2022年重慶市名校聯盟高考數學第一次聯考試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）己知集合4={x|-B={-1,0,2,3},則ACB=（）

A.{-1,0,2,3}B.{0,3}C.{0,2}D.{0,2,3}

2.（5分）復數z滿足z（1+i）=1-i（i為虛數單位），則z的模為（）

11

A.-4B.-C.ID.V2

22

3.（5分）已知正方體ABCD-A\B\C\D\的八個頂點在同一個球面上，若正方體的棱長是2,

則該球的表面積是（）

A.6TlB.12KC.I8HD.24IT

x2y2V3

4.（5分）已知橢圓C—+—=1（a>b>0）的左、右焦點為尸i、尸2,離心率為一，過

a2b23

尸2的直線/交C于A、8兩點，若△AF18的周長為4次，則。的方程為（）

x2y2x2

A.—+—=1B.—+）29=1

323」

x2y2x2y2

C.—+—=1D.一+—=1

128124

5.（5分）設等差數列{a〃}的前〃項和為若。5+。6=〃2+4,則S17=（）

A.4B.17C.68D.136

2

6.（5分）函數fG）=（—7一1）sinx圖象的大致形狀是（）

l+ex

7.（5分）記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰

但不排在兩端，不同的排法共有（）

A.1440種B.960種C.720種D.480種

8.（5分）若函數/G）滿足f（x）=/（x+2）,且當1,1］時，f（x）=/,則函數y

第1頁共21頁

=f（JC）與函數）=這|川的圖像的交點個數為（）

A.18個B.16個C.14個D.10個

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。

（多選）9.（5分）若（x+3）”的展開式中第3項與第8項的系數相等，則展開式中二項

式系數最大的項為（）

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

（多選）10.（5分）已知向量Q=（2,1）,&=（1,-1）,c=（機-2,-〃），其中勿〃

均為正數，且〃二下列說法正確的是（）

A.之與6的夾角為鈍角

TT-\/5

B.向量a在b方向上的投影為《

C.2〃?+〃=4

D.小〃的最大值為2

（多選）11.（5分）如果兩個函數存在關于y軸對稱的點，我們稱這兩個函數構成類偶函

數對，下列哪些函數能與函數>=-x構成類偶函數對（）

A.f（x）=2x+xB.f（x）-x-3

C.f（x）=lnx+2D.f（x）=2+Vx+2

（多選）12.（5分）在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線）2=2px（p>0）的焦點

為凡點M（1,2）,A（xi,yi）,B（%2,”）都在拋物線上，且最+而+局=0,

則下列結論正確的是（）

A.拋物線方程為y2=2x

B.F是的重心

C.\FA\+\FM\+\FB\^6

D.S>AF（T+S&BFO-+S&MFO=3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）設隨機變量X服從正態分布N（2,o2）.若P（X>0）=0.9,則P（2VXV4）

第2頁共21頁

14.（5分）已知cosO=—5，則cos2?的值為.

15.（5分）已知函數/'（x）—Inx-a,若f（x）在（1,+°°）上恒成立，則實數a的取

值范圍是.

16.（5分）己知直三棱柱ABC-4BCI的側棱長為2,ABLBC,AB=BC=2,過AB,BBi

的中點E,F作平面a與平面AAiCiC垂直，則平面a與該直三棱柱所得截面的周長

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.（10分）已知等差數列的前”項和為S”且42=3,8=25.

（I）求數列｛而｝的通項公式；

n

（II）設—=an+2*求數列｛6｝的前n項和Tn.

第3頁共21頁

18.(12分)ZiABC中，內角A,B,C所對的邊分別為mb,c,且加iiL4cosC=。(百cosA

-cosBsinC).

(1)求A；

(2)若△ABC的外接圓半徑為2,且匕-c=*求△ABC的面積.

第4頁共21頁

19.(12分)如圖，四邊形A8CC是正方形，出，平面ABC。，EB//PA,AB=PA=4,EB

=2,F為PO的中點.

(I)求證：AFLPC；

(II)求證：BO〃平面PEC；

(III)求二面角。-PC-E的大小.

第5頁共21頁

20.（12分）某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行

分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100

顆種子中的發芽數，得到如下資料：

日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日

溫差X(℃)101113128

發芽數y（顆）2325302616

該農科所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回

歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗.

