湖北省武昌市2023-2024學年高一上數學期末監測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列各組函數表示同一函數的是（）A.， B.，C.， D.，2．袋中裝有5個小球，顏色分別是紅色、黃色、白色、黑色和紫色．現從袋中隨機抽取3個小球，設每個小球被抽到的機會均相等，則抽到白球或黑球的概率為A. B.C. D.3．關于x的方程恰有一根在區間內，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知，，，則a，b，c的大小關系為()A B.C. D.5．函數的圖象的一個對稱中心是（）A B.C. D.6．若三點在同一直線上，則實數等于A. B.11C. D.37．函數，對任意的非零實數，關于的方程的解集不可能是A B.C. D.8．不等式對一切恒成立，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知函數的圖像如圖所示，則函數與在同一坐標系中的圖像是（）A. B.C. D.10．若集合，集合，則（）A.{5，8} B.{4，5，6，8}C.{3，5，7，8} D.{3，4，5，6，7，8}二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．高斯是德國著名的數學家，用其名字命名的“高斯函數”為，其中表示不超過x的最大整數.例如：，.已知函數，若，則________；不等式的解集為________.12．函數，在區間上增數，則實數t的取值范圍是________.13．實數，滿足，，則__________14．已知對于任意x,y均有,且時，，則是_____（填奇或偶）函數15．設函數，則下列結論①的圖象關于直線對稱②的圖象關于點對稱③的圖象向左平移個單位，得到一個偶函數的圖象④的最小正周期為，且在上為增函數其中正確的序號為________.（填上所有正確結論的序號）16．已知角的終邊上一點P與點關于y軸對稱，角的終邊上一點Q與點A關于原點O中心對稱，則______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）若，求的最值以及取得最值時相應的的值.18．已知函數.（1）求的值；（2）若函數在區間是單調遞增函數，求實數的取值范圍；（3）若關于的方程在區間內有兩個實數根，記，求實數的取值范圍.19．設矩形的周長為，其中，如圖所示，把它沿對角線對折后，交于點.設，.（1）將表示成的函數，并求定義域；（2）求面積的最大值.20．設函數.（1）計算；（2）求函數的零點；（3）根據第（1）問計算結果，寫出的兩條有關奇偶性和單調性的正確性質，并證明其中一個.21．某新型企業為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，則該企業就考慮轉型，下表顯示的是某企業幾年來利潤y（百萬元）與年投資成本x（百萬元）變化的一組數據：年份2015201620172018投資成本35917…年利潤1234…給出以下3個函數模型：①；②（，且）；③（，且）.（1）選擇一個恰當的函數模型來描述x，y之間的關系，并求出其解析式；（2）試判斷該企業年利潤不低于6百萬元時，該企業是否要考慮轉型.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據相同函數的定義，分別判斷各個選項函數的定義域和對應關系是否都相同，即可得出答案.【詳解】解：對于A，兩個函數的定義域都是，，對應關系完全一致，所以兩函數是相同函數，故A符合題意；對于B，函數的定義域為，函數的定義域為，故兩函數不是相同函數，故B不符題意；對于C，函數的定義域為，函數的定義域為，故兩函數不是相同函數，故C不符題意；對于D，函數的定義域為，函數的定義域為，故兩函數不是相同函數，故D不符題意.故選：A.2、D【解析】分析：先求對立事件的概率：黑白都沒有的概率，再用1減得結果.詳解：從袋中球隨機摸個，有，黑白都沒有只有種，則抽到白或黑概率為選點睛：古典概型中基本事件數的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.3、D【解析】把方程的根轉化為二次函數的零點問題，恰有一個零點屬于，分為三種情況，即可得解.【詳解】方程對應的二次函數設為：因為方程恰有一根屬于，則需要滿足：①，，解得：；②函數剛好經過點或者，另一個零點屬于，把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數與x軸只有一個交點，橫坐標屬于，，解得，當時，方程的根為，不合題意；若，方程的根為，符合題意綜上：實數m的取值范圍為故選：D4、A【解析】比較a，b，c的值與中間值0和1的大小即可﹒【詳解】，，所以，故選：A.5、B【解析】利用正弦函數的對稱性質可知，，從而可得函數的圖象的對稱中心為，再賦值即可得答案【詳解】令，，解得：，.所以函數的圖象的對稱中心為，.當時，就是函數的圖象的一個對稱中心，故選：B.6、D【解析】由題意得：解得故選7、D【解析】由題意得函數圖象的對稱軸為設方程的解為，則必有，由圖象可得是平行于x軸的直線，它們與函數的圖象必有交點，由函數圖象的對稱性得的兩個解要關于直線對稱，故可得；同理方程的兩個解也要關于直線對稱，同理從而可得若關于的方程有一個正根，則方程有兩個不同的實數根；若關于的方程有兩個正根，則方程有四個不同的實數根綜合以上情況可得，關于的方程的解集不可能是．