小學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)放題的研究與實(shí)踐數(shù)學(xué)開(kāi)放題是在70年代開(kāi)始出現(xiàn)的一種新題型，開(kāi)放題是相對(duì)于傳統(tǒng)的封閉題而言，其特征是題目的條件不充分，或沒(méi)有確定的結(jié)論，也正因?yàn)檫@樣，所以開(kāi)放題的解題策略往往也是多種多樣的。一、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的概念定位（一）數(shù)學(xué)開(kāi)放題的特征數(shù)學(xué)開(kāi)放題一般具有下列特征：1、不確定性：所提的問(wèn)題常常是不確定的和一般性的，其背景情況也是用一般詞語(yǔ)來(lái)描述的，主體必須收集其他必要的信息，才能著手解的題目。2、探究性：沒(méi)有現(xiàn)成的解題模式，有些答案可能易于直覺(jué)地被發(fā)現(xiàn)，但是求解過(guò)程中往往需要從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索。3、非完備性：有些問(wèn)題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答的過(guò)程中主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建。4、發(fā)散性：在求解過(guò)程中往往可以引出新的問(wèn)題，或?qū)?wèn)題加以推廣，找出更一般、更有概括性的結(jié)論。5、層次性：常常通過(guò)實(shí)際問(wèn)題提出，主體必須用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將其數(shù)學(xué)化，也就是建立數(shù)學(xué)模型。6、發(fā)展性：能激起多數(shù)學(xué)生的好奇性，全體學(xué)生都可以參與解答過(guò)程，而不管他是屬于何種程度和水平。7、創(chuàng)新性：教師難以用注入式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能自然地主動(dòng)參與，教師在解題過(guò)程中的地位是示范者、啟發(fā)者、鼓勵(lì)者、合作者。（二）數(shù)學(xué)開(kāi)放題的分類1、對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)放題的分類，從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素（條件、依據(jù)、方法、結(jié)論）出發(fā)，定性地可分成四類；如果尋求的答案是數(shù)學(xué)題的條件，則稱為條件開(kāi)放題；如果尋求的答案是依據(jù)或方法，則稱為策略開(kāi)放題；如果尋求的答案是結(jié)論，則稱為結(jié)論開(kāi)放題；如果數(shù)學(xué)題的條件、解題策略或結(jié)論都要求解題者在給定的情境中自行設(shè)定與尋找，則稱為綜合開(kāi)放題。（1）條件開(kāi)放題①請(qǐng)編一道應(yīng)用題，算式為（20-4）÷2-8②在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位的和等于。這樣的分?jǐn)?shù)單位你能找出幾對(duì)？③58個(gè)蘋(píng)果，拿出幾個(gè)后，可以平均分到8個(gè)盤(pán)子中？④在下面的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)多邊形，使多邊形的面積是2。（2）策略開(kāi)放題①你喜歡用哪種算法（發(fā)表在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2000年1-2期上）你能用幾種不同的方法來(lái)計(jì)算下列題目，并說(shuō)說(shuō)你最喜歡哪一種。804-397（四、五年級(jí)）25×4+25×4（四、五年級(jí)）8.88×12.5(五、六年級(jí))24×（六年級(jí)）②在算盤(pán)中，請(qǐng)你用一顆上珠和一顆下珠，表示出萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)。（3）結(jié)論開(kāi)放題①像212從左往右讀和從右往左讀都一樣的三位數(shù)（回文數(shù)）有幾個(gè)？②小明買鋼筆和圓珠筆共用去54元，已知每支鋼筆3元，圓珠筆2元，那么小明買了幾支鋼筆？幾支圓珠筆？③把24個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小正方形拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積各是多少？④“五一”長(zhǎng)假期間，寧波青年旅行社組織了35名游客去“五龍?zhí)丁庇瓮妫梢幻麑?dǎo)游帶領(lǐng)。五龍?zhí)度肟谔幍摹百?gòu)票須知”寫(xiě)道：“每人憑票進(jìn)門。兒童、成人一律每張30元，40張開(kāi)始可以享受團(tuán)體八折優(yōu)惠”。導(dǎo)游買票時(shí)付給售票員1000元，你認(rèn)為夠了嗎？請(qǐng)用數(shù)字知識(shí)來(lái)說(shuō)明你的觀點(diǎn)？（4）綜合開(kāi)放題①如果校園里有一水池，請(qǐng)估計(jì)水池中有多少立方米水？②去十字路口，在10分鐘內(nèi)（或一定時(shí)間內(nèi)）統(tǒng)計(jì)來(lái)往車輛的情況，而后能否對(duì)建立“紅綠燈”問(wèn)題提出你的想法和方案？③調(diào)查菜價(jià)（六年級(jí)）（發(fā)表在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2000年1-2期上）去當(dāng)?shù)夭藞?chǎng)調(diào)查一周內(nèi)主要幾種菜的價(jià)格變化情況，完成下面這張統(tǒng)計(jì)表（可以任意選定五種，分上午7：00左右，下午4：30左右兩個(gè)時(shí)間去調(diào)查），然后思考下面問(wèn)題：㈠根據(jù)你調(diào)查的結(jié)果，你能提出哪些問(wèn)題？㈡根據(jù)調(diào)查的結(jié)果，你有哪些建議？_____________菜場(chǎng)五種菜價(jià)格表__月__日～__月__日星期價(jià)格（元）蔬菜類別一二三四五六日上午下午上午下午上午下午上午下午上午下午上午下午上午下午

2、從開(kāi)放題答案的開(kāi)口情況出發(fā)，數(shù)學(xué)開(kāi)放題可以定量地分成三類：弱開(kāi)放題──答案情況（包括可能情況）只有兩種的開(kāi)放題；中開(kāi)放題──答案情況（包括可能情況）超過(guò)兩種，但為數(shù)目確定的有限種；強(qiáng)開(kāi)放題──只能給出部分答案情況，答案情況（包括可能情況）總數(shù)難以確定的開(kāi)放題。我們將數(shù)學(xué)問(wèn)題的開(kāi)放程度簡(jiǎn)稱為開(kāi)放度，對(duì)于事物的“度”，我們總期望能給予定量表示，“度”的問(wèn)題只有進(jìn)行量化表達(dá)時(shí)才能得到比較成熟的分析，才能從模糊走向精確，將數(shù)學(xué)問(wèn)題（包括封閉題）的全體看為一個(gè)集合，我們能否建立這個(gè)集合到某個(gè)數(shù)集（比如自然數(shù)集N）的一個(gè)映射，將開(kāi)放度定量化？容易想到用答案情況（包括可能情況）的個(gè)數(shù)來(lái)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題的開(kāi)放度，照此我們可將封閉題看為開(kāi)放度為1的數(shù)學(xué)問(wèn)題，弱開(kāi)放題的開(kāi)放度為2，中開(kāi)放題是開(kāi)放度為定值n（n∈N，n≥3）的開(kāi)放題，而強(qiáng)開(kāi)放題則是開(kāi)放度為未知數(shù)x的開(kāi)放題，x隨著思考主體對(duì)問(wèn)題答案不同角度、不同層次的理解和要求可能會(huì)有所變化。（1）弱開(kāi)放題（n=2）①把4個(gè)棱長(zhǎng)為5cm的立方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，它的表面積是多少？②兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是5，最小公倍數(shù)是30，那么這兩個(gè)自然數(shù)分別是幾？（2）中開(kāi)放題（n≥3）①在一條筆直的公路上，小明和小剛騎車同時(shí)從相距500米的A、B兩地出發(fā)，小明每分鐘行200米，小剛每分鐘行300米，多少時(shí)間后，兩人相距5千米？②在1，2，3，4，5，6，7，8這八個(gè)數(shù)中，哪些數(shù)能組成比例，組成怎樣的比例？②在，3，0.8，，4.8，2，中，選出合適的數(shù)組成比例：（）。③立方體的表面展開(kāi)圖有幾種？（3）強(qiáng)開(kāi)放題（n=x）①有一塊邊長(zhǎng)為10米的正方形的空地，現(xiàn)在要在空地上設(shè)計(jì)一個(gè)花壇，使花壇的面積是空地面積的二分之一，問(wèn)如何設(shè)計(jì)。②請(qǐng)調(diào)查你所在地方各種房子的價(jià)格，想一想為什么價(jià)格有差異？你覺(jué)得買哪一類房子比較便宜？3、數(shù)學(xué)開(kāi)放題從單純的適用年級(jí)來(lái)看，還可以分為一年級(jí)數(shù)學(xué)開(kāi)放題、二年級(jí)數(shù)學(xué)開(kāi)放題……（三）數(shù)學(xué)開(kāi)放題的概念定位對(duì)于開(kāi)放題的分類討論，有助于理解開(kāi)放題的概念，有助于把握問(wèn)題的開(kāi)放度，有利于教師把握一個(gè)數(shù)學(xué)開(kāi)放題是否適用于課堂教學(xué)，或者有利于教師改變開(kāi)放題的設(shè)問(wèn)方式以幫助課堂教學(xué)，或者有利于考試評(píng)分的可操作性與公平性。綜上分析，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)開(kāi)放題是具有一定現(xiàn)實(shí)背景的、解答途徑?jīng)]有固定模式可循的數(shù)學(xué)問(wèn)題。具體：1、在數(shù)學(xué)開(kāi)放題中，往往是條件不確定或結(jié)論不確定，它有時(shí)可以是因條件不確定導(dǎo)致結(jié)論不確定，有時(shí)還可以是因結(jié)論不確定而導(dǎo)致條件的不確定；2、從數(shù)學(xué)問(wèn)題的開(kāi)放度來(lái)描述，數(shù)學(xué)開(kāi)放題的開(kāi)放度應(yīng)是n≥2；3、數(shù)學(xué)開(kāi)放題要求學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯思想去得出結(jié)論，重在對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。二、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的設(shè)計(jì)策略從數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)部來(lái)看，任何一本數(shù)學(xué)教材包含有三個(gè)方面的內(nèi)容：關(guān)于概念定義的內(nèi)容，關(guān)于命題定理的內(nèi)容，關(guān)于例題習(xí)題（統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)題）的內(nèi)容。