（I）求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；

（II）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的

數據，求出y關于x的線性回歸方程、=bx+a；

參考公式:b=%@一如仇尸=哭1和二零,a=y-bx

第1（看一幻Ekxj-nx

x乙y/1

21.（12分）已知橢圓C：—+=l（a>b>0）的離心率為左、右焦點分別為Fi,Fi,

第6頁共21頁

過點P(0,3)的動直線/與C交于A,B兩點，且當動直線/與y軸重合時，四邊形AF1BF2

的面積為2次.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若△ABF1與△A8F2的面積之比為2：1,求直線/的方程.

22.(12分)已知函數/(X)=-bx+

第7頁共21頁

(1)討論函數/(x)的單調性；

(2)設XI,X2(X1<X2)是函數/(X)的兩個極值點，若b耳，且/(XI)-f(X2)2我

恒成立，求實數k的最大值.

第8頁共21頁

2022年重慶市名校聯盟高考數學第一次聯考試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={x|-1Vx<3},B={-\,0,2,3）,貝ijADB=（）

A.{-1,0,2,3}B.{0,3}C.{0,2}D.{0,2,3}

解：集合A={x|-l<x<3},

B={-1,0,2,3},

，AnB={0,2}.

故選：C.

2.（5分）復數z滿足z（1+Z）=1-i（i為虛數單位），則z的模為（）

11L

A.-4B.-C.1D.V2

22

解：Vz?（l+!）=1

._1-i_（1-02_.

（l+i）（l-i）-~h

：.\z\=\,

故選：C.

3.（5分）已知正方體ABCD-A\B\C\D\的八個頂點在同一個球面上，若正方體的棱長是2,

則該球的表面積是（）

A.6nB.12nC.18TTD.24n

解：正方體ABC。-AiBiCiDi的八個頂點在同一個球面上，

若正方體的棱長是2,

設外接球的半徑為廣，

貝!]（2r）2=22+22+22=12,解得r=6,

故球的直徑為2百，

球的表面積為S=4x兀x（遮>=127r.

故選：B.

X2y2、V3

4.（5分）已知橢圓C—+-J=1的左、右焦點為尸1、F2,離心率為二，過

a2b23

五2的直線/交。于A、B兩點,若△AQ8的周長為4次，則。的方程為（）

第9頁共21頁

x2y2x2

A.—+—=1B.——+>92=1

3237

x2y2x2y2

C.—+—=1D.—4--=1

128124

解：,?,△AFiB的周長為4次，

AAFiB的周長=|AFi|+|AF2|+|8Fi|+|8b2|=2q+24=4m

???4。=48，

?\a=V3,

_V3

??,離心率為77，

3

.cV3

A-=一,c=1,

a3

:.b=y/a2—c2=V2,

、x2y2

工橢圓C的方程為77+—=1.

故選：A.

5.(5分)設等差數列｛a〃｝的前〃項和為S〃，若。5+〃6=。2+4,貝I」S17=()

A.4B.17C.68D?136

解：由｛即｝是等差數列，得。5+46=〃2+〃9,

又〃5+。6=。2+4,得〃9=4,

17

所以517=丁(ai+?i7)=17a9=17X4=68.

故選：C.

6.(5分)函數fG)=(-J-1)siru圖象的大致形狀是()

l+ex

第10頁共21頁

則/(X)是偶函數，則圖象關于y軸對稱，排除8,D,

由/(x)=0,得1-d=0或sinx=0,

得x=kn,kwZ,即當x>0時，第一個零點為TT,

當x=l時，/(I)=爰?sinlV0,排除A,

故選：C.

7.(5分)記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰

但不排在兩端，不同的排法共有()

A.1440種B.960種C.720種D.480種

解：可分3步.

第一步，排兩端，???從5名志愿者中選2名有42=20種排法，

第二步，；2位老人相鄰，把2個老人看成整體，與剩下的3名志愿者全排列，有A44=

24種排法

第三步，2名老人之間的排列，有A2?=2種排法

最后，三步方法數相乘，共有20X24X2=960種排法

故選：B.

