2023—2024學(xué)年度上學(xué)期2023級期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，則的子集的個數(shù)為（）A2 B.5 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】分別對集合和集合化簡，然后求出，從而確定子集個數(shù).【詳解】因為，所以，所以的子集的個數(shù)為.故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)全稱命題的否定得到答案.【詳解】命題“，”的否定是：，.故選：B.3.下列函數(shù)是其定義域上的奇函數(shù)且在定義域上是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義判斷，結(jié)合分式型函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷各函數(shù)是否符合要求即可.【詳解】A：函數(shù)定義域為R，且，故為奇函數(shù)，當時，而在上遞減，上遞增，故在上遞增，上遞減，易知：定義域上不是增函數(shù)，不符合；B：函數(shù)定義域為，顯然不關(guān)于原點對稱，不為奇函數(shù)，不符合；C：函數(shù)定義域為R，且，故為奇函數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增，符合；D：函數(shù)定義域為，且，故為奇函數(shù)，函數(shù)分別在、上遞增，整個定義域不遞增，不符合.故選：C4.命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成在上恒成立，從而得到，再利用充分條件與必要條件的判定方法即可求出結(jié)果.【詳解】由“，”為真命題，得對于恒成立，令，易知，時，，所以，，故“”是命題“，”為真命題的一個必要不充分條件，故選：A．5.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合白般好，隔離分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，有時可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象函數(shù)奇函數(shù)，排除D；再根據(jù)函數(shù)定義域排除B；再根據(jù)時函數(shù)值為正排除A；即可得出結(jié)果.【詳解】由題干中函數(shù)圖象可知其對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，而D中的函數(shù)為偶函數(shù)，故排除D；由題干中函數(shù)圖象可知函數(shù)的定義域不是實數(shù)集，故排除B；對于A，當時，，不滿足圖象；對于C，當時，，滿足圖象.故排除A，選C.故選：C6.是定義域為上的奇函數(shù)，當時，為常數(shù)），則A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：因為是定義域為且是奇函數(shù)，所以，所以，，，故選D.考點：1、函數(shù)的奇偶性；2、分段函數(shù)的解析式.7.若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，然后分和判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出其最小值，從而可求出其值域，進而可求出的取值范圍【詳解】解：，當時，在上單調(diào)遞增，所以，此時，當時，由，當且僅當，即時取等號，因為在上單調(diào)遞增，若的值域為，則有，即，則，綜上，，所以實數(shù)的取值范圍為故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)值域的求法，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對函數(shù)變形為，然后分和討論函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題8.定義在R上的函數(shù)滿足：對任意的（），都有，且，函數(shù)關(guān)于直線對稱，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，分和，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出解集.【詳解】因為對任意的（），都有，所以在上單調(diào)遞減，因為關(guān)于直線對稱，所以關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，當時，，令得，即，所以，所以，當時，，令得，即，所以，所以，綜上，的解集為.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)，逐項判斷即可.【詳解】對于A，由，得，則，A正確；對于B，由，得，而，則，B錯誤；對于C，由，得，而，則，C正確；對于D，由，知，D錯誤.故選：AC10.下列四個命題是真命題的是（）A.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B.函數(shù)的值域為C.函數(shù)f（x）滿足，則D.若方程的兩個不等實根都在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】A.利用抽象函數(shù)的定義域求解判斷；B.利用函數(shù)的單調(diào)性求解判斷；C.由得到，聯(lián)立求解判斷；D.令，利用方程根的分布判斷.【詳解】A.因為函數(shù)的定義域為，所以，解得，所以函數(shù)的定義域為，故是真命題；B.函數(shù)的定義域為，且在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域為，故不是真命題；C.由，得，聯(lián)立解得，故不是真命題；D.令，因為的兩個不等實根都在區(qū)間內(nèi)，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故是真命題；故選：AD11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為16 B.的最小值為9 C.的最大值為1 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式即可判斷A；根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可判斷B；利用消元法即可判斷C；利用消元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以（舍去），所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為16，故A正確；對于B，因為，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為9，故B正確；對于C，由B得，則，則，故C錯誤；對于D，，當，即時，取得最小值，所以當時，的最小值為，故D正確.故選：ABD.12.若函數(shù)滿足對?x1，x2∈(1，+∞)，當x1≠x2時，不等式恒成立，則稱在(1，+∞)上為“平方差增函數(shù)”，則下列函數(shù)中，在(1，+∞)上是“平方差增函數(shù)”有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】令，問題轉(zhuǎn)化為判斷在上是增函數(shù)，分別對各個選項判斷即可．【詳解】若函數(shù)滿足對，，當時，不等式恒成立，則，令，則，，，且，在上是增函數(shù)，對于，則，對稱軸是，故在遞增，在遞減，故錯誤；對于，則，是對勾函數(shù)，故在遞增，故正確；對于，故，對稱軸是，故在遞增，故正確；對于，則，故在遞減，故錯誤；故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了函數(shù)的新定義問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵在于恒成立可轉(zhuǎn)化為新函數(shù)滿足上恒成立，即在上是增函數(shù)，屬于中檔題．三.填空題本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)可得，又，即可得.【詳解】由分段函數(shù)解析式可知，將代入可得，再將代入可得，即可計算出.故答案為：214.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則在上的解析式為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義與性質(zhì)運算求解.【詳解】因為函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，則，當時，則，可得，所以.故答案為：.15.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)是上的減函數(shù)，直接建立的不等關(guān)系，從而求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得，故答案為：.16.若函數(shù)與對于任意，都有，則稱函數(shù)與是區(qū)間上的“階依附函數(shù)”．已知函數(shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，設(shè)，研究的最小值即可．【詳解】因為函數(shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，所以在上恒成立，又在上單調(diào)遞增，則，所以在上恒成立，即在上恒成立，，令，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，所以，所以．故答案為：．四.解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分.共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）若，求；（2）設(shè)命題，命題，若p是q成立的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）化簡集合，求出即得解；（2）由題意可得集合B是集合A的真子集，列不等式組解不等式組即得解.【小問1詳解】（1），當時，，或，∴或；【小問2詳解】由題意可得集合B是集合A的真子集，∵，∴或，解得，∴實數(shù)a的取值范圍是.18.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.（1）求的解析式；（2）若，求實數(shù)取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，可列出關(guān)于m的方程，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性確定m的值，即可求得答案；（2）結(jié)合（1）中m的值，再結(jié)合冪函數(shù)的定義域以及單調(diào)性，可得相應(yīng)不等式組，即可求得答案.【小問1詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，故，解得或，當時，在上是增函數(shù)，不合題意；當時，在上是減函數(shù)，符合題意，故.【小問2詳解】由（1）知，則，結(jié)合冪函數(shù)在上為增函數(shù)，得，解得，即.19.已知函數(shù).（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，函數(shù)在有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為恒成立，分與，得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍；（2）轉(zhuǎn)化為在上有解，所以只需，構(gòu)造函數(shù)，由對勾函數(shù)性質(zhì)得到，從而得到實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】，故恒成立，當時，不恒成立，舍去，當時，要想恒成立，則要滿足，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為；【小問2詳解】當時，函數(shù)在有解，即在上有解，所以在上有解，所以只需，令，因為，所以，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在，即上單調(diào)遞減，在，即上單調(diào)遞增，由于，，由于，故，故，解得，實數(shù)的取值范圍是.20.隨著我國經(jīng)濟發(fā)展、醫(yī)療消費需求增長、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，最大產(chǎn)能為100臺.每生產(chǎn)x臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完.（1）寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量x臺的函數(shù)解析式（利潤銷售收入成本）；（2）當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1760萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合利潤=銷售收入-成本的公式，分，兩種情況討論，即可求解．