數(shù)學(xué)題的作用首先表現(xiàn)在幫助學(xué)生熟悉和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展學(xué)生的智能，由于教育選拔功能的需要，數(shù)學(xué)題的作用還表現(xiàn)在評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)上。因此，數(shù)學(xué)題就自然成為數(shù)學(xué)教學(xué)的中心，“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，“問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心”正是數(shù)學(xué)題重要性的體現(xiàn)。現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)題絕大多數(shù)是封閉題，數(shù)學(xué)題的特征決定了它的功能，進(jìn)而決定了它的教育價(jià)值。實(shí)踐表明封閉題已不能完全滿足數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的要求，所以，研究設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)開(kāi)放題并用之于數(shù)學(xué)教學(xué)具有特別重要的現(xiàn)實(shí)意義。、掌握開(kāi)放題的一些設(shè)計(jì)方法，是數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有的一項(xiàng)重要教學(xué)技能。數(shù)學(xué)開(kāi)放題的設(shè)計(jì)，可以從以下兩方面考慮：1、選材開(kāi)放審視目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，教材中出現(xiàn)的例題是已經(jīng)經(jīng)過(guò)處理的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生做的習(xí)題也是人為編制的可以套用現(xiàn)成公式、模仿例題的各種練習(xí)。學(xué)生在練習(xí)時(shí)不需要考慮這些問(wèn)題的來(lái)源和作用，更不需要應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)生活中的各種問(wèn)題。學(xué)生在長(zhǎng)期的、反復(fù)操作的數(shù)據(jù)符號(hào)前，會(huì)產(chǎn)生乏味、厭學(xué)的情緒，久而久之就有可能形成對(duì)數(shù)學(xué)恐懼的心理。由此，數(shù)學(xué)習(xí)題的選材，應(yīng)由封閉走向開(kāi)放。它不僅可以來(lái)自教材，也可來(lái)自學(xué)生、來(lái)自生活，讓學(xué)生在親切、熟悉的情感體驗(yàn)中感受到數(shù)學(xué)的意義。①創(chuàng)設(shè)生活情境數(shù)學(xué)是對(duì)客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系的一種抽象。因此，在教學(xué)中一方面要盡可能讓抽象的數(shù)學(xué)概念在生活中找到原型，另一方面要?jiǎng)?chuàng)造條件，促使學(xué)生能把學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決一些日常生活中有關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并能初步解決一些有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如：筆者曾經(jīng)在教學(xué)“乘法應(yīng)用題和常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系”前，創(chuàng)設(shè)了這樣的生活情境：小芳家開(kāi)了一個(gè)小商店，小芳正替爸爸站柜臺(tái)賣東西，來(lái)了一位叔叔。叔叔：小朋友，我買4支鉛筆，2個(gè)籃球，4千克糖。小芳：鉛筆每支4角，籃球68元1個(gè)，糖每千克12元。叔叔：一共要付多少錢？請(qǐng)開(kāi)張發(fā)票。這樣的習(xí)題，可以使學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)踐化的過(guò)程中感受到，數(shù)學(xué)就在我們的生活中。②利用學(xué)生的學(xué)習(xí)成果教師要善于利用學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，這一方面是指上課的題材盡量來(lái)自學(xué)生。例如教學(xué)兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法，可以先出示若干數(shù)字，讓學(xué)生自由選擇其中的三個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)減一位數(shù)的題目，并將這些題進(jìn)行分類，然后引導(dǎo)學(xué)生在比較中討論退位減的方法。這樣的題材，不是來(lái)自教材而是來(lái)自學(xué)生，這會(huì)使學(xué)生感到更加親切更能激起學(xué)生積極參與、主動(dòng)探求的欲望；另一方面，是指教學(xué)的題材可利用課堂上學(xué)生解題中所發(fā)生的錯(cuò)誤。例如，鄞江鎮(zhèn)6個(gè)村計(jì)劃栽樹(shù)6000棵，實(shí)際每個(gè)村平均栽樹(shù)1200棵。全鎮(zhèn)比計(jì)劃多栽樹(shù)多少棵？有學(xué)生解為：1200-6000÷6，教師可以請(qǐng)學(xué)生就他的列式來(lái)改編題目，學(xué)生在錯(cuò)和對(duì)的對(duì)比之下學(xué)習(xí)，記憶會(huì)更加深刻。③改編課本上的封閉題相對(duì)于數(shù)學(xué)開(kāi)放題而言，小學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)題中，大量是常規(guī)題，這種題條件完備，答案固定，稱之為封閉題。有時(shí)一道傳統(tǒng)的封統(tǒng)題，稍加改造就成了一道開(kāi)放題了。例如⑴：浙教版第十冊(cè)P101第12題，王師傅3小時(shí)做29個(gè)機(jī)器零件，方師傅5小時(shí)做48個(gè)同樣的零件，誰(shuí)做得快些？我們只要把問(wèn)題改成：“你認(rèn)為哪一位是老師傅？為什么？”這道題就變成了一道“開(kāi)放題”了。例如⑵：浙教版第十一冊(cè)P122第1題，指出下圖圓的直徑和半徑。如果我們把它改為：下圖是一張圓形紙片，圖中畫(huà)有一條線段，請(qǐng)你想辦法判斷這條線段是否是所在圓的半徑？這就成為了一道非常好的開(kāi)放題了。④以身邊的事例為背景人們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常接觸到的是一些平凡的事物。如果我們能以數(shù)學(xué)的眼光對(duì)這些看似平凡的事物進(jìn)行審視，就可能發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律性的東西，以此為背景，編制出一些富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)“開(kāi)放性應(yīng)用問(wèn)題”，就能促使學(xué)生體會(huì)到“處處留心皆學(xué)問(wèn)”的道理。例如1.筆者從前段日子電視上了解到了全國(guó)大紅鷹杯電視歌唱大賽的比賽情況，受此啟發(fā)編出了“請(qǐng)你當(dāng)評(píng)委”（五年級(jí)）的數(shù)學(xué)開(kāi)放題。（發(fā)表在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2000年1-2期上）請(qǐng)你當(dāng)評(píng)委（五、六年級(jí)）學(xué)校組織校園歌曲獨(dú)唱比賽，6個(gè)評(píng)委給③號(hào)選手打的分?jǐn)?shù)分別是：評(píng)委123456得分9.659.258.7510.008.357.70⑴假如你是第七位評(píng)委，會(huì)給③號(hào)選手打幾分？為什么？⑵你打的分?jǐn)?shù)若不影響③號(hào)選手原先的名次，應(yīng)該給他打幾分？說(shuō)說(shuō)你的理由。同樣，筆者針對(duì)上幾次寧波發(fā)行體育福利彩票的有關(guān)事例，編擬了“彩票問(wèn)題（六年級(jí)）”的數(shù)學(xué)開(kāi)放題：（發(fā)表在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2000年1-2期上）彩票問(wèn)題（六年級(jí)）寧波市去年年底發(fā)行體育福利彩票，彩票面額每張2元，中獎(jiǎng)后資金情況見(jiàn)下頁(yè)表。中獎(jiǎng)等級(jí)獎(jiǎng)金額中獎(jiǎng)數(shù)（個(gè)）特等獎(jiǎng)20萬(wàn)元20一等獎(jiǎng)10萬(wàn)元20二等獎(jiǎng)1萬(wàn)元50三等獎(jiǎng)5000元100四等獎(jiǎng)1000元500五等獎(jiǎng)100元2000六等獎(jiǎng)10元20000七等獎(jiǎng)2元250000⑴小莊在12月24日那天，先后摸了10張彩票，你猜她可能付出了幾元錢？說(shuō)說(shuō)你的理由。⑵若本次獎(jiǎng)金總額是發(fā)行額的42%，則至少賣出多少?gòu)埐势辈拍軆冬F(xiàn)這表中的獎(jiǎng)金？⑶從這張表格中，你能了解到哪些信息？其實(shí)只要我們有心，身邊的許多事例都可以用來(lái)作為編擬開(kāi)放題的材料，這也驗(yàn)證了一句話“生活中處處有數(shù)學(xué)問(wèn)題”。⑤擇“洋題”為中用在國(guó)外的一些數(shù)學(xué)“應(yīng)用問(wèn)題”資料中，可以挑選一些適合我國(guó)國(guó)情和符合我們的《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求的題目，以供我們教學(xué)時(shí)借鑒使用，這也豐富了“數(shù)學(xué)開(kāi)放題“的來(lái)源。其實(shí)，許多的“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”都是從國(guó)外翻譯、改編而來(lái)，例如：《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》近幾年來(lái)每期基本上都刊登有李至文老師編譯的開(kāi)放題。2、設(shè)計(jì)開(kāi)放①條件開(kāi)放傳統(tǒng)的練習(xí)設(shè)計(jì)，條件是所求問(wèn)題的充要條件，容易給學(xué)生造成思維的定勢(shì)。當(dāng)遇到條件不足或條件有余時(shí)，感到束手無(wú)策或疑惑不解，設(shè)計(jì)條件開(kāi)放的開(kāi)放題，可以提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。條件開(kāi)放題，可以有少用條件、多余條件、比常規(guī)少了條件、缺條件（補(bǔ)條件）、圖文條件等。讓學(xué)生在審題時(shí)，攝取必要的條件，不用或少用一些條件創(chuàng)造性地運(yùn)用條件去解決問(wèn)題。例如：少年宮美術(shù)組有24人，航模組比美術(shù)組少6人，書(shū)法組的人數(shù)是美術(shù)組的3倍，美術(shù)組和航模組一共有多少人？通過(guò)分析可知書(shū)法組的人數(shù)是美術(shù)組的3倍條件多余；再如：一塊長(zhǎng)方形菜地，長(zhǎng)100米，因建養(yǎng)雞場(chǎng)需要，在這塊地的一端劃出一塊最大的正方形地做養(yǎng)雞場(chǎng)，剩下地的四周圍上籬笆，籬笆長(zhǎng)多少？