8.(5分)若函數/(X)滿足f(x)=/(x+2),且當x€［-1,1］時，f(x)=7，則函數y

=f(x)與函數y=/g|x|的圖像的交點個數為()

A.18個B.16個C.14個D.10個

解：因f(x+2)=/(X),

所以函數/(x)是以2為周期的周期函數，

又當1］時，f(x)=/,

則有函數y=/(X)與函數)，=這同都是偶函數，

在同一坐標系內作出函數y=f(x)與函數y=/gx的圖像，如圖，

第11頁共21頁

所以函數y=/（x）與函數了=四國的圖像的交點個數為18.

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。

（多選）9.（5分）若（x+±）"的展開式中第3項與第8項的系數相等，則展開式中二項

式系數最大的項為（）

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

解：展開式的第3項為T3=C第8項為T8=第鏟-7（》7,

則C需=第，則〃=9,

所以展開式中二項式系數最大的項為第5項與第6項，

故選：BC.

（多選）10.（5分）已知向量Q=（2,1）,h=（1,-1）,c=（tn-2,-其中〃?，n

均為正數，且&—1）//C,下列說法正確的是（）

A.［與］的夾角為鈍角

B.向量a在b方向上的投影為七

C.2，"+〃=4

D.mn的最大值為2

解：根據題意，依次分析選項：

對于A,向量展=（2,1）,=（1,-1）,貝丘1=2-1=1>0,則/7的夾角為銳角，

4錯誤；

TT-

TTy/2

對于B,向量a=（2,1）,b=（l,-1）,則向量〃在人方向上的投影為="=—?B

切2

錯誤；

對于C,向量Q=（2,1）,h=（1,-1）,則a—6=（1,2）,若（a—b）//c,則（-

n）=2（〃z-2）,變形可得2〃z+〃=4,C正確；

對于￡）,由C的結論，2m+〃=4,而根，〃均為正數，則有加?=2（2根?九）￡2（-----）

2=2,即加〃的最大值為2,。正確；

第12頁共21頁

故選：CD.

(多選)11.(5分)如果兩個函數存在關于y軸對稱的點，我們稱這兩個函數構成類偶函

數對，下列哪些函數能與函數y=-x構成類偶函數對()

A.f(x)=2x+xB./(x)=?-x-3

C.f(x)=lnx+2D./(x)=2+y/x+2

解：根據題意，函數>=》與>=-x的圖象關于y軸對稱，若函數/(x)能與函數y=-

x構成類偶函數對，

則函數f(x)與函數y=x存在交點，

依次分析選項：

對于A,/(x)=2'+x,有%聯立可得2、+x=x,即2'=0,方程無解，不能與

函數y=-x構成類偶函數對，不符合題意；

對于8,f(x)=/-x-3,有g1j一”一3,聯立可得/-x-3=x,即/-2x-3=0,

存在兩個根，能與函數>=-x構成類偶函數對，符合題意；

對于C,f(x)—bix+2,有%=?'"+4聯立可得配r+2=x,BRlnx=2-x,在區間(1,

2)存在一個根，能與函數丫=-x構成類偶函數對，符合題意；

對于D,/(%)=2+VFT2,有，:：+"+2,聯立可得2+VF5U=x,變形可得X2

-5x+2=0(x22),存在一個根，能與函數丫=-X構成類偶函數對，符合題意；

故選：BCD.

(多選)12.(5分)在平面直角坐標系中，0為坐標原點，拋物線V=2px(p>0)的焦點

為F,點M(1,2),A(xi,yi),BCx2,”)都在拋物線上，且后+而+局=G,

則下列結論正確的是()

A.拋物線方程為b=2x

B.F是△ABM的重心

C.\FA\+\FM\+\FB\=6

D.SMFCP+SABFC^+S^MFO2=3

解：對于A,由2)在拋物線上可得4=2p,即拋物線方程為y2=4x,故A錯誤；

對于8,分別取A8,AM的中點。，E,則易+而=2訪，FM=-2FD,

第13頁共21頁

即F在中線上，同理可得尸也在中線BE上，所以尸是△ABM的重心，故8正確;

對于C,由拋物線的定義可得|贏|=制+1,而M|=2,\FB\=X2+\,

所以|易|+/而+|而|=XI+X2+4,

由F(l,0)是△ABM的重心，所以肛+?+1=[,即*[+m=2,

所以得|高4|+|俞|+|贏|=尤1+%2+4=6,故C正確；

對于。，S^AFO=||OFl|yi|,SAZIFO2=1yi2==xi,

同理SABFO2=X2,S/^MFO2=1,

所SAAFO2+S^BFO1+S^MFO2'=3,故￡)正確；

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)設隨機變量X服從正態分布N(2,o2).若P(X>0)=0.9,則P(2<X<4)

-0,4.

