力超過(guò)相鄰塊體提供“拱座”抗力作用,形成局部失穩(wěn)。在隨機(jī)荷載作用下,反拱底板塊體間可能在不同時(shí)刻互為“拱座”,塊體的穩(wěn)定主要依靠塊體的自重、摩擦力、錨固力。平底板的錨固力只能為自身塊體提供抗“上抬”的作用,而反拱底板的錨固力不但能為自身塊體提供抗“上抬”的作用,還能通過(guò)“抗剪”作用為鄰塊體提供“拱座”抗力。按照結(jié)構(gòu)力學(xué)中拱結(jié)構(gòu)的形式對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定分析,即便只是計(jì)算拱端推力,也是不精確的。而精確分析解決反拱底板塊體之間,塊體與基巖之間,整個(gè)底板與拱座之間復(fù)雜的作用,結(jié)構(gòu)力學(xué)中拱結(jié)構(gòu)形式是無(wú)能為力。前人曾用有限元對(duì)反拱底板進(jìn)行過(guò)分析,但是,有限元適用的是內(nèi)力和位移連續(xù)的結(jié)構(gòu)體,而由于板塊體間縫隙的存在,整個(gè)拱圈不是一個(gè)內(nèi)力和位移連續(xù)的整體,而是一種塊體系。塊體彈簧元這種非連續(xù)介質(zhì)數(shù)值方法就適用于分析這種結(jié)構(gòu)體系。2彈簧剛度的計(jì)算方法塊體彈簧元的基本構(gòu)思是將離散的塊體單元的變形累積反映在單元交界面上設(shè)置的彈簧上,由于塊體元的變形已經(jīng)用彈簧變形表示,故其位移呈剛性位移模式,而彈簧的變形由相臨單元相對(duì)位移的差分格式解得。該模型采用虛功原理為理論依據(jù),建立整體支配方程,從而獲得各塊體(形心)的位移,單元交界面的相對(duì)位移和接觸力(彈簧力)。本力學(xué)模型可描述不連續(xù)位移,單元可為任何形狀,適用性強(qiáng),應(yīng)力精度不低于相對(duì)位移精度。建立數(shù)值模型的基本思想類似于有限元,即將結(jié)構(gòu)物視為由有限個(gè)劃分的塊體組成的整體,以塊體的位移作為基本未知量進(jìn)行求解。本模型的基本過(guò)程也類似有限元,步驟如下:即用結(jié)構(gòu)上存在的縫隙、節(jié)理、軟弱層等使結(jié)構(gòu)非連續(xù)化的幾何條件將結(jié)構(gòu)劃分為塊體,也可人為劃分。塊體和塊體之間根據(jù)接觸方式的不同在邊界上設(shè)置不同的彈簧,彈簧就類似于有限元中的節(jié)點(diǎn),彈簧連接相臨的塊體。結(jié)構(gòu)離散化時(shí),劃分單元的大小和數(shù)目一要根據(jù)結(jié)構(gòu)上實(shí)際情況,也要根據(jù)計(jì)算精度的要求來(lái)決定。即導(dǎo)出單元間接觸力和單元位移的關(guān)系。這一步驟與有限元不同。有限元中導(dǎo)出的是單元的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系,這種關(guān)系是一個(gè)單元內(nèi)部的關(guān)系。而彈簧元塊體上的接觸力不僅與該塊體本身的位移有關(guān),還與所有與其接觸的所有塊體的位移有關(guān)。按照靜力等效原則將塊上的接觸力簡(jiǎn)化到塊的中心,可以得出一個(gè)塊體類單元?jiǎng)偠染仃嚒⒏鱾€(gè)塊體組成的塊體系進(jìn)行整體分析。其目的是導(dǎo)出整個(gè)塊體系位移與接觸力的關(guān)系。