表面看來(lái)似乎條件不足，進(jìn)一步分析便可發(fā)現(xiàn)籬芭的總長(zhǎng)實(shí)際就是菜地長(zhǎng)的2倍。引導(dǎo)學(xué)生從眾多的已知條件中排除表面現(xiàn)象的干擾，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，高效、簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題，能促進(jìn)學(xué)生思維深刻性的發(fā)展，提高他們創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力。②問(wèn)題開(kāi)放學(xué)生學(xué)習(xí)上的差異，使他們?cè)诶靡阎畔⑦M(jìn)行分析時(shí)，能發(fā)現(xiàn)并提出多種多樣的問(wèn)題。設(shè)計(jì)問(wèn)題開(kāi)放的開(kāi)放題，有助于貫徹因材施教的原則，充分發(fā)展學(xué)生的個(gè)性特長(zhǎng)，做到面向全體學(xué)生，使每個(gè)學(xué)生都得到發(fā)展。問(wèn)題開(kāi)放題，在解決形式上可有解答式問(wèn)題、問(wèn)答式問(wèn)題、圖表式問(wèn)題；在答案方面，可有唯一答案、多種答案、“不存在”答案等。例如：在□里填上合適的數(shù)：一般學(xué)生能根據(jù)商十位商0和個(gè)位商7得出被除數(shù)的十位是5，個(gè)位是6；思路相對(duì)活躍的同學(xué)能從余數(shù)不確定得出個(gè)位也可能是7（8、9……）；分析能力較強(qiáng)的同學(xué)能歸納出被除數(shù)的后兩位可從56起填到63。這樣的練習(xí)，一方面給每個(gè)學(xué)生提供了獲得成功的機(jī)會(huì)，促進(jìn)了不同程度的學(xué)生都得到提高和發(fā)展；另一方面，也為學(xué)生提供了發(fā)散的空間，培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性和深刻性。③策略開(kāi)放習(xí)題解答，除了讓學(xué)生學(xué)會(huì)常規(guī)的解題方法之外，還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)多方位、多角度地解決問(wèn)題，并從中發(fā)現(xiàn)最有效的解決問(wèn)題的方法，促進(jìn)學(xué)生思維廣闊性、靈活性、創(chuàng)造性的發(fā)展。例如：分子、分母都不相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)比大小，便可打破“先通分”的常規(guī)，尋求最佳的解題策略。你能用哪些方法來(lái)比較和的大小？方法⑴：把和化成同分母分?jǐn)?shù)來(lái)比較。⑵：把和化成同分子分?jǐn)?shù)來(lái)比較。⑶：和1進(jìn)行比較⑷：把分?jǐn)?shù)擴(kuò)大成整數(shù)后進(jìn)行比較⑸：用倒數(shù)進(jìn)行比較總之，在教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生從多角度思考，大膽創(chuàng)新，不要局限于常規(guī)和固定模式，開(kāi)拓思路，以促進(jìn)思維創(chuàng)造性的發(fā)展。④綜合性開(kāi)放學(xué)生是社會(huì)的成員，學(xué)生以后都是面向綜合的復(fù)雜的社會(huì)，因此，習(xí)題設(shè)計(jì)也應(yīng)有綜合性的，可以集其它學(xué)科相關(guān)知識(shí)于題中，也可以集本學(xué)科相關(guān)知識(shí)于題中。例如學(xué)完平面圖形知識(shí)以后，可設(shè)計(jì)這樣一題讓學(xué)生研究：把校園內(nèi)的一塊長(zhǎng)100米，寬80米的長(zhǎng)方形空地設(shè)計(jì)成一個(gè)花園，其中要有圓形、方形、菱形等面積不等的花地、草坪。要求：⑴花地、草坪、道路所占面積比例適中；⑵圖案美觀。這樣的習(xí)題打破了人為訓(xùn)練的目的，又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。從學(xué)生的學(xué)習(xí)生活和熟悉的事物中收集材料，設(shè)計(jì)成各種形式的數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題，意在開(kāi)放學(xué)生的思路，開(kāi)放學(xué)生潛在的學(xué)習(xí)能力，開(kāi)放性數(shù)學(xué)問(wèn)題給不同層次的學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)創(chuàng)設(shè)了機(jī)會(huì)，多種解題策略的應(yīng)用，有力地發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新技能，提高了學(xué)生的創(chuàng)新能力。直接編擬數(shù)學(xué)開(kāi)放題，特別是直接編開(kāi)放性應(yīng)用題，難度較大。如果對(duì)我們熟悉的大量封閉題進(jìn)行改編，保留原題中的基本情境和一些現(xiàn)成構(gòu)件，并根據(jù)形式邏輯的理論進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸じ脑欤湍茌^容易地編出開(kāi)放題。

漫談小學(xué)數(shù)學(xué)思想及其在教學(xué)中的滲透數(shù)學(xué)思想是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉和概括，在后繼的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)證實(shí)其正確性，帶有一般意義和相對(duì)穩(wěn)定的特征。它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著指引方向的作用，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，是數(shù)學(xué)的靈魂。而數(shù)學(xué)方法則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想，在自然辯證法一書(shū)的導(dǎo)言中，恩格斯敘述了笛卡兒制定了解析幾何，耐普爾制定了對(duì)數(shù)，來(lái)布尼茨和牛頓制定了微積分后指出：“最重要的數(shù)學(xué)方法基本上被確定了”，對(duì)數(shù)學(xué)而言，可以說(shuō)最重要的數(shù)學(xué)思想也基本上被確定了。《九年制義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（試驗(yàn)稿）提出：“學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法。”因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理、定律的理解，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，是數(shù)學(xué)教育中實(shí)現(xiàn)從傳授知識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要途徑，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想主要有符號(hào)思想、類比思想、分類思想、方程與函數(shù)思想、建模思想等。一、符號(hào)思想西方較早地在數(shù)學(xué)研究中引進(jìn)了符號(hào)，十六世紀(jì)數(shù)學(xué)家韋達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)作了很多改進(jìn)，并且第一個(gè)有意識(shí)地系統(tǒng)地用字母表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)學(xué)研究的重大拓展，奠定了符號(hào)代數(shù)的基礎(chǔ)，后來(lái)大數(shù)學(xué)家笛卡兒對(duì)韋達(dá)使用的字母又作了改進(jìn)。用符號(hào)化的語(yǔ)言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號(hào)）來(lái)描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這就是符號(hào)思想。在數(shù)學(xué)中各種量的關(guān)系，量的變化以及量與量之間進(jìn)行推導(dǎo)和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號(hào)的濃縮形式來(lái)表達(dá)大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c，這里的a、b、c不僅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式s＝a×b，不管世界上有多少個(gè)不同的長(zhǎng)方形，都可用它計(jì)算出來(lái)。又如在“有余數(shù)的除法”教學(xué)中，最后出現(xiàn)一道思考題：“六一”聯(lián)歡會(huì)上，小明按照3個(gè)紅氣球、2個(gè)黃氣球、1個(gè)藍(lán)氣球的順序把氣球串起來(lái)裝飾教室。你能知道第24個(gè)氣球是什么顏色的嗎？解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生可以有多種方法。如，用書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便的字母a、b、c分別表示紅、黃、藍(lán)氣球，則按照題意可以轉(zhuǎn)化成如下符號(hào)形式：aaabbcaaabbcaaabbc……從而可以直觀地找出氣球的排列規(guī)律，并推出第24個(gè)氣球是藍(lán)色的。上例所分析的這些都是符號(hào)思想的具體體現(xiàn)，它們將所有的數(shù)據(jù)實(shí)例集為一體，把復(fù)雜的語(yǔ)言文字?jǐn)⑹鲇煤?jiǎn)潔明了的字母公式表示出來(lái)，便于記憶，便于運(yùn)用，正如華羅庚所說(shuō)的“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是抽象，正因?yàn)槿绱耍梅?hào)表示就更具有廣泛的應(yīng)用性與優(yōu)越性”。這種用符號(hào)來(lái)體現(xiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是世界性語(yǔ)言，是一個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合反映。把客觀存在的事物和現(xiàn)象及它們相互之間的關(guān)系抽象概括為數(shù)學(xué)符號(hào)和公式，有一個(gè)從具體到表象再抽象符號(hào)化的過(guò)程，小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，從接受到運(yùn)用會(huì)遇到較多的困難，需要教師在平時(shí)地教學(xué)中，從介紹字母使用的歷史入手，循循善誘，加強(qiáng)培養(yǎng)和訓(xùn)練。二、類比思想數(shù)學(xué)上的類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去的思想，它能夠解決一些表面上看似復(fù)雜困難的問(wèn)題。就遷移過(guò)程來(lái)分，有些類比十分明顯、直接、比較簡(jiǎn)單，如由加法交換律a＋b＝b＋a的學(xué)習(xí)遷移到乘法分配律a×b=b×a的學(xué)習(xí)；而有些類比需在建立抽象分析的基礎(chǔ)上才能實(shí)現(xiàn)，比較復(fù)雜。