解：：隨機變量X服從正態分布N(2,。2),

該正態分布曲線的對稱軸為x=2,即P(X<2)=P(X>2)=0.5,

又,：P(X>0)=0.9,

：.P(2<X<4)=P(0<X<2)=P(X>0)-P(X>2)=0.9-0.5=04.

故答案為：0.4.

Q7

14.(5分)已知cosO=—耳，則cos28的值為_一西

oay

解：Vcos0=則cos29=2cos2。-l=2x云一1=一名，

故答案為：一條.

15.(5分)已知函數/(X)=lnx-a,若/(x)在(1,+°0)上恒成立，則實數a的取

值范圍是f-1,+8).

解：若/(X)</在(1,+8)上恒成立，

則等價為阮在(1，+8)上恒成立，

即Inx-^<a在(1,+8)上恒成立，

設h(x)=Inx-x2.

第14頁共21頁

則hr(x)=-2x=1,

當xNl時，T(x)<0,即〃(x)在［1,+8)上為減函數，

則當工>1時，hQ)<h(1)=1-2=-1,

則-1,

故答案為：［-1,+°°).

16.(5分)已知直三棱柱ABC-Ai81cl的側棱長為2,ABLBC,AB=BC=2,過AB,BB\

的中點E,F作平面a與平面AAiCiC垂直，則平面a與該直三棱柱所得截面的周長為

3夜+V6_.

解：如圖所示，取AC的中點。，連接8。，取4cl的中點。1,連接

取A的中點G,連接EG,連接EF,

分別取C1Q,BiCi的中點M,N,連接MN,FN,GM,

可得EG〃BD,BD//B\D\,MN//B\D\,即有EG〃MN,

又由A8=BC,可得BQ_LAC,

因為441J_平面ABC,可得A4i_LB。，所以BD_L平面AAiCiC,

可得EG_L平面A4C1C,

由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNFL平面AA1C1C,

則平面EGMNF即為平面a,

由EG=&BD=寺,GM=V4T2=V6,MN=&B\D\=號,NF=VlTT=

V2,FE=y/2,

可得所得截面周長為Wx2+&+V2x2=3V2+yf6.

第15頁共21頁

故答案為：+聲.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.(10分)已知等差數列｛珈｝的前〃項和為S”且6=3,55=25.

(I)求數列｛“"｝的通項公式；

(II)設—=%+2"-1,求數列｛壇｝的前"項和方.

解：(I)設等差數列｛%｝公差為4,首項為m,

則有｛Sr+d^n+2m解得傷1=J，

(5a3=5(&+2a)=25id=2

所以a〃=m+(/?-1)d=l+2(n-1)=2n-I,

即數列｛“”｝的通項公式z=2〃-1；

nl,rl

(II)b,,=an+2'=(2n-1)+2,

所以Tn=n(l+.T)+專吞=川+2",I

18.(12分)ZVIBC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且6sinAcosC=a(BcosA

-cosBsinC).

(1)求A；

(2)若△ABC的外接圓半徑為2,且b-c=*求△ABC的面積.

解：(1)由已知及正弦定理得s譏8s譏AcosC=sinA(y/3cosA-cosBsinC),

又(0,n),

1?sinAWO,

.\sinBcosC=\[3cosA—sinCcosB,

?\sinBcosC+cosBsinC=遍cosA,

+C)=^cosA,即si兀4=WcosA,

??tCLTlA—?

又AW(0,TT),

???4=冬

(2);△ABC的外接圓半徑R=2,

/.a=2RsinA=4sin^=2V3,

?，?b-c=多=V3,

212112

由余弦定理得a=b+c-2bccosA=b+c-bc=Qb-c)+bcf即12=3+/?c,

第16頁共21頁

貝Ijbc=9,

/\ABC的面積S——2bcsinA=彳X9X弓'=:.

