班級：姓名：親愛的同學，在做練習的時候一定要認真審題，完成題目后，記得養成認真檢查的好習慣。祝你輕松完成本次練習！期末考名列前茅！【心得記錄卡】親愛的同學，在完成本專項練習后，你收獲了什么？掌握了哪些新本領呢？在這里記錄一下你的收獲吧！年月日應用題-經典應用題-方陣問題基本知識-1星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率方陣問題基本知識B1.明確空心方陣和實心方陣的概念及區別

2.掌握空心方陣和實心方陣的變化規律少考知識提要方陣問題基本知識概述

在日常生活中，我們常把人或物排成正方形的形狀，在數學上我們把研究這樣的問題稱為方陣問題。

在擺放的方陣中如果是實心的，我們叫它實心方陣，也叫中實方陣；如果這個方陣是空心的，我們叫它空心方陣，也叫中空方陣。 實心方陣的特點

總人（或物）數=每邊人（或物）數×每邊人（或物）數 空心方陣的特點

總人（或物）數=（最外層每邊人（或物）數?層數）×層數×4

奇數層：總人數=中間層總數×層數

偶數層：總人數=（外層+內層）×層數÷2

若最外層每邊有a人，內部虛方陣每邊有b人，則空心方陣共有(a2變化規律

相鄰兩邊之間相差2；

相鄰兩層之間相差8；

每層人（或物）數=每邊人（或物）數×4?4=[每邊人（或物）數?1]×4 精選例題方陣問題基本知識1.運動會上，五年級學生排成一個方隊（橫豎行人數相等），已知最外層為60人，這個方隊共有

人．【答案】

256【分析】

最外層每邊有60÷4+1=16(人)，共有16×16=2562.一個實心方陣，最外一層每邊18人，（1）那么整個方陣一共

人；（2）最外面一層有

人；（3）從外向內數，第2層每邊有

人，一共有

人；（4）如果考慮最外面三層，那么這三層共有

人．【答案】

324；68；16，60；180【分析】

（1）182（2）17×4=68或18×4?4=68；（3）18?2=16；15×4=60或68?8=60；（4）60×3=180．3.一個長方形隊列，如果增加一橫行和一豎行，就要增加13人．這個長方形隊列原來最少有

人．【答案】

11【分析】

增加一橫行和一豎行，就要增加13人，那么原方陣的長與寬的和為13?1=12，所以人數最少時，12=1+11，有1×11=11(人)4.小朋友們排成方陣做廣播體操，小明恰好站在方陣的正中心，此時無論是從前往后或者從后往前數他都排在第5個，無論是從左往右或者從右往左數時他都排在第6個，則這個方陣中一共有

位小朋友．【答案】

99【分析】

小明前后各有5?1=4(人)，那么每列就有4+1+4=9(人)；小明左右有6?1=5(人)，那么每行就有5+1+5=115.三年級廣播體操比賽采用了方陣的形式，每個方陣有5行，每行8人，3個這樣的方陣有多少人？【答案】

120人【分析】

5×8×3＝120（人），答：3個這樣的方陣有6.某班所有學生恰好可以排成一個每邊為8人的三角陣，請問：這個班共有多少人？【答案】

36人．【分析】

每邊為8人的三角陣共有：1+2+3+?+8=36人．7.176個棋子擺成一個四層空心方陣，最內層每邊有多少棋子？【答案】

9個【分析】

最內層與最外層總數和為176÷4×2＝88（個），則則最內層有(88?3×8)÷2=32（個），則每邊有8.用紅、綠兩種顏色的小正方形瓷磚400塊鋪成一塊正方形墻面，這個墻面最外圈鋪的是紅色瓷磚，由外到內的第二圈是綠色瓷磚，第三圈是紅色瓷磚，第四圈又是綠色瓷磚……這樣依次鋪下去．請問這個墻面上哪種顏色的瓷磚更多？兩種瓷磚相差多少塊？【答案】

紅色；40塊．【分析】

共有400塊瓷磚，所以整個方陣是一個20×20的方陣，共有10層，從外向里依次為紅、綠兩種顏色相間排列，最里一層為綠色；從外向里，每層紅色瓷磚都比它里面相鄰的那層綠色瓷磚多8塊，所以紅色比綠色多5×8=40塊．9.有225枚棋子，擺成一個15×15的正方形，甲、乙兩人從最外一層起，輪流取走每一層的全部棋子，直到取完為止，甲比乙多取了多少沒枚棋子？【答案】

31【分析】

甲取走的是56,40,24,8，乙取走的是48,32,16,1，甲比乙多取31枚．10.某學校三年級同學180人，排成一個三層空心方陣，這個方陣最外層每邊多少人？【答案】

18【分析】

中間層總數為180÷3＝60（人），則每邊有60÷4+1=16（人），所以最外層每邊有11.同學們參加了廣播操比賽，排成每行9人，每列9人的實心方陣，問方陣中共有多少學生？【答案】

81【分析】

可以根據“實心方陣總人數得到9行9列的實心方陣人數為：9×9=8112.一批同學站成一個10×10的方陣，請問：最外一層共有多少人？從外向里的第3層有多少人？【答案】

36人；20人．【分析】

最外層每邊10人，共有10×4?4=36人．從外向里的第3層有：36?8×2=20人．13.三年級學生排成一個實心方陣進行體操表演，最外一層的人數為32人，問這個方陣最外層每邊有多少人？這個方陣共有三年級學生多少人？【答案】