例如有這么一道數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題：某科學(xué)考察組進(jìn)行科學(xué)考察，要越過(guò)一座山。上午8時(shí)上山，每小時(shí)行3千米，到達(dá)山頂時(shí)休息1小時(shí)。下山時(shí)，每小時(shí)行5千米，下午2時(shí)到達(dá)山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米？分析：此題表面上看似一道行程問(wèn)題，但實(shí)質(zhì)上只不過(guò)是一道典型的“雞兔同籠”問(wèn)題的變化題型。其特征是：（1）已知兩種事物的單值：上山速度為3千米；下山速度為5千米。(2)已知這兩種不同事物的總個(gè)數(shù)：除去休息1小時(shí)的5小時(shí)；全程19千米。(3)要求的是這兩種不同事物的個(gè)數(shù)：上山和下山的時(shí)間各是多少？可見(jiàn)此題的解答方法與"雞兔同籠"問(wèn)題的解答方法完全相同。假設(shè)5小時(shí)都是上山時(shí)間，則共走路程為3×5＝15（千米），比實(shí)際走的19千米少了19－15＝4（千米），原因是由于把下山時(shí)間也當(dāng)作了上山時(shí)間，則下山時(shí)間為4÷（5－3）＝2（小時(shí)）。從而可以推出下山路程是5×2＝10（千米），上山路程是19－10＝9（千米）。當(dāng)然我們也可以假設(shè)5小時(shí)都是下山時(shí)間來(lái)類推求解。數(shù)學(xué)中所有公式定理的運(yùn)用就是類比思想的直接反映。目前，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中類比思想的內(nèi)容很多，雜志上發(fā)表得較多的某些定理，問(wèn)題的延伸，推論，拓廣也是類比思想的反映，這就要求教師去發(fā)掘去實(shí)施，如長(zhǎng)方形的面積公式為長(zhǎng)×寬＝a×b，通過(guò)類比，三角形的面積公式也可以理解為長(zhǎng)（底）×寬（高）÷2＝a×b（h）÷2。類似的，圓柱體體積公式為底面積×高，那么錐體的體積可以理解為底面積×高÷。類比思想不僅使數(shù)學(xué)知識(shí)容易理解，而且使公式的記憶變得順?biāo)浦鄣米匀缓秃?jiǎn)潔，從而可以激發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造力，正如數(shù)學(xué)家波利亞所說(shuō)："我們應(yīng)該討論一般化和特殊化和類比的這些過(guò)程本身，它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉。"三、分類思想數(shù)學(xué)中每一個(gè)概念都有其特有的本質(zhì)特征，它又是按照一定的規(guī)律擴(kuò)展變化的，它們之間都存在著質(zhì)變到量變的關(guān)系。要正確的認(rèn)識(shí)這些概念，就需要具體的概念依據(jù)具體的標(biāo)準(zhǔn)具體分析，這就是數(shù)學(xué)的分類思想，是指按某種標(biāo)準(zhǔn)，將研究地?cái)?shù)學(xué)對(duì)象分成若干部分進(jìn)行分析研究。一般我們分類時(shí)要求滿足互斥，無(wú)遺漏、最簡(jiǎn)便的原則。如整數(shù)以能否被2整除為例，可分為奇數(shù)和偶數(shù)；若以自然數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)來(lái)分類，則可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。幾何圖形中的分類更常見(jiàn)，如學(xué)習(xí)"角的分類"時(shí)，涉及到許多概念，而這些概念之間的關(guān)系滲透著量變到質(zhì)變的規(guī)律。其中幾種角是按照度數(shù)的大小，從量變到質(zhì)變來(lái)分類的，由此推理到在三角形中以最大一個(gè)角大于、等于和小于90°為分類標(biāo)準(zhǔn)，可分為鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形。而三角形以邊的長(zhǎng)短關(guān)系為分類標(biāo)準(zhǔn)，又可分為不等邊三角形和等邊三角形，等邊三角形又可分為正三角形和等腰三角形。不同的分類標(biāo)準(zhǔn)會(huì)有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)。由于分類討論，一則在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生潛移默化地受到了辨證唯物主義思想的啟蒙教育；又一則對(duì)學(xué)生能力有明顯的區(qū)別功能，再加上現(xiàn)實(shí)世界需要分類研究的普遍性，作為一種數(shù)學(xué)思想必然會(huì)引起人們的重視。例如在教學(xué)多位數(shù)讀寫(xiě)法后，設(shè)計(jì)了這樣一道開(kāi)放題：下面五張卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字0、0、1、2、3，可以利用它們組成許多不同的五位數(shù)，求所有五位數(shù)的平均數(shù)。分析：以最高位上的數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)，把所有能組成的五位數(shù)分成三類，再依從小到大的順序列表如下。（1）10023（2）20013（3）30012100322003130021102032010330102102302013030120103022030130201103202031030210120032100331002120302103031020123002130031200130022300132001130202301032010132002310032100這36個(gè)數(shù)的平均數(shù)，萬(wàn)位上的數(shù)字是2，可由（1＋2＋3）÷3＝2確定，其他數(shù)位上的數(shù)字都是1，可由（1＋2＋3）×6÷36＝1確定。平均數(shù)是21111。四、方程和函數(shù)思想在已知數(shù)與未知數(shù)之間建立一個(gè)等式，把生活語(yǔ)言“翻譯”成代數(shù)語(yǔ)言的過(guò)程就是方程思想。笛卡兒曾設(shè)想將所有的問(wèn)題歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程問(wèn)題，即通過(guò)問(wèn)題中的已知量和未知量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為方程（組），這就是方程思想的由來(lái)。在小學(xué)階段，學(xué)生在解應(yīng)用題時(shí)仍停留在小學(xué)算術(shù)的方法上，一時(shí)還不能接受方程思想，因?yàn)樵谒闱蠼忸}時(shí)，只允許具體的已知數(shù)參加運(yùn)算，算術(shù)的結(jié)果就是要求未知數(shù)的解，在算術(shù)解題過(guò)程中最大的弱點(diǎn)是未知數(shù)不允許作為運(yùn)算對(duì)象，這也是算術(shù)的致命傷。而在代數(shù)中未知數(shù)和已知數(shù)一樣有權(quán)參加運(yùn)算，用字母表示的未知數(shù)不是消極地被動(dòng)地靜止在等式一邊，而是和已知數(shù)一樣，接受和執(zhí)行各種運(yùn)算，可以從等式的一邊移到另一邊，使已知與未知之間的數(shù)學(xué)關(guān)系十分清晰，在小學(xué)中高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，若不滲透這種方程思想，學(xué)生的數(shù)學(xué)水平就很難提高。例如稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、行程問(wèn)題、還原問(wèn)題等，用代數(shù)方法即假設(shè)未知數(shù)來(lái)解答比較簡(jiǎn)便，因?yàn)橛米帜竫表示數(shù)后，要求的未知數(shù)和已知數(shù)處于平等的地位，數(shù)量關(guān)系就更加明顯，因而更容易思考，更容易找到解題思路。在近代數(shù)學(xué)中，與方程思想密切相關(guān)的是函數(shù)思想，它利用了運(yùn)動(dòng)和變化觀點(diǎn)，在集合的基礎(chǔ)上，把變量與變量之間的關(guān)系，歸納為兩集合中元素間的對(duì)應(yīng)。數(shù)學(xué)思想是現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系深入研究的必然產(chǎn)物，對(duì)于變量的重要性，恩格斯在自然辯證法一書(shū)有關(guān)“數(shù)學(xué)”的論述中已闡述得非常明確：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辨證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分與積分也立刻成為必要的了。”數(shù)學(xué)思想本質(zhì)地辨證地反映了數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律，是近代數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展的重要基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材的練習(xí)中有如下形式：6×3＝

20×5＝

700×800＝60×3＝

20×50＝

70×800＝600×3＝

20×500＝

7×800＝有些老師，讓學(xué)生計(jì)算完畢，答案正確就滿足了。有經(jīng)驗(yàn)的老師卻這樣來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)：先計(jì)算，后核對(duì)答案，接著讓學(xué)生觀察所填答案有什么特點(diǎn)（找規(guī)律），答案的變化是怎樣引起的？然后再出現(xiàn)下面兩組題：45×9＝

1800÷200＝15×9＝

1800÷20＝5×9＝

1800÷2＝通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生體會(huì)“當(dāng)一個(gè)數(shù)變化，另一個(gè)數(shù)不變時(shí)，得數(shù)變化是有規(guī)律的”，結(jié)論可由學(xué)生用自己的話講出來(lái)，只求體會(huì)，不求死記硬背。研究和分析具體問(wèn)題中變量之間關(guān)系一般用解析式的形式來(lái)表示，這時(shí)可以把解析式理解成方程，通過(guò)對(duì)方程的研究去分析函數(shù)問(wèn)題。中學(xué)階段這方面的內(nèi)容較多，有正反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪指對(duì)函數(shù)，三角函數(shù)等等，小學(xué)雖不多，但也有，如在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中十分常見(jiàn)，一個(gè)具體的數(shù)量對(duì)應(yīng)于一個(gè)抽象的分率，找出數(shù)量和分率的對(duì)應(yīng)恰是解題之關(guān)鍵；在應(yīng)用題中也常見(jiàn)，如行程問(wèn)題，客車的速度與所行時(shí)間對(duì)應(yīng)于客車所行的路程，而貨車的速度與所行時(shí)間對(duì)應(yīng)于貨車所行的路程；再如一元方程x＋a＝b等等。學(xué)好這些函數(shù)是繼續(xù)深造所必需的；構(gòu)造函數(shù)，需要思維的飛躍；利用函數(shù)思想，不但能達(dá)到解題的要求，而且思路也較清晰，解法巧妙，引人入勝。