湖南省衡陽市衡陽縣第三中學2023年數學高一上期末教學質量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數中，最小正周期是且是奇函數的是（）A. B.C. D.2．電影《長津湖》中，炮兵雷公犧牲的一幕看哭全網，他的原型是濟南英雄孔慶三．因為前沿觀察所距敵方陣地較遠，需要派出偵察兵利用觀測儀器標定目標，再經過測量和計算指揮火炮實施射擊．為了提高測量和計算的精度，軍事上通常使用密位制來度量角度，將一個圓周分為6000等份，每一等份的弧所對的圓心角叫做1密位．已知我方迫擊炮連在占領陣地后，測得敵人兩地堡之間的距離是54米，兩地堡到我方迫擊炮陣地的距離均是1800米，則我炮兵戰士在摧毀敵方一個地堡后，為了快速準確地摧毀敵方另一個地堡，需要立即將迫擊炮轉動的角度（）注：（ⅰ）當扇形的圓心角小于200密位時，扇形的弦長和弧長近似相等；（ⅱ）取等于3進行計算A.30密位 B.60密位C.90密位 D.180密位3．已知直線，平面滿足，則直線與直線的位置關系是A.平行 B.相交或異面C.異面 D.平行或異面4．若某商店將進貨單價為6元的商品按每件10元出售，則每天可銷售100件.現準備采用提高售價、減少進貨量的方法來增加利潤.已知這種商品的售價每提高1元，銷售量就要減少10件，那么要保證該商品每天的利潤在450元以上，售價的取值范圍是（）A. B.C. D.5．若，則錯誤的是A. B.C. D.6．設，且，則等于（）A.100 B.C. D.7．設函數（），，則方程在區間上的解的個數是A. B.C. D.8．當生物死后，它體內的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經過5730年衰減為原來的一半.2010年考古學家對良渚古城水利系統中一條水壩的建筑材料草裹泥）上提取的草莖遺存進行碳14檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前（）（參考數據：，)A.年 B.年C.年 D.年9．如圖，AB為半圓的直徑，點C為的中點，點M為線段AB上的一點（含端點A，B），若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．，表示不超過的最大整數，十八世紀，函數被“數學王子”高斯采用，因此得名高斯函數，人們更習慣稱之為“取整函數”，則（）A.0 B.1C.7 D.8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數的單調遞增區間為_____________12．正實數a，b，c滿足a+2-a=2，b+3b=3，c+=4，則實數a，b，c之間的大小關系為_________.13．某同學在研究函數時，給出下列結論：①對任意成立；②函數的值域是；③若，則一定有；④函數在上有三個零點．則正確結論的序號是_______.14．函數的單調遞減區間為___________.15．函數在區間上的值域是_____.16．無論取何值，直線必過定點__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，三棱柱中，，，，為的中點，且.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大小.18．已知函數的圖像如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）當時，求函數的最大值和最小值.19．已知函數滿足（1）求的解析式，并求在上的值域；（2）若對，且，都有成立，求實數k的取值范圍20．若＝，是第四象限角，求的值.21．已知函數f（x）=ln（ex+1）+ax是偶函數，g（x）=f（lnx）（e=2.71828…）（Ⅰ）求實數a的值；（Ⅱ）判斷并證明函數g（x）在區間（0，1）上的單調性

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據三角函數的周期性和奇偶性對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】A選項，的最小正周期是，且是奇函數，A正確.B選項，的最小正周期是，且是奇函數，B錯誤.C選項，的最小正周期為，且是奇函數，C錯誤.D選項，的最小正周期是，且是偶函數，D錯誤.故選：A2、A【解析】求出1密位對應的弧度，進而求出轉過的密位.【詳解】有題意得：1密位=，因為圓心角小于200密位，扇形的弦長和弧長近似相等，所以，因為，所以迫擊炮轉動的角度為30密位.故選：A3、D【解析】∵a∥α，∴a與α沒有公共點，b?α，∴a、b沒有公共點，∴a、b平行或異面．故選D4、B【解析】根據題意列出函數關系式，建立不等式求解即可.【詳解】設售價為，利潤為，則，由題意，即，解得，即售價應定為元到元之間，故選：B.5、D【解析】對于，由，則，故正確；對于，，故正確；對于，，故正確；對于，，故錯誤故選D6、C【解析】由，得到，再由求解.【詳解】因為，所以，則，所以，則，解得，故選：C7、A【解析】由題意得，方程在區間上的解的個數即函數與函數的圖像在區間上的交點個數在同一坐標系內畫出兩個函數圖像，注意當時，恒成立，易得交點個數為.選A點睛：函數零點的求解與判斷方法：（1）直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點（3）利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．