19.(12分)如圖，四邊形ABC。是正方形，《4_L平面ABC。，EB//PA,A8=B4=4,EB

=2,F為的中點.

(I)求證：AFLPC,

(II)求證：B。〃平面PEC-,

(III)求二面角。-PC-E的大小.

(本小題共14分)

證明：(I)依題意，%，平面A8CD

如圖，以A為原點，分別以而、AB.筋的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直

角坐標系....(2分)

依題意，可得A(0,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),

D(4,0,0),P(0,0,4),E(0,4,2),F(2,0,2).

因為第=(2,0,2),PC=(4,4,-4),

所以於PC=8+0+(-8)=0....(5分)

所以AELPC....(6分)

(II)取PC的中點連接

因為M(2,2,2),EM=(2,-2,0),訪=(4,-4,0),

所以BD=2EM,所以BD//

EM....（8分）

又因為EMu平面PEC,3OC平面PEC,

所以BO〃平面PEC.(9分)

第17頁共21頁

解：(HI)因為AF_LP。，AFLPC,PDCPC=P,

所以AFJ_平面PCD,故4尸=（2,0,2）為平面PCD的一個法向量.(10分)

設平面PCE的法向量為1=(x,y,z),

因為而=(4,4,-4),PE=(0,4,一2),

XT「

poZ4X+4y-4Z=O

所以K=

nBpnD

—

T「=V4y-2Z=O

Vnpo

令y=~1,得x=~1>z=~2,故=(—1/-1,-2).（12分）

所以cos<4F,n>=葭=一堂，...(13分)

ZV2-V6/

所以二面角D-PC-E的大小為".

（14分）

6

20.（12分）某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行

分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100

顆種子中的發芽數，得到如下資料：

日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日

溫差X(℃)101113128

發芽數），（顆）2325302616

該農科所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回

歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗.

（I）求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；

（II）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的

數據，求出y關于x的線性回歸方程、=/^+&；

第18頁共21頁

（陽一幻（尢一巧_xiyi-nxy；

參考公式：b9_—o，Q=y—bx.

電1（看一幻造1xj-nx

解：（1）設抽到不相鄰兩組數據為事件A,

2

從5組數據中選取2組數據共有C5=10種情況,

每種情況都是等可能出現的，其中抽到相鄰兩組數據的情況有4種,

所以P（A）=1—白=焉；

10+11+13+12+854-23+25+30+26+16

（2）由數據，求得土=-------5-------二虧'丫--------5--------=27

由公式，求得b=

a=y-dx=-3；

所以y關于x的線性回歸方程為y=|x-3.

21.（12分）已知橢圓C：篇+棄=l（a>b>0）的離心率為右左、右焦點分別為乃，F2,

過點P（0,3）的動直線/與C交于A,B兩點，且當動直線I與y軸重合時，四邊形AF1BF2

的面積為2遍.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若△ABFi與△ABF2的面積之比為2：1,求直線/的方程.

解：⑴橢圓的離心率e=^=Jl-^=.可得b2=la2,

1

當動直線/與y軸重合時，則［4陰=2。，這時S四邊形AF?2=”c?2b=2bc=2?

所以82c2=3,c2=a2-/?2

解得/=4,從=3,

%2y2

所以橢圓是方程為：一+一=1;

43

⑵設直線/的方程為尸質+3,&￥0,則直線/與x軸的交點N（-也0）,

y2

聯立橢圓與直線方程，斤+3=1,

丁=依+3

△>0,可得必>|,

由（1）可得焦點為（-1,0）,F2（1,0）,

△ABFi與△ABF2的面積之比為2：1,

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可得:-yB\=2'^\F2N\9\yA-

2Q3

可得|F1M=2|F2N，即一1+1=2|-1一1|=2|1+1],

Q333

即一萬+1=2（~+1）或-,r+1=-2（丁+1）,

KkKk.

解得％=-9或A=-l（舍），

所以直線/的方程為：y=-9x+3,

即直線/的方程為9x+y-3=0.

22.(12分)己知函數/(%)=—6工+m工.

(1)討論函數/(x)的單調性；

(2)設用，%2(xi<%2)是函數/(x)的兩個極值點，若b其，且“Xi)-"xz)4

恒成立，求實數&的最大值.

解：(1)/(%)=—