五、建模思想目前，由世界著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出的“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育”觀點(diǎn)得到國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的普遍認(rèn)同，也為廣大數(shù)學(xué)教師所接受。這一思想表明，一則學(xué)校數(shù)學(xué)具有現(xiàn)實(shí)的性質(zhì)，數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，再運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中去；二則學(xué)生應(yīng)該用現(xiàn)實(shí)的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，即學(xué)生通過(guò)熟悉的現(xiàn)實(shí)生活，自己逐步發(fā)現(xiàn)和得出的數(shù)學(xué)結(jié)論。這就意味著數(shù)學(xué)課程的應(yīng)用性和實(shí)踐性成為國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)基本趨勢(shì)。例如美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)1989數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和2000年標(biāo)準(zhǔn)的基本特點(diǎn)之一都是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用；荷蘭從60年代起就開(kāi)始了現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的改革歷程，到90年代初，幾乎所有的荷蘭中小學(xué)生都已經(jīng)在使用根據(jù)現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育思想編寫(xiě)的數(shù)學(xué)課本，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力；日本的數(shù)學(xué)課程設(shè)置了綜合課題學(xué)習(xí)，同樣也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)綜合應(yīng)用的關(guān)注。這一系列實(shí)際上強(qiáng)調(diào)的是一種數(shù)學(xué)建模思想。所謂數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定研究對(duì)象，為了某個(gè)目的，在作了一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)之后運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。而數(shù)學(xué)建模思想就是把現(xiàn)實(shí)世界中有待解決或未解決的問(wèn)題，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、理解問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問(wèn)題中去，并綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能求得解決的一種數(shù)學(xué)思想和方法。數(shù)學(xué)中的各種基本概念都以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)模型作背景。如自然數(shù)集是用以描述離散數(shù)量的模型；各類幾何圖形也都是從現(xiàn)實(shí)中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型。那些基本的數(shù)學(xué)模型使我們能對(duì)與之聯(lián)系的實(shí)際問(wèn)題，舉一反三，觸類旁通。例如在平面圖形面積一章復(fù)習(xí)中，設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)綜合學(xué)習(xí)課題：自主運(yùn)用已學(xué)圖形為自己的房間進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設(shè)計(jì)。學(xué)生能順利解決問(wèn)題，關(guān)鍵在于理清各種平面圖形之間的知識(shí)聯(lián)系，在教學(xué)中，可以建立一個(gè)平面求積的模型S＝ab，從長(zhǎng)方形求積公式出發(fā)推導(dǎo)出正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形的求積公式，溝通了各平面圖形的內(nèi)在聯(lián)系；同時(shí)又隨著相關(guān)邊長(zhǎng)的變化，展示出這些平面圖形可以相互轉(zhuǎn)化。學(xué)生學(xué)會(huì)了建模，有頓悟之感。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步讓學(xué)生通過(guò)探索平面圖形的鑲嵌，知道三角形、四邊形或者正六邊形可以鑲嵌平面，然后自行設(shè)計(jì)房間鑲嵌方案。在這整個(gè)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷“問(wèn)題情境──建立模型──分類求解──解釋與應(yīng)用”的基本過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、親身實(shí)踐、獨(dú)立思考、合作探究，實(shí)現(xiàn)了學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，改變了單一的記憶、接受、模仿的被動(dòng)學(xué)習(xí)方式，發(fā)展了學(xué)生搜集和處理信息的能力，以及交流與合作的能力。當(dāng)然，在數(shù)學(xué)教育中,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的滲透不只是單存的思維活動(dòng),它本身就蘊(yùn)涵了情感素養(yǎng)的熏染。而這一點(diǎn)在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育中往往被忽視了。我們?cè)趶?qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)知識(shí)和技能的過(guò)程和方法的同時(shí)，更加應(yīng)該關(guān)注的是伴隨這一過(guò)程而產(chǎn)生的積極情感體驗(yàn)和正確的價(jià)值觀。《標(biāo)準(zhǔn)》把“情感與態(tài)度”作為四大目標(biāo)領(lǐng)域之一，與“知識(shí)技能”、“數(shù)學(xué)思考”、“解決問(wèn)題”三大領(lǐng)域相提并論，這充分說(shuō)明新一輪的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)改革對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的情感與態(tài)度的高度重視。它應(yīng)該包括能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心與求知欲。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系及對(duì)人類歷史發(fā)展的作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣。另一方面引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)探究與創(chuàng)造精神，形成正確的人格意識(shí)。現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵極為豐富，諸如還有集合思想、極限思想、優(yōu)化思想、統(tǒng)計(jì)思想、猜想與證明等等，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中都有所涉及。我們廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師要做教學(xué)有心人，有意滲透，有意點(diǎn)撥，重視數(shù)學(xué)史的滲透，重視課堂教學(xué)小結(jié)，要以適應(yīng)小學(xué)生年齡特點(diǎn)的大眾化、生活化方式呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生通過(guò)現(xiàn)實(shí)活動(dòng)，主動(dòng)參與、自主探究，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維方法提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到切實(shí)、有效地發(fā)展，進(jìn)而提高全民族的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

優(yōu)化合作學(xué)習(xí)提高合作效能合作，作為新時(shí)代人應(yīng)該具備的一種素質(zhì)，正在被越來(lái)越多的教育專家和學(xué)者所接受，并進(jìn)行重點(diǎn)的研究。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐，自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。”課程標(biāo)準(zhǔn)把“自主探索、合作交流”提到一個(gè)前所未有的高度，這充分肯定了合作學(xué)習(xí)能從許多方面促進(jìn)學(xué)生更加生動(dòng)、活潑地學(xué)習(xí)。它是在教師指導(dǎo)下，學(xué)生群體研討、協(xié)作交流的一種學(xué)習(xí)方式，它能有效地改善學(xué)習(xí)環(huán)境，擴(kuò)大參與面，提高學(xué)生自主探索的能力。通過(guò)合作，有利于學(xué)生用不同的方式探索和思考問(wèn)題，培養(yǎng)其參與意識(shí)和探索能力。因此，隨著課程改革的不斷深入，合作學(xué)習(xí)被越來(lái)越多地引入課堂，小組合作學(xué)習(xí)成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，也成為現(xiàn)代課堂教學(xué)的一道亮麗的風(fēng)景線。但是，我們常常看到，由于小組劃分的隨意性，組織的散亂，設(shè)置的問(wèn)題缺少研究?jī)r(jià)值，學(xué)生參與的欠平衡等，致使小組探究“浮在表層”或偏離正題，造成小組合作活動(dòng)流于形式，看似熱熱鬧鬧，實(shí)為擺架子、走過(guò)場(chǎng)。那么，怎樣才能防止上述現(xiàn)象的發(fā)生，使小組合作學(xué)習(xí)得以優(yōu)化，從而提高合作效能呢？一、組建科學(xué)的合作學(xué)習(xí)小組科學(xué)的構(gòu)建學(xué)習(xí)小組，既是學(xué)生合作的基礎(chǔ)和前提，也是實(shí)現(xiàn)學(xué)生群體合作的基本手段。一個(gè)學(xué)習(xí)小組應(yīng)該是一個(gè)班組或集體的縮影。因此組建合作學(xué)習(xí)小組時(shí)，應(yīng)在尊重學(xué)生自愿的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、興趣愛(ài)好、學(xué)習(xí)能力、心理素質(zhì)、家庭情況、性別等進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，然后搭配成若干組內(nèi)異質(zhì)、組間同質(zhì)的學(xué)習(xí)小組。