湖南省師大附中2023-2024學年數學高一上期末監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．設、、依次表示函數，，的零點，則、、的大小關系為（）A. B.C. D.2．我國在文昌航天發射場用長征五號運載火箭成功發射探月工程端娥五號探測器，順利將探測器送入預定軌道，經過兩次軌道修正，嫦娥五號順利進入環月軌道飛行，嫦娥五號從橢圓形環月軌道變為近圓形環月軌道，若這時把近圓形環月軌道看作圓形軌道，嫦娥五號距離月表400千米，已知月球半徑約為1738千米，則嫦娥五號繞月每旋轉弧度，飛過的路程約為（）（）A.1069千米 B.1119千米C.2138千米 D.2238千米3．已知直線過，，且，則直線的斜率為（）A. B.C. D.4．在同一直角坐標系中，函數和（且）的圖像可能是（）A. B.C. D.5．“”是“函數為偶函數”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知函數在區間上的值域為，對任意實數都有，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知函數，則下列對該函數性質的描述中不正確的是（）A.的圖像關于點成中心對稱B.的最小正周期為2C.的單調增區間為D.沒有對稱軸8．函數和都是減函數的區間是A. B.C. D.9．要得到的圖像，只需將函數的圖像（）A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位10．表示不超過x的最大整數，例如，，，．若是函數的零點，則（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．計算：=___________12．直線與圓相交于A，B兩點，則線段AB的長為__________13．用二分法研究函數f(x)=x3+3x-1的零點時，第一次經計算，可得其中一個零點x0∈(0，1)，那么經過下一次計算可得x0∈___________(填區間).14．已知函數，則=____________15．設函數，則____________.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．若函數是奇函數()，且，.(1)求實數,,的值；(2)判斷函數在上的單調性，并利用函數單調性的定義證明.17．已知函數.（1）當函數取得最大值時，求自變量x的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐標系內作出函數在的圖象.x0y18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，平面底面ABCD，M是棱PC上的點.（1）證明：底面；（2）若三棱錐的體積是四棱錐體積的，設，試確定的值.19．已知函數，，且在上的最小值為0.（1）求的最小正周期及單調遞增區間；（2）求的最大值以及取得最大值時x的取值集合.20．（1）已知，，求的值.（2）證明:.21．我們知道：人們對聲音有不同感覺，這與它的強度有關系，聲音的強度用（單位：）表示，但在實際測量時，常用聲音的強度水平（單位：分貝）表示，它們滿足公式：（，其中（）），是人們能聽到的最小強度，是聽覺的開始．請回答以下問題：（Ⅰ）樹葉沙沙聲的強度為（），耳語的強度為（），無線電廣播的強度為（），試分別求出它們的強度水平；（Ⅱ）某小區規定：小區內公共場所的聲音的強度水平必須保持在分貝以下（不含分貝），試求聲音強度的取值范圍

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、D【解析】根據題意可知，的圖象與的圖象的交點的橫坐標依次為，作圖可求解.【詳解】依題意可得，的圖象與的圖象交點的橫坐標為，作出圖象如圖：由圖象可知，，故選：D【點睛】本題主要考查了冪函數、指數函數、對數函數的圖象，函數零點，數形結合的思想，屬于中檔題.2、D【解析】利用弧長公式直接求解.【詳解】嫦娥五號繞月飛行半徑為400+1738=2138，所以嫦娥五號繞月每旋轉弧度，飛過的路程約為（千米）.故選：D3、A【解析】利用，求出直線斜率，利用可得斜率乘積為，即可求解.【詳解】設直線斜率為，直線斜率為，因為直線過，，所以斜率為，因為，所以，所以，故直線的斜率為.故選：A4、B【解析】利用函數的奇偶性及對數函數的圖象的性質可得.【詳解】由函數，可知函數為偶函數，函數圖象關于軸對稱，可排除選項AC，又的圖象過點，可排除選項D.