緒論概率論顧名思義就是一門主要對象為概率研究而衍生出來的一門理論科學，自然界中總是充斥著隨機性以及必然性，然而隨機性又總是普遍存在的，于是概率論不斷發展已成必然趨勢。一門科學的研究以及發展總是從簡單到復雜，在概率論的誕生初期，一些諸如現代撲克牌，擲骰子的博彩游戲也都涉及到了概率論，當然只是應用了一些基本概念以及最簡單的方法，發展至今，概率論不在應用于單一的一門學科，而是應用于多門交叉學科，甚至連現代的人文科學都有涉及概率論。不等式的證明方法多種多樣，概率論在不等式的證明中扮演著重要的角色，可大大簡化證明的過程，因此能夠輕松的就把不等式證明出來。簡便直觀的證明過程使得我們一目了然，因此，應用概率論來證明不等式大大簡化了我們的工作量，并且直觀明了。在數學應用中，不等式是極其重要的分支，除了高等數學中的不等式之外，還有概率論中的不等式等。當然，有很多方法可以證明這些不等式，除了普通的數學方式加以證明之外，還可以將高等數學綜合起來加以證明，我們要掌握其數學思維，更加靈活應用其知識。本文主要是通過了解概率論中的四種不等式并加以證明，介紹著四種概率論不等式的應用，體會概率論的思想和方法，能夠運用概率論的思想和方法分析和解決問題，形成多種解題模式。

概率論中的幾個重要不等式馬爾可夫不等式如果隨機變量是只取非負值的，則對任意的有[1]證明：在連續情況下證明，設是的密度函數，則=馬爾可夫不等式給出了隨機變量的函數大于或等于一個正數的概率的一個上界。切比雪夫不等式設隨機變量的數學期望和方差都存在，則對任意常數ε＞0，有或[2]證明：設是一個連續隨機變量，其密度函數為。記，我們有由此可知切比雪夫不等式對連續隨機變量成立，對于離散隨機變量也可以相似進行證明。在概率論中，這個事件叫做大偏差，它的概率叫做大偏差發生的概率。切比雪夫不等式解決了事件的概率上界，且與方差成正比。數學期望不等式2.3.1預備知識數學期望離散型和連續型的定義，如表1所示：表SEQ表格\*ARABIC1數學期望離散型離散隨機變量的分布列如果，則稱為隨機變量的數學期望，或稱為該分布的數學期望，簡稱期望或均值。若級數不收斂，則稱的數學期望不存在。[2]連續型設連續隨機變量的密度函數為。若，則稱為隨機變量的數學期望，或稱為該分布的數學期望，簡稱期望或均值。若不收斂，則稱的數學期望不存在。2.3.2不等式（1）對任意隨機變量，都有。[3]（2）對任意隨機變量都有。[3]Jensen不等式2.4.1基礎知識（1）凹函數和凸函數定義如表2所示：表SEQ表格\*ARABIC2凹函數和凸函數凹函數定義設為定義在區間上的函數，若對區間上的任意兩點，，均有，總有，則稱為區間上的凹函數。（或二階導數大于0）。圖像圖SEQ圖\*ARABIC1凹函數凸函數定義凸函數：設為定義在區間上的函數，若對區間上的任意兩點，，均有，總有，則稱為區間上的凸函數。（或二階導數小于0。）圖像圖SEQ圖\*ARABIC2凸函數（2）條件期望：如表3所示表SEQ表格\*ARABIC3條件期望如果條件分布的數學期望存在，則稱為條件期望，其定義如下：第一種：為二維離散隨機變量，則第二種：為二維連續隨機變量，則2.4.2不同條件下的Jensen不等式先介紹Jensen不等式的經典形式，定義如下：如果為連續實值凸函數，且有，存在，，，則有[4]這就是其經典形式。在概率論中，Jensen不等式還有許多形式，接下來介紹其三種常用的不等式：離散型，連續型，條件期望型。如表4所示：表SEQ表格\*ARABIC4三種常用的Jensen不等式離散型（Jensen不等式1）[5]設為區間上的凸函數，為離散型隨機變量，且取值于上子集，期望為，則有（1）（2）若是嚴格凸函數，則當且僅當時成立。連續型（Jensen不等式2）[6]設是維隨機變量，是定義在上的凸函數，且,,則有（1）（2）若是嚴格凸函數，則當且僅當時成立。條件期望型（Jensen不等式3）[7]若是凸函數且連續，為關于為可積的隨機變量，那么關于的條件期望就存在，則有幾乎必然成立。不等式的應用在以上介紹的不等式中，我們可以運用其思想方法證明許多不等式。下面介紹其在以下幾個方面的應用。