通常4──6人為妥，保證優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)和每個(gè)人都有充分發(fā)表見(jiàn)解的時(shí)間，以便使小組探究在短時(shí)間內(nèi)取得成效。小組長(zhǎng)可由民主推選出具有較強(qiáng)責(zé)任心、組織管理和表達(dá)能力強(qiáng)的學(xué)生擔(dān)任，以保證合作學(xué)習(xí)的正常開(kāi)展。也可以采取輪換制，讓每個(gè)學(xué)生都有公平鍛煉與施展才能的機(jī)會(huì)，防止思維定勢(shì)與惰性的產(chǎn)生，增強(qiáng)小組活力，提高合作學(xué)習(xí)的效益。二、構(gòu)建合適的合作學(xué)習(xí)環(huán)境1.安全的心理環(huán)境。美國(guó)心理學(xué)家馬斯洛認(rèn)為：人的生存需要和安全需要得到基本滿足后，愛(ài)的需要和受尊重的需要就會(huì)突出來(lái)，成為主要的需要。小學(xué)生都是得到了生存需要和安全需要的人，只有對(duì)他們熱愛(ài)尊重、理解和信任，才能激發(fā)他們的上進(jìn)心，發(fā)揮他們的主體作用。因此，教師要尊重每一個(gè)學(xué)生，使每個(gè)學(xué)生都有展示自己的機(jī)會(huì)，都能享受成功的喜悅。教師在課堂上把鼓勵(lì)送給他們，讓每一個(gè)學(xué)生都能發(fā)表自己的見(jiàn)解，即使回答錯(cuò)了，也沒(méi)有人會(huì)嘲笑；在課外，教師要主動(dòng)和學(xué)生交流內(nèi)心的想法，拉近距離，培養(yǎng)良好的師生感情。學(xué)生只有在這種氛圍中，才能毫無(wú)戒備地和老師、同學(xué)進(jìn)行交流，這樣，學(xué)生的思維就會(huì)更加活躍了，探索熱情就會(huì)更高漲，合作的欲望就會(huì)更強(qiáng)，課堂就會(huì)更加生機(jī)勃勃。2.充裕的時(shí)空環(huán)境。這里的時(shí)空環(huán)境一方面是指在小組合作時(shí)教師要給足學(xué)生討論、交流的時(shí)空，讓各種不同程度學(xué)生的智慧都得到盡情的發(fā)揮。另一方面，往往是教師最容易忽略的，是小組合作之前學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)空，只有學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考，對(duì)所要研究的問(wèn)題形成了初步的認(rèn)識(shí)，才會(huì)有交流的需要和能力，才能進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)。因此教師在布置合作學(xué)習(xí)時(shí)，要提醒學(xué)生：先獨(dú)立思考，再把自己的想法與同組的同學(xué)說(shuō)一說(shuō)，這樣才能提高合作學(xué)習(xí)的成效。比如：在認(rèn)識(shí)圓柱時(shí)，要讓學(xué)生先獨(dú)立的看一看、摸一摸、滾一滾圓柱，然后再向組內(nèi)的同學(xué)交流自己是怎么摸的，怎么滾的，自己有什么發(fā)現(xiàn)，再聽(tīng)聽(tīng)同伴的做法和意見(jiàn)，與自己的又有什么不同。這樣，學(xué)生在充分感知和獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，他們的合作將不再盲目，這樣的合作學(xué)習(xí)才是有價(jià)值的，有成效的。3.熱情的幫助環(huán)境。全班十多個(gè)小組中，免不了有些因組長(zhǎng)的組織能力偏低，或因小組整體實(shí)力偏差等原因而無(wú)法順利地展開(kāi)合作，教師應(yīng)因組而異，為學(xué)生提供必要的啟發(fā)式幫助。教師要以一個(gè)普通合作者的身份，自然地參與到有困難的小組中去，讓學(xué)生覺(jué)察不出因本組水平低而需要教師的幫助。考慮到學(xué)生能力之間存在的差異，教師可以設(shè)計(jì)一些具有幫助性的提示，在那部分學(xué)生遇到困難時(shí)，能得到一定的啟示，而不至于讓他們束手無(wú)策，從而降低學(xué)習(xí)效率。如“分類”這節(jié)課中，在實(shí)際應(yīng)用階段可以讓各小組整理一個(gè)學(xué)生的書(shū)包并進(jìn)行合理的分類，看看有哪些不同的分法。由于書(shū)包里裝的大部分是書(shū)籍類，要對(duì)同樣的書(shū)籍類進(jìn)行再分，就有一定的難度，這時(shí)教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)提示信封：（1）按書(shū)本的大小分。（2）按不同科目分。（3）按書(shū)本的厚薄分。告訴學(xué)生盡量依靠小組的力量完成，當(dāng)有困難的時(shí)候可以打開(kāi)提示信封。這樣能增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)信心，讓他們共同參與到學(xué)習(xí)中來(lái)。4.真誠(chéng)的激勵(lì)環(huán)境。適時(shí)適當(dāng)?shù)募?lì)，可以起到事半功倍的效果。首先教師要有意識(shí)地給他們多創(chuàng)造一些表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，以激發(fā)他們奮發(fā)向上的熱情，為學(xué)生的成功學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件。其次教學(xué)中教師應(yīng)掌握并運(yùn)用好激勵(lì)這一課堂杠桿，營(yíng)造一種可以充分發(fā)揮學(xué)生個(gè)性、各抒已見(jiàn)、相互交流甚至各執(zhí)已見(jiàn)的合作學(xué)習(xí)氛圍，一句真誠(chéng)的表?yè)P(yáng)、一個(gè)贊許的目光……都能使每個(gè)學(xué)生真切地體驗(yàn)到合作學(xué)習(xí)的成功與快樂(lè)，從而產(chǎn)生進(jìn)一步合作的欲望。三、培養(yǎng)良好的合作學(xué)習(xí)習(xí)慣1.讓學(xué)生學(xué)會(huì)大膽表達(dá)。語(yǔ)言表達(dá)是人與人交往和互動(dòng)的基礎(chǔ)，也是個(gè)人實(shí)際能力的重要指標(biāo)。合作學(xué)習(xí)需要每個(gè)成員清楚地表達(dá)自己的想法，互相了解對(duì)方的觀點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上才能合作探究問(wèn)題。因此，在合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，勇于發(fā)表自己的見(jiàn)解，把自己的探索、發(fā)現(xiàn)過(guò)程用語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，在組內(nèi)交流。這樣，既能發(fā)現(xiàn)不同的思考方法、解題思路，又能對(duì)學(xué)有困難的學(xué)生提供幫助，發(fā)揮團(tuán)隊(duì)合作精神，使學(xué)生在小組合作中敢想、敢做、敢說(shuō)。2.讓學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)真傾聽(tīng)。傾聽(tīng)是合作學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，傾聽(tīng)也是一種學(xué)習(xí)。在開(kāi)始合作時(shí)，同學(xué)之間最大的問(wèn)題是不能容納別人的意見(jiàn)。因此，教師要著力培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真聽(tīng)取別人意見(jiàn)的習(xí)慣。使學(xué)生意識(shí)到傾聽(tīng)別人發(fā)言，是一種文明禮貌的行為，是對(duì)發(fā)言者的尊重，只有認(rèn)真傾聽(tīng)他人的發(fā)言，才能使發(fā)言人感到自己發(fā)言的價(jià)值。相反的，當(dāng)有人發(fā)言而無(wú)人傾聽(tīng)時(shí)，發(fā)言者就會(huì)覺(jué)得自己的發(fā)言無(wú)關(guān)緊要，從而挫傷發(fā)言者的積極性。同時(shí)也要讓學(xué)生意識(shí)到傾聽(tīng)也是一種好的學(xué)習(xí)方法，從別人的發(fā)言中會(huì)得到很多啟發(fā)，從小組其他成員身上收獲更多的知識(shí)、方法。因此教師要逐步培養(yǎng)學(xué)生在課堂上學(xué)會(huì)三聽(tīng)：一是認(rèn)真聽(tīng)每個(gè)同學(xué)的發(fā)言，不插嘴；二要聽(tīng)出別人的發(fā)言要點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生收集信息的能力；三是聽(tīng)后需作思考，提出自己的見(jiàn)解，提高學(xué)生處理信息、反思評(píng)價(jià)的能力。3.讓學(xué)生學(xué)會(huì)積極參與。每次學(xué)生的合作學(xué)習(xí)都由小組推出一名代表發(fā)表本組的意見(jiàn)，對(duì)于這位“代言人”而言，他當(dāng)然能積極參與學(xué)習(xí)的活動(dòng)。而對(duì)其他人來(lái)說(shuō)，是否以積極的態(tài)度參與到合作學(xué)習(xí)中去，就不得而知了。因此，組織小組合作學(xué)習(xí)時(shí)，組內(nèi)成員要有具體的明確分工，合理分工是提高小組合作學(xué)習(xí)效率的重要措施之一。因此，根據(jù)研究?jī)?nèi)容的不同，學(xué)生的特長(zhǎng)、個(gè)性差異，在教師指導(dǎo)下或由小組成員民主協(xié)商自行分工，比如誰(shuí)當(dāng)表述員，誰(shuí)當(dāng)組織員、誰(shuí)當(dāng)記錄員，誰(shuí)當(dāng)檢查員等。在一個(gè)階段里，每人都應(yīng)有相對(duì)側(cè)重的一項(xiàng)責(zé)任，擔(dān)任一個(gè)具體的合作角色，一定時(shí)間以后，角色互換，使每個(gè)成員都能從不同的位置上得到體驗(yàn)、鍛煉和提高。對(duì)于教師，應(yīng)熱切關(guān)注整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)誰(shuí)已經(jīng)發(fā)言了，誰(shuí)還沒(méi)有發(fā)言要心中有數(shù)。把一些簡(jiǎn)單易懂的問(wèn)題讓基礎(chǔ)知識(shí)差、思維能力弱、不善言談的學(xué)生回答，充分發(fā)揮每個(gè)小組成員的作用與優(yōu)勢(shì)，使他們也有參與表現(xiàn)自我和獲得成功的機(jī)會(huì)，提高學(xué)生的參與度，增強(qiáng)學(xué)生的責(zé)任感，從而使每位學(xué)生都能學(xué)會(huì)合作，以保證合作學(xué)習(xí)取得最佳成效。四、抓住恰當(dāng)?shù)暮献鲗W(xué)習(xí)時(shí)機(jī)1.個(gè)人操作無(wú)法完成時(shí)。數(shù)學(xué)有些操作內(nèi)容依靠學(xué)生個(gè)人是無(wú)法獨(dú)立完成或無(wú)法很好地完成的。比如：在認(rèn)識(shí)“米和厘米”時(shí)，在運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，讓學(xué)生用卷尺或米尺去量身邊物體的長(zhǎng)度，如黑板的長(zhǎng)，教室的寬，課桌的高等等，就必須有兩人或兩人以上的合作才可能較好地完成；又如，在學(xué)習(xí)“可能性”時(shí)，可安排同桌為一個(gè)小組，一人摸球一個(gè)猜的形式，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)可能性的認(rèn)識(shí)；再如，在學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)時(shí)，教師調(diào)查班上部分學(xué)生愛(ài)吃水果的情況，要進(jìn)行歸納與統(tǒng)計(jì)時(shí)，也需要小組的力量才能又快又好地完成。