2/2高頻考點：實數運算一、平方根、算術平方根、立方根【高頻考點精講】1．平方根（1）定義：如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根．（2）求一個數a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數a的正的平方根表示為“”，負的平方根表示為“﹣”．2．算術平方根（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數x叫做a的算術平方根．記為．（2）非負數a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數a是非負數；②算術平方根a本身是非負數．（3）求一個非負數的算術平方根與求一個數的平方互為逆運算，在求一個非負數的算術平方根時，可以借助乘方運算來尋找．3．立方根（1）定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根。這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．（2）正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數．即任意數都有立方根。（3）求一個數a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數。注意：符號a3中的根指數“3”不能省略；對于立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負數都有唯一一個立方根。4．平方根和立方根的性質（1）平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。（2）立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0。【熱點題型精練】1．（2021?廣安中考）16的平方根是（）A．4 B．±4 C．8 D．±8解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．答案：B．2．（2021?南充中考）如果x2＝4，則x＝±2．解：x2＝4，開平方得x＝±2；答案：±2．3．（2021?濟南中考）9的算術平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．解：∵32＝9，∴9的算術平方根是3．答案：A．4．（2021?上海中考）已知＝3，則x＝5．解：∵＝3，∴x+4＝9∴x＝5．答案：5．5．（2021?達州中考）已知a，b滿足等式a2+6a+9+＝0，則a2021b2020＝﹣3．解：∵a2+6a+9+＝0，∴（a+3）2+＝0，∴a+3＝0，b﹣＝0，解得：a＝﹣3，b＝，則a2021b2020＝（﹣3）2021?（）2020＝﹣3×（﹣3×）2020＝﹣3．答案：﹣3．6．（2021?河池中考）計算：＝﹣2．解：＝﹣2．答案：﹣2．7．（2021?益陽中考）若實數a的立方等于27，則a＝3．解：∵a3＝27，∴a＝＝3，答案：3．二、無理數定義及估算【高頻考點精講】1．無理數定義（1）定義：無限不循環小數叫做無理數．說明：無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數，即無限不循環小數．如圓周率、2的平方根等．（2）無理數與有理數的區別：①把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數和無限循環小數，比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數只能寫成無限不循環小數，比如2＝1.414213562．②所有的有理數都可以寫成兩個整數之比；而無理數不能．（3）常見三種類型①開不盡的方根，如等．②特定結構的無限不循環小數，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．③含有π的絕大部分數，如2π．注意：判斷一個數是否為無理數，不能只看形式，要看化簡結果．如是有理數，而不是無理數．2．估算無理數的大小估算無理數大小要用逼近法，即用有理數逼近無理數，求無理數的近似值．【熱點題型精練】8．（2021?湖北中考）下列實數中是無理數的是（）A．3.14 B． C． D．解：A.3.14是分數，屬于有理數，故本選項不合題意；B.＝3是整數，故本選項不合題意；C.是無理數，故本選項符合題意；D.是分數，屬于有理數，故本選項不合題意；答案：C．9．（2021?永州中考）在0，，﹣0.101001，π，中無理數的個數是1個．解：0，，是整數，屬于有理數；是分數，屬于有理數；﹣0.101001是有限小數，屬于有理數；無理數有π，共1個．答案：1．10．（2021?廣東中考）設6﹣的整數部分為a，小數部分為b，則（2a+）b的值是（）A．6 B．2 C．12 D．9解：∵3＜＜4，∴2＜6﹣＜3，∵6﹣的整數部分為a，小數部分為b，∴a＝2，b＝6﹣﹣2＝4﹣，∴（2a+）b＝（2×2+）×（4﹣）＝（4+）×（4﹣）＝6，答案：A．11．（2021?北京中考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數且n＜＜n+1，則n的值為（）A．43 B．44 C．45 D．46解：∵1936＜2021＜2025，∴44＜＜45，∴n＝44，答案：B．12．（2021?百色中考）實數的整數部分是10．解：∵＜＜，∴10＜＜11，∴的整數部分為10，答案：10．13．（2021?安徽中考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其底面是正方形，側面是全等的等腰三角形．底面正方形的邊長與側面等腰三角形底邊上的高的比值是﹣1，它介于整數n和n+1之間，則n的值是1．解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，又n＜﹣1＜n+1，∴n＝1．答案：1．三、實數的運算【高頻考點精講】1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．【熱點題型精練】14．（2021?株洲中考）計算：＝（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣ D．2解：﹣4×＝﹣4×＝﹣2．答案：A．15．（2021?河北中考）若取1.442，計算﹣3﹣98的結果是（）A．﹣100 B．﹣144.2 C．144.2 D．﹣0.01442解：∵取1.442，∴原式＝×（1﹣3﹣98）≈1.442×（﹣100）＝﹣144.2．答案：B．16．（2021?濱州中考）計算：+﹣|π0﹣|﹣（）﹣1＝3．解：+﹣|π0﹣|﹣（）﹣1＝4+2﹣|1﹣|﹣3＝4+2﹣（﹣1）﹣3＝4+2﹣+1﹣3＝3，答案：3．17．（2020?邵陽中考）在如下方格中，若要使橫、豎、斜對角的3個實數相乘都得到同樣的結果，則2個空格的實數之積為．32163解：設方格中兩個空格代表的實數分別為x，y．由題意可得：xy＝，xy＝．答案：．18．（2021?十堰中考）對于任意實數a、b，定義一種運算：a?b＝a2+b2﹣ab，若x?（x﹣1）＝3，則x的值為2或﹣1．解：由題意得：x2+（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝3．整理得：x2﹣x﹣2＝0．即（x﹣2）（x+1）＝0．解得：