4．1.1n次方根與分數指數冪學習目標1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性質．2．能利用根式的性質對根式進行運算．3．理解分數指數冪的含義，掌握根式與分數指數冪的互化．核心素養1．通過學習n次方根、根式，培養數學抽象素養．2．借助根式的性質對根式進行運算，培養數學運算素養．3．通過理解分數指數冪的含義提升數學抽象素養.知識點1n次方根1．a的n次方根的定義一般地，如果_xn＝a_，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數eq\r(n,a)_Rn為偶數±eq\r(n,a)_[0，＋∞)想一想：正數a的n次方根一定有兩個嗎？提示：不一定．當n為偶數時，正數a的n次方根有兩個，且互為相反數，當n為奇數時，正數a的n次方根只有一個且仍為正數．練一練：1．27的立方根是_3_.2．4的平方根是_±2_.知識點2根式1．根式的定義式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做_根指數_，a叫做_被開方數_.2．根式的性質(n>1，且n∈N*)(1)負數沒有_偶次_方根．(2)0的任何次方根都是0，即eq\r(n,0)＝_0_.(3)(eq\r(n,a))n＝_a_.(4)n為奇數時，eq\r(n,an)＝_a_.(5)n為偶數時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a_，a≥0，,－a_，a<0.))想一想：(eq\r(n,a))n與eq\r(n,an)中的字母a的取值范圍是否一樣？提示：取值范圍不同．式子(eq\r(n,a))n中隱含a是有意義的，若n為偶數，則a≥0，若n為奇數，a∈R；式子eq\r(n,an)中，a∈R.練一練：1.eq\r(3,－8)等于(B)A．2 B．－2C．±2 D．－8[解析]eq\r(3,－8)＝eq\r(3,(－2)3)＝－2.2．下列各式正確的是(A)A．(eq\r(3,a))3＝a B．(eq\r(4,7))4＝－7C．(eq\r(5,a))5＝|a| D．eq\r(6,a6)＝a[解析](eq\r(3,a))3＝a，(eq\r(4,7))4＝7，(eq\r(5,a))5＝a，eq\r(6,a6)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a(a≥0),－a(a<0)))，故選A.知識點3分數指數冪的意義(a>0，m，n∈N*，且n>1)正分數指數冪負分數指數冪0的分數指數冪0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義提醒：1.分數指數冪不可理解為eq\f(m,n)個a相乘，它是根式的一種寫法．2．把根式eq\r(n,am)化成分數指數冪的形式時，不要輕易對eq\f(m,n)進行約分．練一練：可化為(C)[解析]知識點4有理數指數冪的運算性質(a>0，b>0，r，s∈Q)(1)aras＝_ar＋s_.(2)(ar)s＝_ars_.(3)(ab)r＝_arbr_.[拓展](1)ar÷as＝ar－s；(2)eq\f(ar,br)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))r.練一練：1．若a>0，n，m為實數，則下列各式中正確的是(D)[解析]由指數冪的運算法則知1÷an＝a0÷an＝a0－n正確，故選D.2．＝eq\f(\r(3),3)_.[解析]題型探究題型一n次方根的概念典例1(1)16的平方根為_±4_，－27的5次方根為eq\r(5,－27)_；(2)已知x7＝6，則x＝eq\r(7,6)_；(3)等式eq\r((a－3)(a2－9))＝(3－a)eq\r(a＋3)成立的實數a的取值范圍是_a∈[－3,3]_.[分析]解答此類問題應明確n次方根中根指數對被開方數的要求及n次方根的個數要求．[解析](1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根為±4.－27的5次方根為eq\r(5,－27).(2)∵x7＝6，∴x＝eq\r(7,6).(3)eq\r((a－3)(a2－9))＝eq\r((a－3)2(a＋3))＝|a－3|eq\r(a＋3)，要使|a－3|eq\r(a＋3)＝(3－a)eq\r(a＋3)成立，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋3≥0，))解得a∈[－3,3]．[歸納提升](1)任意實數的奇次方根只有一個，正數的偶次方根有兩個且互為相反數；(2)(eq\r(n,a))n是實數a的n次方根的n次冪，其中實數a的取值由n的奇偶性決定．對點練習?計算下列各值：(1)256的4次算術方根是_4_；(2)32的5次方根是_2_.(3)設3<a<5，則eq\r((3－a)2)＋eq\r(6,(5－a)6)＝_2_.[解析](1)∵(±4)4＝256，∴256的4次算術方根為4.(2)∵25＝32，∴32的5次方根為2.