小組合作學(xué)習(xí)中的操作活動(dòng)，既能體現(xiàn)集體的智慧，又能激發(fā)學(xué)生的合作熱情。因此，教師應(yīng)多設(shè)計(jì)這樣的活動(dòng)，以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)，提高合作效率。2.獨(dú)立思考出現(xiàn)困難時(shí)。在課堂教學(xué)中，教師往往會(huì)提出一些具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，而有些問(wèn)題依靠學(xué)生的獨(dú)立思考是沒(méi)辦法解決的，這時(shí)就可采用小組合作學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生之間展開(kāi)討論，教師適當(dāng)指導(dǎo)，使學(xué)生親身經(jīng)歷問(wèn)題的解決過(guò)程，更能有效的促進(jìn)學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的真正理解。比如：如在教學(xué)十幾減9的退位減法時(shí)，教師出示課件，一個(gè)小猴子在賣桃，盒里放了十個(gè)，盒外有3個(gè)，小猴子說(shuō)：一共有13個(gè)桃子，小兔說(shuō)：我買9個(gè)，白菜老師問(wèn)：還剩幾個(gè)？小猴子抓耳撓腮想不出來(lái)，老師說(shuō)：同學(xué)們能幫幫小猴子嗎？學(xué)生興致高漲，紛紛動(dòng)腦筋，想辦法。獨(dú)立思考了幾分鐘后，有的同學(xué)眉頭緊鎖，面露難色。本課是學(xué)生第一次接觸退位減法，大部分的學(xué)生都感覺(jué)有一定的困難，這時(shí)教師趁勢(shì)說(shuō)：小組的同學(xué)可以合作，大家一起出主意，想辦法。同學(xué)們一聽(tīng)，立刻又活躍起來(lái)，你一言我一語(yǔ)的交流著各自的看法，通過(guò)集體的智慧得到了許多的解決辦法，讓學(xué)生再一次感覺(jué)合作的力量。3.意見(jiàn)不一需要爭(zhēng)論時(shí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)意見(jiàn)不統(tǒng)一的時(shí)候，這時(shí)教師不要急于下定論，而應(yīng)該組織學(xué)生以小組的形式進(jìn)行充分的討論，然后讓意見(jiàn)不一的雙方發(fā)表自己的見(jiàn)解，允許與對(duì)方爭(zhēng)辯，在辯論中明晰正誤。比如：在《對(duì)稱》這一節(jié)課里，“做一做”里有一題，讓學(xué)生判斷哪些圖形是對(duì)稱的，如圖：當(dāng)出現(xiàn)這個(gè)圖形時(shí)，學(xué)生有的說(shuō)是對(duì)稱圖形，有的說(shuō)不是，大家各持已見(jiàn)，互不相讓。這時(shí)老師就組織學(xué)生討論，并讓學(xué)生說(shuō)出自己的理由。有的同學(xué)說(shuō)：老師，這房子對(duì)折后它的左右兩邊不會(huì)重合，因?yàn)樗贿厸](méi)有窗戶，所以它不是對(duì)稱圖形。有的同學(xué)說(shuō)：老師，如果我們不要看窗戶，對(duì)折后房子的外框會(huì)重合。瞧，多么獨(dú)特的見(jiàn)解，如果老師一味的否定，哪里有這么精彩的發(fā)言，哪里有這么有創(chuàng)意的想法，學(xué)生已經(jīng)能靈活的運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題了，這是多么值得慶幸呀！五、增加有效的合作學(xué)習(xí)途徑1.融入競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制。有競(jìng)爭(zhēng)才有提高，針對(duì)小學(xué)生好勝的心理特點(diǎn)，在合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中不失時(shí)機(jī)地引入競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制，對(duì)合作學(xué)習(xí)的效果能起到糾正、提高、深化的作用，使合作學(xué)習(xí)更具實(shí)效、高效。教師可以在日常的教學(xué)中有意識(shí)地強(qiáng)化“學(xué)習(xí)小組”的集體榮譽(yù)感，比如可以經(jīng)常地評(píng)比“最佳小組”，采用單課評(píng)比與積分相結(jié)合的競(jìng)爭(zhēng)方法，或者以每課各組輪流推出“小組發(fā)言人”、“小組主講人”的形式，在諸如此類的激勵(lì)中，基礎(chǔ)好的學(xué)生就會(huì)感到僅僅提高自己的成績(jī)是不夠的，還必須盡力幫助組內(nèi)的其他成員；而基礎(chǔ)較差的學(xué)生則認(rèn)識(shí)到小組的成功取決于每個(gè)成員的努力，認(rèn)識(shí)到自己對(duì)于小組所承擔(dān)的責(zé)任，壓力能夠變成動(dòng)力，使小組內(nèi)出現(xiàn)互動(dòng)，互助、互勉、互助的局面。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間持之以恒的訓(xùn)練，學(xué)生的學(xué)習(xí)目光必然會(huì)投身整體、投向長(zhǎng)遠(yuǎn)，而不僅僅局限于自身、局限于眼前，有利于強(qiáng)化學(xué)生的合作意識(shí)，全面提升學(xué)生的整體素質(zhì)。2.重視展示交流。展示交流是合作學(xué)習(xí)的主要環(huán)節(jié)，是形成正確認(rèn)知、發(fā)展創(chuàng)新思維能力的關(guān)鍵所在。因此在各小組各自合作的基礎(chǔ)上，教師要給足學(xué)生的發(fā)言、補(bǔ)充、更正甚至于辯論的時(shí)空，讓各小組充分展示成果，闡述觀點(diǎn)，通過(guò)充分交流、相互開(kāi)拓、辨析和質(zhì)疑答辯，進(jìn)一步內(nèi)化知識(shí)，加深對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，最終達(dá)成共識(shí)，歸納概括合理的結(jié)論或得出解決問(wèn)題的最佳策略。3.及時(shí)反饋評(píng)價(jià)。恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)起著導(dǎo)向與促進(jìn)作用。因此，教師要不失時(shí)機(jī)的對(duì)學(xué)生合作的情感、態(tài)度、表現(xiàn)等及時(shí)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)男纬尚栽u(píng)價(jià)，并且組織小組間的相互評(píng)價(jià)和學(xué)生的自我反思，以此肯定成績(jī)、找出不足、指明方向、指導(dǎo)行動(dòng)。教師要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維成果的合理部分，不苛意求全，保護(hù)學(xué)生的積極性，促進(jìn)學(xué)生合作水平的不斷發(fā)展和提高。總之，合作學(xué)習(xí)并不僅僅意味著安排小組坐在一起共同完成一個(gè)任務(wù)，它需要教師對(duì)小組活動(dòng)過(guò)程的各個(gè)方面，尤其結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)給予認(rèn)真的思考和關(guān)注。小組合作學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和動(dòng)手能力的重要學(xué)習(xí)形式，也是促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)交往的重要形式，需要我們不斷的探索研究，使這種學(xué)習(xí)形式更合理、更有效。

發(fā)揮計(jì)算機(jī)的潛力推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)我們生活的各個(gè)方面都產(chǎn)生了巨大的沖擊，我們很難想象一個(gè)組織機(jī)構(gòu)在運(yùn)做中不使用計(jì)算機(jī)。在百貨商店，帶條形碼掃描儀的計(jì)算機(jī)可以讓我們更快地結(jié)帳；當(dāng)我們?nèi)タ醋闱虮荣悤r(shí)，我們能夠看到計(jì)算機(jī)控制的記分牌；汽車引擎系統(tǒng)和儀器面板都是由計(jì)算機(jī)控制的；有很多人已經(jīng)開(kāi)始使用個(gè)人計(jì)算機(jī)來(lái)管理家庭的日常收支、管理名片、打印信封、給朋友發(fā)送電子郵件、甚至上網(wǎng)玩拱豬游戲。

在學(xué)校，計(jì)算機(jī)的普及率也在逐步提高。在美國(guó)，1994年底已經(jīng)使用1810萬(wàn)臺(tái)教育計(jì)算機(jī)，其中620萬(wàn)臺(tái)直接進(jìn)入了中小學(xué)，98%的中小學(xué)已經(jīng)在不同程度上使用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，全美小學(xué)、初中、高中在校人數(shù)與計(jì)算機(jī)的比率分別為15∶1、14∶1、10∶1。在我國(guó)，中小學(xué)計(jì)算機(jī)的普及率也在逐步提高，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，截止1996年，在我國(guó)近80萬(wàn)所中小學(xué)中，已有3~4萬(wàn)所配置了不同檔次的計(jì)算機(jī)40萬(wàn)臺(tái)，許多學(xué)校還配備了網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)教室。但實(shí)際上真正在課堂上使用計(jì)算機(jī)的教師卻很少，計(jì)算機(jī)教室成了打字室。這種情況在發(fā)達(dá)國(guó)家也是如此。比如日本高中計(jì)算機(jī)普及率達(dá)99.7%，但教師愿意在課堂上使用的也僅占18.7%。造成這種情況有許多原因，如有的教師對(duì)CAI持懷疑態(tài)度，或由于對(duì)新技術(shù)的陌生而不愿意嘗試，還有教學(xué)軟件的缺乏，現(xiàn)有的教學(xué)軟件質(zhì)量不高等。在21世紀(jì)，計(jì)算機(jī)必然在數(shù)學(xué)教育中發(fā)揮重要作用，因此，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分地發(fā)揮計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)，已成為數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化和數(shù)學(xué)教改的現(xiàn)實(shí)課題了。本文將根據(jù)計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)及它與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的關(guān)系談?wù)劰P者對(duì)在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用計(jì)算機(jī)的幾點(diǎn)看法。