（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式，分別求解分段函數(shù)的最大值，再通過比較大小，即可求解．【小問1詳解】由題意可得：當時，，

當時，，

故．【小問2詳解】當時，，得時萬元；當時，，當且僅當，即時等號成立，此時萬元.綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1760萬元.21.函數(shù)對任意實數(shù)恒有，且當時，.（1）判斷的奇偶性；（2）求證：是上的減函數(shù)；（3）若，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）奇函數(shù)（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件，利用特殊值法、奇偶性的定義分析運算即可得解.（2）根據(jù)題設(shè)條件，利用單調(diào)性的定義分析運算即可得證；（3）根據(jù)題設(shè)條件將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分類討論法運算即可得解.【小問1詳解】解：由題意，函數(shù)對任意實數(shù)恒有，令得，解得：.取，則由得，∴，即，∴函數(shù)是奇函數(shù).【小問2詳解】證明：任取，且，則，∵當時，，∴，由得，∴，∴，∴是上的減函數(shù).【小問3詳解】解：由得，由得，則，∴不等式可化為，∵是上的減函數(shù)，∴，即………①.（i）當時，不等式①式即為，解得：，即原不等式解集為；（ii）當時，不等式①式化為，即，若，上式不等式即，解得：，即原不等式解集為；若，則，原不等式解集為；若，則，原不等式解集為；（iii）當時，不等式①式化為，即，∵此時，∴原不等式解集為；綜上，當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為.【點睛】方法點睛：1.解一元二次不等式的一般步驟：（1）化為標準形式；（2）確定判別式的符號，若，則求出該不等式對應(yīng)的一元二次方程的根；若，則該不等式對應(yīng)的一元二次方程無根；（3）結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集，特別地，若一元二次不等式左邊的二次三項式能分解因式，則可直接寫出不等式的解集.2.含有參數(shù)的一元二次不等式的求解，首先需要對二次項系數(shù)討論，再比較相應(yīng)方程的根的大小，注意分類討論思想的應(yīng)用.22.已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若方程在上有兩個不同的根，求實數(shù)的取值范圍；（3）令，若對都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【