(3)由于3<a<5，所以3－a<0,5－a>0，所以eq\r((3－a)2)＋eq\r(6,(5－a)6)＝|3－a|＋|5－a|＝a－3＋5－a＝2.題型二利用根式的性質化簡或求值典例2化簡：(1)eq\r(4,(3－π)4)；(2)eq\r((a－b)2)(a>b)；(3)(eq\r(a－1))2＋eq\r((1－a)2)＋eq\r(3,(1－a)3).[解析](1)eq\r(4,(3－π)4)＝|3－π|＝π－3.(2)eq\r((a－b)2)＝|a－b|＝a－b.(3)由題意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.[歸納提升]n為奇數時，(eq\r(n,a))n＝eq\r(n,an)＝a，a為任意實數均可；n為偶數時，a≥0，(eq\r(n,a))n才有意義，且(eq\r(n,a))n＝a，而a為任意實數eq\r(n,an)均有意義，且eq\r(n,an)＝|a|.對點練習?求下列各式的值：(1)eq\r(7,(－2)7)；(2)eq\r(4,(3a－3)4)(a≤1)；(3)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,(1－a)4).[解析](1)eq\r(7,(－2)7)＝－2.(2)eq\r(4,(3a－3)4)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.(3)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,(1－a)4)＝a＋|1－a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))題型三根式與分數指數冪的互化典例3(1)用根式的形式表示下列各式(x>0)．(2)把下列根式化成分數指數冪的形式，其中a>0，b>0.①eq\r(5,a6)；②eq\f(1,\r(3,a2))；③eq\r(4,\f(b3,a2))；④eq\r((－a)6).[解析](1)(2)①eq\r(5,a6)＝aeq\f(6,5).[歸納提升]根式與分數指數冪互化的規律(1)根指數分數指數的分母，被開方數(式)的指數分數指數的分子．(2)在具體計算時，通常會把根式轉化成分數指數冪的形式，然后利用有理數指數冪的運算性質解題．對點練習?(1)化簡的結果是(A)A.eq\f(3,5) B．eq\f(5,3)C．3 D．5(2)用分數指數冪表示下列各式：①eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))(a>0，b>0)；②eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．[解析](2)①eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))＝eq\r(\f(b3,a)·\f(a,b3))＝1.題型四利用分數指數冪的運算性質化簡求值典例4(1)計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))0＋2－2·－(0.01)0.5＝eq\f(16,15)_；(2)化簡：eq\r(3,a\f(7,2)\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－8)\r(3,a15))÷eq\r(3,\r(a－3)\r(a－1)).[分析]將根式化為分數指數冪的形式，利用分數指數冪的運算性質計算．[解析](1)原式＝1＋eq\f(1,4)×＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).[歸納提升]1.冪的運算的常規方法(1)化負指數冪為正指數冪或化分母為負指數．(2)化根式為分數指數冪．(3)化小數為分數．2．分數指數冪及根式化簡結果的具體要求利用分數指數冪進行根式計算時，結果可化為根式形式或保留分數指數冪的形式，不強求統一用什么形式，但結果不能既有根式又有分數指數冪，也不能同時含有分母和負指數．對點練習?計算下列各式(式中字母均為正數)．[解析](1)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))))(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝eq\f(5,2)－1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＝eq\f(27,16).1．已知x5＝6，則x等于(B)A.eq\r(6) B．eq\r(5,6)C．－eq\r(5,6) D．±eq\r(5,6)[解析]由根式的定義知，x5＝6，x＝eq\r(5,6)，選B.2．若2＜a＜3，化簡eq\r((2－a)2)＋eq\r(4,(3－a)4)的結果是(C)A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故選C.3．(多選題)下列關系式中，根式與分數指數冪的互化正確的是(BC)[解析]對于A，