首先按一定的集成規(guī)則,將塊體剛度矩陣形成整體剛度矩陣,并將單元等效外荷載,結(jié)構(gòu)的位移邊界條件引入到整體平衡方程組中,得出基本未知量—塊單元位移列陣,最后計(jì)算各個(gè)塊體的之間的接觸力、內(nèi)力和變形。以下按照上述步驟建立拉西瓦反拱形底板彈簧元數(shù)值模型。2.1維接觸剛度和位移底板塊體系由分縫分隔成的塊體組成,塊體是剛性的,即塊體的變形集中反映在連接塊體的彈簧上。見(jiàn)圖2,塊和塊之間由接觸面兩端假設(shè)的法向和剪向彈簧連接,接觸剛度由塊體物理參數(shù)確定;底板與基巖也由法向和剪向彈簧連接,壓時(shí)接觸剛度由地板塊和基巖物理參數(shù)確定,拉時(shí)由錨固鋼筋物理參數(shù)確定。在二維的情況下,每一個(gè)塊有三個(gè)自由度。在每一個(gè)塊的中心,只定義有三個(gè)位移量,即在塊i上定義X軸上的位移Ui,以同X軸方向一致為正;在Y軸上的位移Vi,與Y軸正方向一致為正;轉(zhuǎn)角θi,以逆時(shí)針為正。2.2塊體的位移i在二維彈簧元體系中,所有的塊體由彈簧連接,接觸面上的接觸力都等效地轉(zhuǎn)移到接觸線的兩端的接觸點(diǎn)處即彈簧所在處。接觸剛度就由接觸點(diǎn)上的法向和剪向彈簧剛度來(lái)確定。塊體i上任意一點(diǎn)Q的位移記為ui(Q),vi(Q),塊體i中心的位移記為Ui,Vi,θi。Q點(diǎn)的位移{u}i視為由兩部分組成:隨塊的平移產(chǎn)生的位移{u′}i和隨塊的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的位移{u″}i,則:{u}i={u′}i+{u″}i(1)塊i上的任意一點(diǎn)Q的位移可表示為:{u}i=[B]i{U}i?(2)其中[B]i=[10-ˉyi01ˉxi];{U}i={UiViθi}?ˉxi,ˉyi是Q點(diǎn)相對(duì)于塊i中心的相對(duì)坐標(biāo)。在塊i和塊j的任意接觸點(diǎn)Q,相對(duì)位移{Δu}ij={u}j-{u}i=[B]j{U}j-[B]i{U}i=[D]ij{U}ij(3)其中,[D]ij=[-10ˉyi10-ˉyj0-1-ˉxi01ˉxj]{U}ij=[Ui,Vi,θi,Uj,Vj,θj]Τ2.3接觸剛度公式有了接觸點(diǎn)的相對(duì)位移及接觸剛度,就可以得出接觸點(diǎn)的接觸力。接觸力包括剪向力和法向力。在塊和塊的接觸點(diǎn)Q,接觸力記為:法向力Fn,剪向力Fs,接觸力:{Fn}ij={FnFs}=[Κn00Κs]{δ}ij=[Κ]ij[Τ]i[D]ij{U}ij(4)其中,[Κ]ij=[Κn00Κs],Κn,Κs分別是塊體間的法向、剪向接觸剛度。接觸剛度可以使用Kawai的剛度公式。有錨固情況下根據(jù)鋼筋的材料特性和錨固鋼筋面積求接觸剛度。{δ}ij=[T]i{Δu}ij=[T]i[D]ij{U}ij,是接觸點(diǎn)相對(duì)位移在接觸面法向和剪向的分量。其中[Τ]i=[cosαisinαi-sinαicosαi]?αi是接觸點(diǎn)法向方向(向外)與x軸正方向所成的角度。再通過(guò)[Bi]T[T]Ti將接觸力轉(zhuǎn)到塊i的中心,除了x軸,y軸上的兩個(gè)力,又多了一個(gè)力矩Mc{Fc}ij=[Bi]Τ[Τ]Τi[Κ]ij[Τ]i[D]ij{U}ij(5)2.4靜態(tài)平衡狀態(tài)所有的塊體組成的體系在內(nèi)、外力的共同作用下處于靜態(tài)的平衡狀態(tài)。