一、數(shù)學(xué)教學(xué)中如何更好地應(yīng)用計(jì)算機(jī)目前，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和教學(xué)軟件數(shù)量的增加，數(shù)學(xué)CAI也在逐步開(kāi)展，許多地區(qū)、學(xué)校都在進(jìn)行CAI實(shí)驗(yàn)。但是，根據(jù)目前學(xué)校、學(xué)生擁有計(jì)算機(jī)的狀況以及教師對(duì)于計(jì)算機(jī)的熟悉程度，目前的應(yīng)用還只是初步的，利用CAI的數(shù)學(xué)課還是比較少，大多也只是講一講公開(kāi)課，而缺乏大范圍的、系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)CAI課中，教師該如何組織課堂教學(xué)，如何發(fā)揮主導(dǎo)作用，學(xué)生在CAI課堂上的認(rèn)知過(guò)程如何等等，都只有通過(guò)實(shí)驗(yàn)才能回答。另外，通過(guò)實(shí)驗(yàn)，尋找數(shù)學(xué)CAI的切入點(diǎn)，也是發(fā)展數(shù)學(xué)CAI所必須的。因此，在今后的數(shù)學(xué)課中，有條件的地方應(yīng)盡可能多地使用計(jì)算機(jī)，解決傳統(tǒng)教學(xué)做不好的事情，這應(yīng)作為教學(xué)改革的重要內(nèi)容。下面根據(jù)不同的計(jì)算機(jī)軟件的特點(diǎn)，談?wù)動(dòng)?jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。1．用計(jì)算機(jī)進(jìn)行課堂演示在這種模式下，計(jì)算機(jī)作為指導(dǎo)者，是將傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中教師通過(guò)黑板、投影片、教具模型等媒體展示的各種信息，由計(jì)算機(jī)加工成文字、圖形、影象等資料，并進(jìn)行一些必要的處理（如動(dòng)畫(huà)），將這些資料組織起來(lái)。課堂教學(xué)時(shí)，可以將計(jì)算機(jī)與大屏幕投影電視連接起來(lái)，也可以在網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)教室中進(jìn)行。利用這種模式進(jìn)行課堂教學(xué)，在較短的時(shí)間內(nèi)，計(jì)算機(jī)使學(xué)生多種感官并用，提高對(duì)信息的吸收率，加深對(duì)知識(shí)的理解，因而可以做到更高密度的知識(shí)傳授，大大提高課堂利用率。例如，對(duì)于三角形“三線合一”的教學(xué)，傳統(tǒng)教學(xué)因較難展現(xiàn)其發(fā)現(xiàn)過(guò)程，從而造成學(xué)生對(duì)其不好理解。利用計(jì)算機(jī)，可以在屏幕上作出斜三角形ABC及其角A的平分線、BC邊的垂直平分線和中線，之后用鼠標(biāo)在屏幕上隨意拖動(dòng)點(diǎn)A，利用軟件功能，此時(shí)三角形ABC和“三線”在保持依存關(guān)系的前提下隨之發(fā)生變化。在移動(dòng)的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)直觀地發(fā)現(xiàn)存在這樣的點(diǎn)A，使得角平分線、垂直平分線和中線三線重合。再如，對(duì)于圓周率的概念的教學(xué)，利用CAI，可以對(duì)圓周進(jìn)行展開(kāi)，同時(shí)跟蹤測(cè)量圓周長(zhǎng)和圓半徑，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓周長(zhǎng)與圓半徑的比是一個(gè)定值。由于實(shí)驗(yàn)中圓可以隨意變化，學(xué)生很容易接受π的存在。利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行課堂演示，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的動(dòng)畫(huà)、插圖和音頻等，可以使抽象深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)以簡(jiǎn)單明了、直觀的形式出現(xiàn)，縮短了客觀事物與學(xué)生之間的距離，更好地幫助學(xué)生思考知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。計(jì)算機(jī)的動(dòng)態(tài)變化可以將形與數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，把運(yùn)動(dòng)和變化展現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生由形象的認(rèn)識(shí)提高為抽象的概括，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣會(huì)起到很好的效果。同時(shí)，在這里也應(yīng)注意，計(jì)算機(jī)的演示只能是幫助學(xué)生思考，而不能代替學(xué)生的思考，教師應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)?shù)慕o予提示，結(jié)合計(jì)算機(jī)的演示幫助學(xué)生完成思考過(guò)程，形成對(duì)概念的理解。2．利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)在信息技術(shù)環(huán)境發(fā)展的背景下，我們傳統(tǒng)的教育思想也應(yīng)當(dāng)發(fā)生轉(zhuǎn)變。發(fā)展以學(xué)生為中心進(jìn)行合作學(xué)習(xí)的思想，發(fā)展以問(wèn)題共同解決為中心的思想，發(fā)展以培養(yǎng)能力為中心，強(qiáng)調(diào)終身學(xué)習(xí)的思想。問(wèn)題是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，所以對(duì)解題的教學(xué)歷來(lái)受到教師的重視，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育更是強(qiáng)調(diào)要進(jìn)行“問(wèn)題解決”，在解決問(wèn)題過(guò)程中鍛煉思維、提高應(yīng)用能力。而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育由于多方面的限制，片面強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)演繹推理的一面，忽視了數(shù)學(xué)作為經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的一面。現(xiàn)在，計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的處理能力為數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)提供了可能，它的動(dòng)態(tài)情境可以為學(xué)生“做”數(shù)學(xué)提供必要的工具與手段，使學(xué)生可以自主地在“問(wèn)題空間”里進(jìn)行探索，來(lái)做“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”。教師可以將更多的探索、分析、思考的任務(wù)交給學(xué)生去完成。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，可考慮把學(xué)生分成2~3個(gè)人一個(gè)小組，每組共用一臺(tái)計(jì)算機(jī)。教師提供問(wèn)題，學(xué)生利用計(jì)算機(jī)提供的環(huán)境，積極思考、討論，動(dòng)手演算，解答這個(gè)問(wèn)題。教師要深入每一個(gè)小組中參加討論，觀察其進(jìn)程，了解遇到的問(wèn)題并及時(shí)解答，對(duì)有共性的問(wèn)題組織全班討論或講解，努力在全班創(chuàng)設(shè)一種研究探索的學(xué)術(shù)氣氛。例如，幾何畫(huà)板提供了一個(gè)十分理想的讓學(xué)生積極的探索問(wèn)題的“做數(shù)學(xué)”的環(huán)境，學(xué)生完全可以利用它來(lái)做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，這樣就能在問(wèn)題解決過(guò)程中理解和掌握抽象的數(shù)學(xué)概念，使得學(xué)生獲得真正的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而不僅僅是一些抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論。目前，在這方面已經(jīng)有了一些有益的嘗試。如’98全國(guó)計(jì)算機(jī)輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課例展評(píng)、交流、研討活動(dòng)中，北京師大附中的一個(gè)課例“求圓內(nèi)接三角形面積的最大值”，就是在電腦網(wǎng)絡(luò)教室里，讓學(xué)生利用幾何畫(huà)板，自己在動(dòng)態(tài)變化中觀察靜態(tài)圖形的變化規(guī)律，對(duì)圖形進(jìn)行定量的研究，通過(guò)交流、討論，最終得到問(wèn)題的解答，其中有一個(gè)解法是教師在備課時(shí)也未想到的。1995年夏季學(xué)期，兩個(gè)美國(guó)初中二年級(jí)學(xué)生DavidGoldeheim和DanLitchfiled應(yīng)用幾何畫(huà)板發(fā)現(xiàn)了又一種任意等分線段的方法；東北育才學(xué)校一名學(xué)生發(fā)現(xiàn)了廣義蝴蝶定理。拋開(kāi)這些問(wèn)題自身的意義不說(shuō)，他們處理問(wèn)題的過(guò)程（猜測(cè)，驗(yàn)證，論證），對(duì)我們的數(shù)學(xué)教學(xué)也是一種啟示。在這種小組合作學(xué)習(xí)的模式下，教師在教室里的角色更象學(xué)生的輔導(dǎo)者或幫助者。他們?cè)O(shè)置環(huán)境，幫助學(xué)生提出問(wèn)題并進(jìn)行探索，刺激學(xué)生解答問(wèn)題，并為學(xué)生提供他們需要使用的工具與資源，以便學(xué)生能夠建構(gòu)知識(shí)。教師不可能——也不應(yīng)該期望——完全掌握與某個(gè)主題有關(guān)的內(nèi)容，他們需要知道的是如何引導(dǎo)學(xué)生，如何問(wèn)學(xué)生一些探試性的問(wèn)題，如何使學(xué)生與有關(guān)的資源聯(lián)系起來(lái)，如何提供給他們存儲(chǔ)、操縱與分析信息的工具。3．利用計(jì)算機(jī)復(fù)習(xí)、作業(yè)在課后，可以利用一些輔導(dǎo)軟件來(lái)鞏固和熟練某些已經(jīng)學(xué)會(huì)的知識(shí)和技能。提高學(xué)生完成任務(wù)的速度和準(zhǔn)確性。輔導(dǎo)軟件把計(jì)算機(jī)變成了教師。這種課件不僅提供文字、圖形、動(dòng)畫(huà)視頻圖象，還有語(yǔ)音解說(shuō)和效果音響，文、圖并茂，具有很好的視聽(tīng)效果。教學(xué)內(nèi)容的組織多按章節(jié)劃分知識(shí)點(diǎn)模塊，學(xué)習(xí)者可以根據(jù)需要自取進(jìn)度，個(gè)別系統(tǒng)逐步深入地學(xué)習(xí)，復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容。這種課件能夠補(bǔ)充課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容和加強(qiáng)概念的學(xué)習(xí)。交互性、及時(shí)反饋和足夠耐心的優(yōu)點(diǎn)使