故選：B.5、A【解析】根據充分必要條件定義判斷【詳解】時，是偶函數，充分性滿足，但時，也是偶函數，必要性不滿足應是充分不必要條件故選：A6、D【解析】根據關于對稱，討論與的關系，結合其區間單調性及對應值域求的范圍.【詳解】由題設，，易知：關于對稱，又恒成立，當時，，則，可得；當時，，則，可得；當，即時，，則，即，可得；當，即時，，則，即，可得；綜上，.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：利用分段函數的性質，討論其對稱軸與給定區間的位置關系，結合對應值域及求參數范圍.7、C【解析】根據正切函數的周期性，單調性和對稱性分別進行判斷即可【詳解】對于A：令,令，可得函數的一個對稱中心為，故正確；對于B：函數f（x）的最小正周期為T＝，故正確；對于C：令，解不等式可得函數的單調遞增區間為，故錯誤；對于D：正切函數不是軸對稱圖形，故正確故選：C【點睛】本題考查與正切函數有關的性質，涉及周期性，單調性和對稱性，利用整體代換的思想進行判斷是解決本題的關鍵8、A【解析】y=sinx是減函數的區間是,y=cosx是減函數的區間是[2k，2k+]，,∴同時成立的區間為故選A.9、A【解析】化簡函數，即可判斷.【詳解】，需將函數的圖象向左平移個單位.故選：A.10、B【解析】利用零點存在性定理判斷的范圍，從而求得.【詳解】在上遞增，，所以，所以.故選：B二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、1【解析】.故答案為112、【解析】算出弦心距后可計算弦長【詳解】圓的標準方程為：，圓心到直線的距離為，所以，填【點睛】圓中弦長問題，應利用垂徑定理構建直角三角形，其中弦心距可利用點到直線的距離公式來計算13、【解析】根據零點存在性定理判斷零點所在區間.【詳解】，，所以下一次計算可得.故答案為：14、【解析】由函數解析式，先求得，再求得代入即得解.【詳解】函數，則==，故答案為.【點睛】本題考查函數值的求法，屬于基礎題.15、【解析】依據分段函數定義去求的值即可.【詳解】由，可得，則由，可得故答案為：三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、(1),,；(2)在上為增函數,證明見解析.【解析】（1）根據題意，由奇函數的性質可得，進而可得，解可得、、的值，即可得答案；（2）利用定義法證明函數的單調性，按照：設元、作差、變形、判斷符號、下結論的步驟完成即可【詳解】解：(1)根據題意，函數是奇函數（），且，則，又由，則有，且，解得，，.(2)由(1)可得：，函數在上為增函數證明：設任意的，，又由，則且，，則有，故函數在上為增函數【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，關鍵是求出、、的值，屬于基礎題17、（1）（2）答案見解析【解析】(1)由三角恒等變換求出解析式，再求得最大值時的x的集合,(2)由五點法作圖,列出表格,并畫圖即可.【小問1詳解】令，函數取得最大值，解得，所以此時x集合為.【小問2詳解】表格如下：x0y11作圖如下，18、（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直的性質定理，可得平面，然后利用線面垂直的判定定理即證；（2）由題可得，進而可得，即得.【小問1詳解】∵，平面底面ABCD，∴，平面底面ABCD=AD，底面ABCD，∴平面，平面，∴PD，又，∴，，∴底面；【小問2詳解】設，M到底面ABCD的距離為，∵三棱錐的體積是四棱錐體積的，∴，又，，∴，故，又，所以.19、（1）最小正周期為，（2）3，【解析】（1）直接利用周期公式可求出周期，由可求出增區間，（2）由得，從而可求出最小值，則可求出的值，進而可求出函數解析式，則可求出最大值以及取得最大值時x的取值集合【小問1詳解】的最小正周期為.令，，解得，.所以的單調遞增區間為.【小問2詳解】當時，.，解得.所以.當，，即，時，取得最大值，且最大值為3.故的最大值為3，取得最大值時x的取值集合為20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）對已知式子分別平方相加即可求得.（2）分別求解左邊和右邊，即可證明.【詳解】（1）由，，分別平方得：，。兩式相加可得：，整理化簡得：.（2）證明:左邊.右邊，所以左邊=右邊，即原不等式成立.21、（Ⅰ）0，20，40；（Ⅱ）大于或等于，同時應小于.【解析】（Ⅰ）將樹葉沙沙聲的強度,耳語的強度,無線電廣播的強度,分別代入公式進行求解,即可求出所求;（Ⅱ）根據小區內公共場所的聲音的強度水平必須保持在