在這里內(nèi)力指塊與塊之間的接觸力,外力指塊體系外部的作用力如重力,動(dòng)水壓力,浮力等。2.4.1階矩陣法對(duì)于塊i來(lái)說(shuō),假設(shè)與塊j\,塊k、塊m……等接觸,則轉(zhuǎn)至中心的接觸力有{Fc}ij,{Fc}ik,{Fc}im\:\:,這些力的和{Fc}i=[Κ]ii{U}i+[Κ]ij{U}j+[Κ]im{U}m+\:(6)其中[K]ii,[K]ij,[K]im都是3×3階矩陣。從式(6)中可以知道,某一塊體上的接觸力不僅與其本身的位移有關(guān),而且和與其接觸的所有塊體的位移有關(guān),本文中稱為塊單元?jiǎng)偠染仃嚒?.4.2z東南角面為硬相的定義{P}i,={Px,Py}T,作用在塊i上,把它轉(zhuǎn)至塊i的中心,即:{Ρ}i={Ρx,Ρy,Ρz}Τ={B}Τip{Ρ}i{α}p,(7)其中{B}ip類似于式(2)中的[B]i,只不過(guò)ˉxi,ˉyi要替換為ˉxiip,ˉyip(力作用點(diǎn)在塊i上的相對(duì)坐標(biāo))。{α}={cosαp,sinαp}T,其中αp是力P與坐標(biāo)軸所成的角度。所有塊上的外力轉(zhuǎn)換到其中心后可以用{P}表示。2.4.3彈簧塊單元?jiǎng)偠染仃囈粋€(gè)塊體系任意一個(gè)塊體上受到的接觸力都可以由上式轉(zhuǎn)移到其中心。則整個(gè)塊體系的接觸力和整個(gè)塊體系的位移可以通過(guò)整體剛度矩陣對(duì)應(yīng)起來(lái),表示為:ijmijm[????????[Κ]ii?[Κ]ij?[Κ]im?????????[Κ]ji?[Κ]jj???????????[Κ]mi???[Κ]mm????????]{?[U]i?[U]j?[U]m?}={?[Fc]i?[Fc]j?[Fc]m?}(8)其中:[K]ii,[K]ij,[K]im,[K]ji,[K]jj,[K]mi,[K]mm等都是3×3階塊單元?jiǎng)偠染仃?[U]i,[U]j,[U]m是3階塊體中心位移列陣。[Fc]i,[Fc]j,[Fc]m是接觸力3階列陣。簡(jiǎn)記為[Κ]{U}={F}(9)[K]表示彈簧塊總剛矩陣,是3N×3N階矩陣,N是塊體系的塊的數(shù)量。{U}是3N的列陣,由N塊的3N個(gè)位移量組成。{F}是3N的列陣,由轉(zhuǎn)到塊中心的3N個(gè)外力分量組成。而{F}={P},從而:[Κ]{U}={Ρ}(10)解式(10),可以得出{U},得出{U}后,由式(4)可以得出任意兩個(gè)塊i\,j在其接觸點(diǎn)的{Fn}ij。2.5塊體失穩(wěn)的防止最初假定塊體系是線彈性的,在外力{P}的作用下處于平衡狀態(tài)。塊體之間的接觸力按前面所述求出。如果有塊體失穩(wěn)(由塊體的接觸狀態(tài)決定,比如該塊體和其它塊體只有一個(gè)接觸點(diǎn)),則塊體系失穩(wěn)。如果沒(méi)有塊體失穩(wěn),則判斷接觸力:如果求得的法向接觸力為負(fù)值(拉力),則該點(diǎn)處的接觸力以零來(lái)代替;如果法向接觸力不為零,但剪應(yīng)力大于最大容許剪應(yīng)力,這種情況下,原來(lái)求得的剪應(yīng)力就要由最大容許剪應(yīng)力來(lái)替代。