每邊9人，共81人．【分析】

每邊有32÷4+1=9共914.一個實心體操方陣，最外層有32人．這個體操方陣有多少人？【答案】

81【分析】

最外層每邊人數：(32＋4)÷4＝答：這個體操方陣有81人．15.節日來臨，同學們用盆花在操場上擺了一個空心方陣花壇，最外面的一層每邊擺了12盆花，一共3層，一共用去多少盆花？【答案】

108【分析】

方法一：最外層共有12×4?4=44第二層共有44?8=36第三層共有36?8=28所以共有44+36+28=108方法二：第二層每邊有12?2=10第二層共有10×4?4=36所以共有36×3=10816.一個實心方陣，最外面一層共有56人，那么這個方陣一共有多少人？【答案】

225．【分析】

最外層每邊有：56÷4+1=15人，所以共有15×15=225人．17.一個13×13的方陣中，最外一層一共有多少人？從里向外的第3層有多少人？【答案】

48人；16人．【分析】

最外層共有：13×4?4=48人；最里邊一層只有1人，里邊第二層有8人．所以從里向外第3層有16人．18.士兵排成一個實心方陣，最外一層一周的人數為80人，問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有多少士兵？【答案】

21；441人【分析】

80÷4＋1＝答：方陣外層每邊有21人，這個方陣共有441士兵．19.小明用一些棋子擺成了一個兩層的空心方陣，后來他又用28枚棋子擺成了另外一個單層的空心方陣，擺完后他發現兩個方陣正好可以拼在一起，組成一個新的三層空心方陣，那么他原來用了多少枚棋子？【答案】

32或80【分析】

如果單層空心方陣放在雙層空心方陣的里面，那么原有棋子(28＋8)＋(28＋8＋20.若干學生排成一個實心方陣，最外一層每邊有10人，共有多少層？1～3層一共有多少人？【答案】

5；36【分析】

10÷2＝5（層），2×3＝6（人），6×6＝36（人），所以共有21.某學校三年級同學180人，排成個三層空心方陣，這個方陣最外層每邊多少人？【答案】

18【分析】

中間層總數為180÷3=60則每邊有60÷4+1=16所以最外層每邊有16+2=1822.用64枚棋子擺成一個兩層中空方陣，如果想在外面再增加一層，問需要增加多少枚棋子？【答案】

44【分析】

方陣相鄰兩層棋子數差為8，又知兩層棋子數和為64，由和差問題，外層有(64+8)÷2=36如果再增加一層，需要增加36+8=4423.一個實心體操方陣，最外層有72人．這個體操方陣有多少人？【答案】

361【分析】

最外層每邊人數：(72＋4)÷4＝答：這個體操方陣有361人．24.若干學生排成一個實心方陣，倒數第二層每邊比第二層多10人，共有多少層？【答案】

8【分析】

(10÷2)+1＋2＝25.一個實心方陣，最外面一層共有36人，如果要讓這個方陣增加一行一列，需要增加多少人？【答案】

21人．【分析】

最外層36人，每邊36÷4+1=10人，增加一行一列需要11×11?10×10=21人．26.有一個6層的空心方陣，最外層每邊25人，問要多少學生才能排出這個空心方陣？【答案】

456人【分析】

(25?6)×6×4＝答：要456個學生才能排出這個空心方陣．27.一個實心方陣，最外面一層共有44人，請問：（1）這個方陣共有多少人？（2）如果讓這個方陣減少一行一列，一共需要減少多少人？【答案】

（1）144；（2）23．【分析】

（1）“最外一層共有44人”，說明最外層每邊有：44÷4+1=12人，所以，這個方陣是一個12×12的方陣，共有12×12=144人．（2）減少一行一列，也就是變成一個11×11的方陣，需要減少144?11×11=23人．28.如圖所示，小剛在用棋子擺好的實心方陣上又填了17枚棋子，使它的橫豎各增加一排，成了大一點的實心方陣，求原來的實心方陣有多少枚棋子？【答案】

64【分析】

填上17枚棋子，正好可以增加一排一列，此時每條邊有(17?1)÷2+1=9那么原來的方陣每條邊有91?1=8原來實心方陣的總棋子數：8×8=6429.共有200人排成一個5層空心方陣，這個方針最外面一層每邊多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？【答案】

15；31．【分析】

中間層共有：200÷5=40人，所以最外層共有：40+8×2=56人，每邊有56÷4+1=15人；增加一行一列需要：16×16?15×15=31人．30.共有240人排成一個5層空心方陣，這個方陣最里面一層每邊多少人？如果要在內部加一層，變成6層空心方陣，還需要增加多少人？【答案】

32；24．【分析】

5層中間一層共有：240÷5=48人，所以最內一層共有：48?8×2=32人，每邊32÷4+1=9人，內部增加一層需要32?8=24人．31.學而思運動會上，五年級的女生們準備出一個團體操的節目．現在的人數剛好排成一個方陣（每一行人數和每一列人數相等）．后來又加入了23個女生，恰好還可以組成一個方陣．那么你能算出加入23人之前，方陣共有多少人嗎？【答案】

121人【分析】

依題意，前后兩次的學生總人數都是完全平方數．不妨設前者人數是B2，后者人數是A2.那么根據平方差式，A2?B2=A+BA+B則