但在應用圖象解題時要注意兩個函數圖象在同一坐標系內的相對位置，要做到觀察仔細，避免出錯8、B【解析】根據碳14的半衰期為5730年，即每5730年含量減少一半，設原來的量為，經過年后變成了，即可列出等式求出的值，即可求解.【詳解】解：根據題意可設原來的量為，經過年后變成了，即，兩邊同時取對數，得：，即，，，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前年.故選：B.9、D【解析】根據題意可得出，然后根據向量的運算得出，從而可求出答案.【詳解】因為點C為的中點，，所以，所以，因為點M為線段AB上的一點，所以，所以，所以的取值范圍是,故選：D.10、D【解析】根據函數的新定義求解即可.【詳解】由題意可知4－(－4)＝8.故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】先求出函數的定義域，再利用求復合函數單調區間的方法求解即得.【詳解】依題意，由得：或，即函數的定義域是，函數在上單調遞減，在上單調遞增，而在上單調遞增，于是得在是單調遞減，在上單調遞增，所以函數的單調遞增區間為.故答案為：12、##【解析】利用指數的性質及已知條件求a、b的范圍，討論c的取值范圍，結合對數的性質求c的范圍【詳解】由，由，又，當時，，顯然不成立；當時，，不成立；當時，；綜上，.故答案為：13、①②③【解析】由奇偶性判斷①，結合①對，，三種情況討論求值域，判斷②，由單調性判斷③，由③可知的圖像與函數的圖像只有兩個交點，進而判斷④，從而得出答案【詳解】①，即，故正確；②當時，，由①可知當時，，當時，，所以函數的值域是，正確；③當時，，由反比例函數的單調性可知，在上是增函數，由①可知在上也是增函數，所以若，則一定有，正確；④由③可知的圖像與函數的圖像只有兩個交點，故錯誤綜上正確結論的序號是①②③【點睛】本題考查函數的基本性質，包括奇偶性，單調性，值域等，屬于一般題14、【解析】利用對數型復合函數性質求解即可.【詳解】由題知：，解得或.令，則為減函數.所以，為減函數，為增函數，，為增函數，為減函數.所以函數的單調遞減區間為.故答案為：15、【解析】結合的單調性求得正確答案.【詳解】根據復合函數單調性同增異減可知：在區間上遞增，最小值為，最大值為，所以函數在區間上的值域是.故答案為：16、【解析】直線（λ+2）x﹣（λ﹣1）y+6λ+3=0，即（2x+y+3）+λ（x﹣y+6）=0，由求得x=﹣3，y=3，可得直線經過定點（﹣3，3）故答案為（﹣3，3）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連結與交于點，連結，由中位線定理可得，再根據線面平行的判定定理即可證明結果；（2）方法一：根據線面垂直的判定定理，可證明平面；取的中點，易證平面，所以即所求角，再根據直棱柱的有關性質求即可得到結果；方法二:根據線面垂直的判定定理，可證明平面；取的中點，易證平面；所以即與平面所成的角，再根據直棱柱的有關性質求即可得到結果.【小問1詳解】證明：如圖一，連結與交于點，連結.在中，、為中點，∴.又平面，平面，∴平面.圖一【小問2詳解】證明：（方法一）如圖二，圖二∵，為的中點，∴.又，，∴平面.取的中點，又為的中點，∴、、平行且相等，∴四邊形是平行四邊形，∴與平行且相等.又平面，∴平面，∴即所求角.由前面證明知平面，∴，又，，∴平面，∴此三棱柱為直棱柱.設∴，，，.（方法二）如圖三，圖三∵，為的中點，∴.又，，∴平面.取的中點，則，∴平面.∴即與平面所成的角.由前面證明知平面，∴，又，，∴平面，∴此三棱柱為直棱柱.設，∴，，∴.18、（1）；（2）最大值，最小值為-1.【解析】（1）由圖可知，，可得，再將點代入得，結合，可得的值，即可求出函數的解析式；（2）根據函數的周期，可求時函數的最大值和最小值就是轉化為求函數在區間上的最大值和最小值，結合三角函數圖象，即可求出函數的最大值和最小值.試題解析：（1）由圖可知：，則∴，將點代入得，，∴，，即，∵∴∴函數的解析式為.（2）∵函數的周期是∴求時函數的最大值和最小值就是轉化為求函數在區間上的最大值和最小值.由圖像可知，當時，函數取得最大值為，當時，函數取得最小值為.∴函數在上的最大值為，最小值為-1.點睛：已知圖象求函數解析式的方法（1）根據圖象得到函數的周期，再根據求得（2）可根據代點法求解，代點時一般將最值點的坐標代入解析式；也可用“五點法”求解，用此法時需要先判斷出“第一點”的位置，再結合圖象中的點求出的值（3）在本題中運用了代點的方法求得的值，一般情況下可通過觀察圖象得到的值19、（1），（2）【解析】（1）由條件可得，然后可解出，然后利用對勾函數的知識可得答案；（2）設，條件中的不等式可變形為，即可得在區間（2，4）遞增，然后分、、三種情況討論求解即可.【小問1詳解】因為①，所以②，聯立①②解得.當時為增函數，時為減函數，因為所以【小問2詳解】對，，，都有，不妨設，則由恒成立，也即可得函數在區間（2，4）遞增；當，即時，滿足題意；當，即時，為兩個在上單調遞增函數的和，則可得在單調遞增，從而滿足在（2，4）遞增，符合題意；當，即時，，其在遞減，在遞增，若使在（2，4）遞增，則只需；綜上可得：20、【解析】先計算正弦與正切，利用誘導公式化簡可得【詳解】若＝，是第四象限角，則原式=.21、（I）a=（II）答案見解析【解析】（I）由函數f（x）=ln（ex+1）+ax偶函數，可得f（-x）=f（x），解得a.（II）由（I）可得：f（x）=ln（ex+1）．g（x）=f（lnx）=ln（x+1）．利