第三章直線與方程(一)直線的傾斜角1.定義：在平面直角坐標系中，當直線與x軸相交時，取x軸非負半軸作為基準，把x軸的正方向按逆時針旋轉至與直線重合的最小角，叫做直線的傾斜角.當直線平行于x軸或與x軸重合時，我們規定直線的傾斜角為0°.2.范圍:0°≤α<180°傾斜角[0°線面角[0°,90°]異面直線成角(0°,90°](二)直線的斜率1.定義：傾斜角α不是90°的直線，正切值叫做這條直線的斜率，直線的斜率常用k表示，即k=tanα，當直線的傾斜角等于90°時，直線的斜率不存在.2.傾斜角α與斜率k的范圍之間的對應關系(三)斜率公式經過兩點P?(x?,y?),P?(x?,y?)的直線的斜率是：k注:(1)斜率公式適用范圍x?≠x?(2)斜率公式變形.y例1(1)過P(-1,-1)的直線l與x軸和y軸分別交于A、B兩點,若P恰為線段AB的中點，求直線l的斜率和傾斜角.k=-1,α=135°(2)若經過點A(1-t，1+t)和點B(3，2t)的直線的傾斜角為鈍角，求實數t的取值范圍.(-2,1)(3)若直線l的傾斜角是連接(-3，5)，(0，9)兩點的直線傾斜角的2倍，則直線l的斜率為-k(4)直線l的方程為x+ycosθ+3=0(θ∈R),則傾斜角的范圍為πtan(5)已知兩點A(2,3)和B(-1,2),過點P(1,-1)的直線l與線段AB有交點,則直線l斜率k的取值范圍為-(四)直線方程的五種形式名稱方程適用條件參數幾何意義斜截式y=kx+bα≠90°k:斜率b：縱截距(可正，可負)點斜式y-y?=k(x-x?)α≠90°k:斜率點(x?,y?)

名稱方程適用條件參數幾何意義兩點式y?=y?=x?=x?(α≠90°兩點(x?,y?)(x?,y?)截距式π+ξ=1a：橫截距b：縱截距一般式Ax+By+C=0A2+B2≠0(A,B不同時為0)例2(1)過P(-2，2)點引一條直線l，使其與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于4，求直線l的方程.解析b∴a=2+(2)直線l過點P(-2,3),且與x軸、y軸分別交于A、B兩點,若P恰為線段AB的中點,求直線l的方程.3x-2y+12=0(3)若直線((2m2+m-3)x+(2-m)y=4m-1在x軸上的截距為1，則實數m是(D)A.1B.2C.-12D.2(4)①在x軸，y軸上截距分別是-2，3的直線方程是3x-2y+6=0②求過點P(2，3)，并且在兩軸上截距相等的直線方程y=32x或.x+y-例3(1)直線l的方程為.Ax+By+C=0(A、B不同時為零),根據下列各位置特征,寫出A,B,C應滿足的關系：①l與兩坐標軸都相交A≠0;B≠0;②l過原點C=0;③l只與x軸相交B=0;④l是y軸所在直線B=0,C=0;⑤l在x,y軸上的截距互為相反數①C=0.A≠0,B≠0②C≠0且A=B≠0.(2)①直線kx+y+1=0(k∈R)恒過定點(0,-1).②直線kx+k+3k2x(3)過點P(3，0)有一條直線l，它夾在兩條直線l?:2x-y-2①y=k(x-3),k=8,y=8x-24,8x-y-24=0②設點,設直線l與l?交于A(t,2t-2),l與l?交于B(6-t,2-2t),又B在l?上,則t=113(4)過P(1,4)作直線l分別交x,y正半軸于A,B兩點.①|PA|·|PB|取得最小值時,求直線l的方程;

k=-1,y=-x+5②|OA|·|OB|取得最小值時,求直線l的方程;k=-4,y=-4x+8③|OA|+|OB|取得最小值時,求直線l的方程;k=-2,y=-2x+6④|PA|2+|PB|2取得最小值時,求直線l的方程;k=-2,y=-2x+6(五)兩直線的位置關系設直線l1.平行(k2.垂直(k1+k設直線l1<當l?∥l?時,A?B?當l?⊥l?時,A例4(1)求與已知直線3x-4y+8=0垂直，且與兩坐標軸圍成的三角形周長為8的直線方程.解析:4x+3y+C=00|c|=84x+3y±8=0(2)求與直線2x-3y-5=0平行，且與坐標軸圍成的三角形面積為3的直線方程.解析:2x-3y+c=002x-3y-6=0,2x-3y+6=0(3)直線l?:2x+(m+1)y+4=0和l?:mx+3y-2=0平行的m的值為-3或22(4)直線(a+2)x+(1-a)y-3=0與(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,則a的值為±1.(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0∴(5)已知三點A(2,-4),B(3,6),C(-8,1),求過△ABC的重心G且平行于邊AC的直線方程.G(-1,1)lx=x+2y+6=0l=x+2y-1=0(6)直線l?:ax+y+1=0,l?:a+ay+1=0,l?:x+y+a=0能圍成一個三角形，求a的取值范圍.k1l?