這樣,原有的部分外力沒(méi)有被平衡掉,需要進(jìn)行新一輪的計(jì)算。首先更新幾何條件和接觸狀態(tài),建立一個(gè)新的剛度矩陣。再把未被平衡掉的那部分力加上,同樣按前述求接觸力后,再判斷塊體是否需要進(jìn)行新的一輪計(jì)算。當(dāng)出現(xiàn)不穩(wěn)定塊或未被平衡掉的力小到一定的范圍內(nèi)結(jié)束循環(huán)。最后塊體的位移和接觸點(diǎn)的接觸力等于歷次循環(huán)的累積。3拉西瓦反拱底板的穩(wěn)定計(jì)算和分析結(jié)果3.1彈性模量法黃河拉西瓦拱壩反拱底板圓心角74.6°,均勻分為7塊,板塊厚3m,拱圈寬為10m。材料特征:塊體浮重:0.0145MN/m3,取彈性模量E=2.5×1010Pa,泊松比μ=0.17,基巖材料特性:彈性模量E=2.2×1010Pa,泊松比μ=0.22。錨固鋼筋E=20×1010Pa。3.2無(wú)錨固底板檢測(cè)在水墊塘底板鋪設(shè)了用加重橡膠制作的底板塊,其容重與原型混凝土相同,但彈性模量按重力律縮小,保證模型拱結(jié)構(gòu)的動(dòng)力相似。水墊塘底板塊大小按實(shí)際尺寸及分縫固定在模型底板上。為了能真實(shí)地反映止水完全破壞的水力條件,各板塊間以及板塊與模型底板間的縫隙保持在1mm左右。用自制的力傳感器和北京東方振動(dòng)噪聲技術(shù)研究所研制的DASP大容量數(shù)據(jù)自動(dòng)采集和信號(hào)處理系統(tǒng)測(cè)量了板塊的上舉力和拱端推力,量測(cè)精度為5%。計(jì)算時(shí)的荷載取實(shí)驗(yàn)測(cè)得的同步作用在底板上的4096組數(shù)據(jù),其荷載過(guò)程線見(jiàn)圖3。運(yùn)行程序,結(jié)果表明在無(wú)錨固情況下底板沒(méi)有塊體失穩(wěn)。認(rèn)為單從反拱底板自身穩(wěn)定性的角度出發(fā),反拱底板無(wú)須錨固鋼筋。但是,無(wú)論是實(shí)驗(yàn)值還是計(jì)算值,拱端推力值都很大,這樣就給拱座部位的處理帶來(lái)一定的困難。3.3錨固鋼筋面積對(duì)拱端推力的影響用程序計(jì)算了拉西瓦反拱底板在同步實(shí)驗(yàn)荷載(共4096組)下的拱端推力值,與實(shí)驗(yàn)值做了比較,見(jiàn)表1和圖4。(本文中的最大、最小、平均值均指在這4096組荷載作用下的計(jì)算值或?qū)嶒?yàn)值的統(tǒng)計(jì)值)計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。對(duì)底板加錨固鋼筋,計(jì)算了不同錨固鋼筋面積情況下的拱端推力并做了統(tǒng)計(jì)分析,見(jiàn)表2和圖5,其中錨固鋼筋截面積為每個(gè)單個(gè)板塊(面積為110m2)所加的量,且主要分布在塊體的兩端。由表2可見(jiàn),加了0.02m2的錨固鋼筋后,拱端推力平均值下降了37%,在此基礎(chǔ)上再加0.01m2錨固鋼筋后,拱端推力在下降后的基礎(chǔ)上又下降了26%。但隨著錨固鋼筋面積的不斷加大,拱端推力值下降速度也隨之減緩。從圖5中也可形象地看出,隨著錨固鋼筋面積的增加,拱端推力值曲線趨于平緩。最大值,最小值也有類似的規(guī)律。從計(jì)算結(jié)果看,如果實(shí)際工程設(shè)計(jì)中拱座處理比較困難,可