北京九中2024屆高一數學第一學期期末學業水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．已知函數，則的值為A. B.C. D.2．已知點（a，2）在冪函數的圖象上，則函數f（x）的解析式是（）A. B.C. D.3．集合的真子集的個數是（）A. B.C. D.4．已知函數，則函數（）A.有最小值 B.有最大值C有最大值 D.沒有最值5．已知全集，集合，或，則（）A. B.或C. D.6．“”是“關于的方程有實數根”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7．函數的圖象如圖所示，則函數的零點為（）A. B.C. D.8．若函數f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|）的部分圖象如圖所示，將函數f（x）的圖象向左平移1個單位長度后，得到函數g（x）的圖象，則g（x）＝（）A.2cosx B.2sinxC.2cosx D.2sinx9．函數的單調遞增區間是（）A. B.C. D.10．已知函數，.若在區間內沒有零點，則的取值范圍是A. B.C. D.11．土地沙漠化的治理，對中國乃至世界來說都是一個難題，我國創造了治沙成功案例——毛烏素沙漠.某沙漠經過一段時間的治理，已有1000公頃植被，假設每年植被面積以20%的增長率呈指數增長，按這種規律發展下去，則植被面積達到4000公頃至少需要經過的年數為（）（參考數據：?。〢.6 B.7C.8 D.912．不等式的解集為（）A.（-∞，1） B.（0，1）C.（，1） D.（1，+∞）二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．不等式的解集為__________.14．向量在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示，則__________15．定義：如果函數在定義域內給定區間上存在，滿足，則稱函數是上的“平均值函數”，是它的一個均值點.若函數是上的平均值函數，則實數的取值范圍是____16．已知冪函數的定義域為，且單調遞減，則________.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.18．已知函數是定義在上的奇函數，且時，.（1）求函數的解析式；（2）若任意恒成立，求實數的取值范圍.19．函數，在內只取到一個最大值和一個最小值，且當時，；當時，（1）求此函數的解析式；（2）求此函數的單調遞增區間20．已知.（1）若關于x的不等式的解集為區間，求a的值；（2）設，解關于x的不等式.21．已知函數，函數.（1）填空：函數的增區間為___________（2）若命題“”為真命題，求實數的取值范圍；（3）是否存在實數，使函數在上的最大值為？如果存在，求出實數所有的值.如果不存在，說明理由.22．已知圓經過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、C【解析】由，故選C2、A【解析】由冪函數的定義解出a，再把點代入解出b.【詳解】∵函數是冪函數，∴，即，∴點（4，2）在冪函數的圖象上，∴，故故選：A.3、B【解析】確定集合的元素個數，利用集合真子集個數公式可求得結果.【詳解】集合的元素個數為，故集合的真子集個數為.故選：B.4、B【解析】換元法后用基本不等式進行求解.【詳解】令，則，因為，，故，當且僅當，即時等號成立，故函數有最大值，由對勾函數的性質可得函數，即有最小值.故選：B5、D【解析】根據交集和補集的定義即可得出答案.【詳解】解：因為,或，所以，所以.故選：D6、A【解析】根據給定條件利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【詳解】當時，方程的實數根為，當時，方程有實數根，則，解得，則有且，因此，關于的方程有實數根等價于，所以“”是“關于的方程有實數根”的充分而不必要條件.故選：A7、B【解析】根據函數的圖象和零點的定義，即可得出答案.【詳解】解：根據函數的圖象，可知與軸的交點為，所以函數的零點為2.故選：B.8、A【解析】觀察函數圖像，求得，再結合函數圖像的平移變換即可得解.詳解】解：由圖可知,，即，又，所以，即，又由圖可知，所以，又，即即，將函數f（x）的圖象向左平移1個單位長度后，得到函數g（x）的圖象，則，故選：A.【點睛】本題考查了利用函數圖像求解析式，重點考查了函數圖像的平移變換，屬基礎題.9、C【解析】根據誘導公式變性后，利用正弦函數的遞減區間可得結果.【詳解】因為，由，得，所以函數的單調遞增區間是.故選：C10、D【解析】先把化成，求出的零點的一般形式為，根據在區間內沒有零點可得關于的不等式組，結合為整數可得其相應的取值，從而得到所求的取值范圍.【詳解】由題設有，令，則有即因為在區間內沒有零點，故存在整數，使得，即，因為，所以且，故或，所以或，故選：D.【點睛】本題考查三角函數在給定范圍上的零點的存在性問題，此類問題可轉化為不等式組的整數解問題，本題屬于難題.11、C【解析】根據題意列出不等式，利用對數換底公式，計算出結果.