、l?、l?互不平行a≠±1a≠1且a≠-1且a≠-2(7)求過點(cosθ,sinθ)且平行于直線xcosθ+ysinθ+2=0(θ∈R)的直線方程.xcosθ+ysinθ-1=0(六)點到直線的距離公式1.點P(x?,y?)到直線Ax+By+C=0的距離是d2.兩條平行直線.Ax+B例5(1)到直線3x-4y-1=0的距離為2的點的軌跡方程是(C)A.3x-4y-11=0B.3x-4y+11=0C.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0D.3x-4y+11=0或3x-4y+9=0(2)已知點A(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a=(C)A.2B.2-2C.2-(3)求過點A(-3,1)的直線中,與原點距離最遠的直線的方程是3x-y+10=0.直線與OA垂直k=3,過(-3,1)y=3(x+3)+1(4)過點P(1,2)引一直線,使A(2,3),B(4,-5)到它的距離相等,求這條直線的方程.解析:(①lAB?4x+y-11=04x+y-6=0②AB中點(3,-1)3x+2y-7=0(5)已知平行四邊形兩鄰邊所在直線方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,對角線交點是(3,3),求另兩邊所在的直線方程.x+y-13=0,3x-y-16=0(七)到角和夾角公式l?⊥l?時夾角為90°l?與l?不垂直且斜率存在時1.直線l?:y=k?x+b?,l?2.直線l?:y=k?x+b?,tan轉至l(1)已知直線l過點A(3,2),且與直線x+5y+6=0的夾角為45°,求直線l的方程.2x-3y=0,3x+2y-13=0(2)直線l?,l?斜率是方程6x2+x-1=0的兩根,則A.π/6B.π/4C.π/3D(3)等腰三角形ABC的直角頂點A(1，-2)，斜邊BC所在直線方程是22x+3y-6=0,求直角邊AB,AC所在直線方程.x-5y-11=05x+y-3=0※當AB或AC斜率不存在時不滿足.k1=-23,成(八)對稱問題例6(1)求P(3,4)關于點M(5,7)的對稱點的坐標(7,10).(2)求P(3,4)關于直線x=12的對稱點的坐標(21,4).(3)求P(3,4)關于直線y=-7的對稱點的坐標(3,-18).(4)求P(3,4)關于直線2x-y-6=0的對稱點的坐標31(5)求P(3,4)關于直線y=x+2的對稱點的坐標(2,5).(6)求P(3,4)關于直線y=-x+2的對稱點的坐標(-2,-1).例7(1)求直線3x-y-4=0關于點M(1,1)對稱的直線方程.3x-y=0(2)求直線3x-y-4=0關于原點對稱的直線方程.解析：33x-y+4=0(3)求直線3x-y-4=0關于直線x-y-2=0對稱的直線方程.解析:y=3x-4y=x-2交點(1,-1)在直線上取一點→對稱點y(4)求直線3x-y-4=0關于直線3x-y-2=0對稱的直線方程.解析:y=3x-4y=3x-2(無交點)平行直線3x-y=0例8(1)已知光線從點P(4,3)射到直線x+y+2=0上,反射后穿過點Q(-1,8),求入射光線和反射光線所在直線的方程.解:y=-x-2PLPQ=y=72x+23入射:2x-7y+13=0反射:7x-2y+23=0※切割定理P(2)已知點A(-3,5),B(2,15),在直線l:x-y+4=0上找一點P使|PA|+|PB|最小,并求出這個最小值.y=x+4P(x?,x?+4)|PA|+|PB|=|PA|+|PB′|B點-對稱點、B′(11,6)|(3)已知△ABC的三邊AB,BC,CA的中點分別是D(6,5),E(1,3),F(2,8),求△ABC三邊所在的直線方程.A(7,10)B(5,0)C(-3,6)5x-y-25=02x-5y+36=03x+4y-15=0(九)五種常用的直線系方程.1.過兩直線l?和l?交點的直線系方程為A?x+A此直線系為l?※需驗證l?直線例如:求過(1,3),且過直線2x+3y-5=0與直線x+y-2=0的交點的直線方程.2x+3y-5+λ(x+y-2)=0(1,3)λ=-3,x=1※單獨驗證l?2.與直線y=kx+b平行的直線系方程為y=kx+m(m≠b).3.過定點(x?,y?)的直線系方程為.y-y4.與Ax+By+C=0平行的直線系方程設為Ax+By+m=0(m≠C).5.與Ax+By+C=0垂直的直線系方程設為B例(1)兩條直線y=kx+2k+1和x+2y-4=0的交點在第四象限,則k的取值范圍是(C)A.(-6,2)BC.-12解析：恒過(-2,1)y=(2)若a+b+c=0,求證直線ax+by+c=0必經過一個定