專題01三角形邊或角關系的三種模型幾何探究類問題一直屬于考試壓軸題范圍，在三角形這一章，壓軸題主要考查是證明角的數量關系，或者三角形的三邊和差關系等，接來下我們針對這兩個版塊做出詳細分析與梳理。類型一、燕尾角模型例1．在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數是(

)．A． B． C． D．【答案】A【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：A．【變式訓練1】如圖，若，則____________．【答案】230°【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【變式訓練2】如右圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．【答案】360°【詳解】解：由圖形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°．故答案為：360°．【變式訓練3】如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．【答案】900°【詳解】解：連EF，GI，如圖，∵6邊形ABCDEFK的內角和＝(6－2)×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－(∠1＋∠2)，即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋(∠1＋∠2)＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋(∠3＋∠4)＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F(∠3＋∠4)＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案為：900°．【變式訓練4】模型規律：如圖1，延長交于點D，則．因為凹四邊形形似箭頭，其四角具有“”這個規律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應用(1)直接應用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；(2)拓展應用：①如圖4，、的2等分線(即角平分線)、交于點，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線、交于點D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線、交于點D，則、、之同的數量關系為__________．【答案】(1)①110；②260；(2)①85；②110；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【詳解】解：(1)①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；(2)①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-(∠ABO+∠ACO)=∠BOC-(∠BOC-∠A)=∠BOC-(120°-50°)=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-(∠BOC-∠A)=120°-(120°-50°)=120°-10°=110°；③∠ADB=180°-(∠ABD+∠BAD)=180°-(∠BOC-∠C)=180°-(120°-44°)=142°；④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯立得：∠B-∠C+2∠D=0．類型二、折疊模型例1.如圖，在中，，將沿直線折疊，點C落在點D的位置，則的度數是(

)．A． B． C． D．無法確定【答案】B【詳解】解：由折疊的性質得：，根據外角性質得：，，則，則．故選：B．【變式訓練1】如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數為()A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【詳解】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【變式訓練2】如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數為(

)．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折疊可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故選：B．【變式訓練3】如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數為(

)A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【詳解】由折疊的性質可知∵∴∴故選C【變式訓練4】如圖，將矩形紙片沿折疊，點落在邊上的點處，點落在點處，若，則的度數為(

)．A．42° B．69° C．44° D．32°【答案】A【詳解】由圖形翻折的性質可知，，，，，利用“8”字模型，，故選：A．類型三、“8”字模型例1.如圖，平分，交于點F，平分交于點E，與相交于點G，．(1)若，求的度數；(2)若，求的度數．【答案】(1)；(2)．【詳解】解：(1)∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=，∵，∴，∴；(2)∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=(38°+42°)=40°．【變式訓練1】如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數．【答案】540°【詳解】解：如圖所示：由三角形的外角的性質可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝(5－2)×180°＝3×180°＝540°．【變式訓練2】(1)已知：如圖①的圖形我們把它稱為“字形”，試說明：．(2)如圖②，，分別平分，，若，，求的度數．(3)如圖(3)，直線平分，平分的外角，猜想與、的數量關系是__；(4)如圖(4)，直線平分的外角，平分的外角，猜想與、的數量關系是________．【答案】(1)見解析；(2)26°；(3)；(4)【詳解】解：(1)180°，180°，．，；(2)，分別平分，，設，，則有，，(36°+16