【詳解】經過年后，植被面積為公頃，由，得.因為，所以，又因為，故植被面積達到4000公頃至少需要經過的年數為8.故選：C12、A【解析】根據對數的運算化簡不等式，然后求解可得.【詳解】因為，，所以原不等式等價于，即.故選：A二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】由不等式，即，所以不等式的解集為.14、3【解析】由題意可知故答案為315、##，##【解析】根據題意，方程，即在內有實數根，若函數在內有零點．首先滿足，解得，或．對稱軸為．對分類討論即可得出【詳解】解：根據題意，若函數是，上的平均值函數，則方程，即在內有實數根，若函數在內有零點則，解得，或（1），．對稱軸：①時，，，（1），因此此時函數在內一定有零點．滿足條件②時，，由于（1），因此函數在內不可能有零點，舍去綜上可得：實數的取值范圍是，故答案為：，16、【解析】根據冪函數的單調性，得到的范圍，再由其定義域，根據，即可確定的值.【詳解】因為冪函數的定義域為，且單調遞減，所以，則，又，所以的所有可能取值為，，，當時，，其定義域為，不滿足題意；當時，，其定義域為，滿足題意；當時，，其定義域為，不滿足題意；所以.故答案為：三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）先由平面幾何知識證明，再由線面平行判定定理得結論；（2）先由面面垂直性質定理得平面，則，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC試題解析：證明：（1）在平面內，因為AB⊥AD，，所以.又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因為平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因為平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因為AC平面ABC，所以AD⊥AC.點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直18、（1）；（2）.【解析】（1）由奇函數的性質可得出，設，由奇函數的性質可得出可得出的表達式，綜合可得出結果；（2）分析可知函數為上的增函數，由原不等式變形可得出，利用參變量分離法結合二次函數的基本性質可求得實數的取值范圍.【詳解】（1）因為函數是定義在上的奇函數，所以，且.設，則，所以，所以；（2）因為對任意恒成立，所以，又是定義在上的奇函數，所以，作出函數的圖象如下圖所示：由圖可知，在上單調遞增，所以，即恒成立，令，，，則函數在上單調遞增，所以，所以，即實數的取值范圍.19、（1）；（2）.【解析】（1）由函數的最值求得振幅A，利用周期公式求得，根據五點法求，進而求得解析式；（2）依據正弦函數單調區間，列出不等式，解之即可得到函數的單調遞增區間【詳解】（1）在內函數只取到一個最大值和一個最小值，當時，；當時，，則，函數的最小正周期，則由，可得，則此函數的解析式；（2）由，可得，則函數的單調遞增區間為20、（1）；（2）答案見解析.【解析】(1)先將分式不等式轉化成一元二次不等式，再根據解集與根的關系，即得結果；(2)先將分式不等式轉化成一元二次不等式，再結合根的大小對a進行分類討論求解集即可.【詳解】（1）由，得，即，即，等價于，由題意得，則；（2）即，即.①當時，不等式即為，則，此時原不等式解集為；②當時，不等式即為.1°若，則，所以，此時原不等式解集為；2°若，則，不等式為，x不存在，此時原不等式解集為；3°若，則，所以，此時原不等式解集為.【點睛】分式不等式的解法：等價于；等價于；等價于或；等價于或.21、（1）（寫出開區間亦可）；（2）；（3）.【解析】（1）根據單調性的定義結合奇偶性可得解；（2）令，問題轉化為“”為真命題，根據基本不等式找函數的最小值即可；（3）當時，，記，若函數在上的最大值為，分和，結合對數函數的單調性列式求解即可.【詳解】（1）函數的增區間為（寫出開區間亦可）；理由：，為偶函數，任取，，所以的增區間為.（2），令，當且僅當時取“”，“”為真命題可轉化為“”為真命題，因為，當且僅當時取“”，所以，所以；（3）由（1）可知，當時，，記，若函數在上的最大值為，則1）當，即時，在上最小值為1，因為圖象的對稱軸為，所以，解得，符合題意；2）當，即時，在上最大值為1，且恒成立，因為圖象是開口向上的拋物線，在的最大值可能是或，若，則，不符合題意，若，則，此時對稱軸，由，不合題意0.綜上所述，只有符合條件.【點睛】本題主要考查了對數型、指數型的復合函數的單調性及最值問題。解題的關鍵是換元，將復雜的函數化為簡單的函數，解決對數型的復合函數時要注意真數大于0這個隱含條件，屬于難題.22、（1）（2）或.【解析】（1）設圓的方程為，根據題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由圓的弦長公式，求得圓心到直線的距