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文檔簡介

§2.4.1

平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義3．兩個非零向量夾角的概念1．向量共線定理復(fù)習(xí)引入：2．平面向量基本定理已知兩個非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，則∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。當(dāng)θ＝0°時，a與b同向；OAB當(dāng)θ＝180°時，a與b反向；OABB當(dāng)θ＝90°時，稱a與b垂直，記為a⊥b.OAab講解新課：

1．力做的功：θFS力F所做的功W可用下式計算

W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角2．平面向量數(shù)量積的定義：

已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。3．“投影”的概念：

|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。在方向上的投影4．向量的數(shù)量積的幾何意義：等于的長度與的乘積。5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：特別地OABθ

abB1設(shè)、是非零向量，是與方向相同的單位向量。（3）與同向時，當(dāng)與反向時，6．平面向量數(shù)量積的運算律其中，是任意三個向量，注：三、講解范例：解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。例2已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角θ=60°，求(a+2b)(a-3b)。解：(a+2b)(a-3b)=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2=36-6×4×cos60°-6×16=-72例3已知|a|=3，|b|=4，當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直？解：（a+kb)·(a-kb)=|a|2-k2|b|2

=9-16k2故k=3/4或k=-3/4而(a+kb)·(a-kb)=0(2)1．若a=0，則對任一向量b

，有a

·

b=0．2．若a≠0，則對任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a

·b=0，則b=04．若a

·

b=0，則a

·

b中至少有一個為0．5．若a≠0，a

·

b=b

·

c，則a=c6．若a

·

b=a

·

c,則b≠c,當(dāng)且僅

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