選D非選擇題8、B【解析】當時，得到不等式恒成立；當時，結合二次函數的性質，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，不等式對一切恒成立，當時，即時，不等式恒成立，符合題意；當時，即時，要使得不等式對一切恒成立，則滿足，解得，綜上，實數a的取值范圍是.故選：B.9、B【解析】由函數的圖象可得，函數的圖象過點，分別代入函數式，，解得，函數與都是增函數，只有選項符合題意，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.10、D【解析】根據并集的概念和運算即可得出結果.【詳解】由，得.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①.②.【解析】第一空：”根據“高斯函數”的定義，可得，進而再分類討論建立方程求值即可；第二空：分類討論建立不等式求解即可.【詳解】由題意，得，當時，，即；當時，，即(舍)，綜上；當時，，即，當時，，即，綜上，.故答案為：；.【點睛】關鍵點睛：求解分段函數相關問題的關鍵是“分段歸類”，即應用分類討論思想.12、【解析】作出函數的圖象，數形結合可得結果.【詳解】解:函數的圖像如圖.由圖像可知要使函數是區間上的增函數，則.故答案為【點睛】本題考查函數的單調性，考查函數的圖象的應用，考查數形結合思想，屬于簡單題目.13、8【解析】因為，，所以，，因此由，即兩交點關于(4,4)對稱,所以8點睛：利用函數圖象可以解決很多與函數有關的問題，如利用函數的圖象解決函數性質問題，函數的零點、方程根的問題，有關不等式的問題等.解決上述問題的關鍵是根據題意畫出相應函數的圖象，利用數形結合的思想求解.14、奇函數【解析】賦值，可求得，再賦值即可得到，利用奇偶性的定義可判斷奇偶性；【詳解】，令，得，，再令，得，是上的奇函數；【點睛】本題考查了賦值法及奇函數的定義15、③【解析】利用正弦型函數的對稱性判斷①②的正誤，利用平移變換判斷③的正誤，利用周期性與單調性判斷④的正誤.【詳解】解：對于①，因為f（）＝sinπ＝0，所以不是對稱軸，故①錯；對于②，因為f（）＝sin，所以點不是對稱中心，故②錯；對于③，將把f（x）的圖象向左平移個單位，得到的函數為y＝sin[2（x）]＝sin（2x）＝cos2x，所以得到一個偶函數的圖象；對于④，因為若x∈[0，]，則，所以f（x）在[0，]上不單調，故④錯；故正確的結論是③故答案為③【點睛】此題考查了正弦函數的對稱性、三角函數平移的規律、整體角處理的方法，正弦函數的圖象與性質是解本題的關鍵三、16、0【解析】根據對稱，求出P、Q坐標，根據三角函數定義求出﹒【詳解】解：角終邊上一點與點關于軸對稱，角的終邊上一點與點關于原點中心對稱，由三角函數的定義可知，﹒故答案為：0三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）時，，時，【解析】（1）根據圖像先確定，再根據周期確定，代入特殊點確定，即可得到函數解析式；（2）將作為一個整體，求出其取值范圍，進而求得函數最值，以及相應的x的值.【小問1詳解】由圖知，，，即，得，所以，又，所以，,即，由得，所以.【小問2詳解】由得，所以當，即時，，當，即時，.18、（1）（2）（3）【解析】分析：(1)先根據二倍角公式以及配角公式化為基本三角函數，再代入求值；(2)根據正弦函數性質確定單調性遞增區間，再根據區間之間包含關系列不等式，解得實數的取值范圍；(3)先根據正弦函數圖像確定a的取值范圍，再根據對稱性得，最后代入求實數的取值范圍.詳解：（1）∵∴（2）由，得，∴在區間上是增函數∴當時，在區間上是增函數若函數在區間上是單調遞增函數，則∴，解得（3）方程在區間內有兩實數根等價于直線與曲線有兩個交點.∵當時，由（2）知在上是增函數，在上是減函數，且，，，∴即實數的取值范圍是∵函數的圖像關于對稱∴，∴∴實數的取值范圍為.點睛:函數性質(1).(2)周期(3)由求對稱軸，最大值對應自變量滿足，最小值對應自變量滿足，(4)由求增區間;由求減區間19、（1），；（2）【解析】（1）由題意得，則，根據，可得，所以，化簡整理，即可求得y與x的關系，根據，即可求得x的范圍，即可得答案；（2）由（1）可得，，則的面積，根據x的范圍，結合基本不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得：，則，因為在和中，，所以，即，所以在中，，所以，化簡可得，因為，所以，解得，所以，；（2）由（1）可得，，所以面積，因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，此時面積，即面積最大值為【點睛】解題的關鍵是根據條件，表示出各個邊長，根據三角形全等，結合勾股定理，進行求解，易錯點為：利用基本不等式求解時，需滿足“①正”，“②定”，“③相等”，注意檢驗取等條件是否成立，考查分析理解，計算化簡的能力，屬中檔題.20、（1），，，；（2）零點為；（3）答案見解析.【解析】（1）根據解析式直接計算即可；（2）由可解得結果；（3）由（1）易知為非奇非偶函數，用定義證明是上的減函數.【詳解】（1），，，.（2）令得，故，即函數的零點為.（3）由（1）知，，且，故為非奇非偶函數；是上的減函數.證明如下：（）任取，且，則，因為當時，，則，又，，所以，即，故函數是上的減函數.21、（1）可用③來描