馬爾可夫不等式的應用3.1.1基礎知識馬爾可夫大數定律[1]：對隨機變量序列，若成立，則服從大數定律，即對任意的，成立。3.1.2馬爾可夫不等式證明某隨機變量是否服從大數定律假設是一個具有相同分布，方差存在的隨機變量序列，且只與相鄰的和相關，而與其他的不相關，該隨機變量序列服從大數定律嗎？解：為相依隨機變量序列，考慮其馬爾可夫條件記，則，于是有，即馬爾可夫條件成立，故服從大數定律。3.1.3馬爾可夫不等式應用總結通過以上證明，注意到大數定律的證明中，當隨機變量方差存在，并且滿足時，就可以運用馬爾可夫不等式，考慮馬爾可夫條件來證明。運用馬爾可夫不等式求解時，不需要知道非負隨機變量的分布函數，只需根據數學期望估計概率上界即可。切比雪夫不等式的應用3.2.1應用切比雪夫不等式證明伯努利大數定律伯努利大數定律[1]：設為重伯努利實驗中事件發生的次數，為每次實驗中出現的概率，則對任意的，有證明：因為，且的數學期望和方差為，，即，。所以由切比雪夫不等式得當時，上式右端趨于1，因此。3.2.2應用切比雪夫不等式證明切比雪夫大數定律切比雪夫大數定律[1]：設為一列兩兩不相關的隨機變量序列，若每個的方差存在，且有不同的上界，即，，則服從大數定律，即對任意的，成立。證明：因為兩兩不相關，故再由切比雪夫不等式得到：對任意的，有于是當時，有。3.2.3切比雪夫不等式的實際應用一個正常的成年男性每升血液中白血球的期望值是，標準差是，試著用切比雪夫不等式來估計每升血液中白血球數目介于至之間的概率。解：由題意知，所以由切比雪夫不等式得3.2.4切比雪夫不等式應用總結在以上理論應用中，可知當互不相關，且方差有限，就可以運用切比雪夫不等式加以證明。在以上實際應用中，可知當隨機變量的均值和方差存在時，就可以利用切比雪夫不等式來估計事件發生的概率。切比雪夫不等式可以求解事件的概率值，還可以估計隨機變量在區間內的概率值，同時還可以求解或證明一些概率不等式。數學期望不等式的應用3.3.1應用數學期望不等式證明柯西不等式柯西不等式：若與在上都連續，則有證明：設隨機變量的概率分布函數為，概率密度函數為，其分別為，由數學期望不等式,把以上各式代入，即可證明！3.3.2數學期望不等式的應用總結概率論中的數學期望可以看作是隨機變量的均值。由上述應用可知，當知道隨機變量的分布函數和概率密度函數時，相應就可以求出隨機變量的期望，當滿足數學期望不等式時就可以應用。Jensen不等式的應用3.4.1應用Jensen不等式證明和式不等式設和為兩組正實數，則有其中等號成立的充分必要條件為為常數。證明：有題意知，不妨設所有，函數是嚴格的凸函數，于是可得二階導數為由Jensen不等式1可得到，對于，成立。取，得不等式兩邊同時除，即可得到其中等號成立的充分必要條件是為常數。3.4.2應用Jensen不等式證明最小風險估計如果損失函數為凸函數，為的一個充分統計量，則基于的無偏一致的最小風險估計即為的無偏一致最小風險估計。證明：設為的任意無偏估計，考慮條件期望，由的充分性可知，此條件期望與無關，所以可以作為的一個估計。由于，則為的一個無偏估計。由的凸函數性質，通過Jensen不等式2，可以得到，所以基于的無偏估計即為的無偏一致最小風險估計。3.4.3Jensen不等式的應用總結由以上應用可知，用Jensen不等式求解問題時，首先要清楚函數之間的關系，比如它是凸函數還是凹函數，函數是離散的還是連續的，然后考慮使用離散型Jensen不等式或者連續型Jensen不等式。當涉及條件期望時，就應考慮條件期望型Jensen不等式。利用Jensen不等式解題時，最重要的一點是：隨機變量在什么條件下不等式取等號。概率論方法在不等式中的應用數學不等式的證明一般尤為繁瑣，然而概率論滲透入其中，融合應用便變得如此簡單，上述的不等式就充分的應用了概率論這一特點。微積分是高等數學研究的重要的一種方法以及思維，大多數數學研究的應用都離不開微積分的滲入，概率論亦是如此，微積分在概率論中充當著轉化為公理化，系統化和整體化的工具，若無這項工具，概率論的形成就尤為困難。同樣，概率論的思維方法也滲透到高等數學的教學過程中，所謂概率論的思維方法就是把問題一個一個地提取出來，把每個小問題看成一個事件，通過了解事件的各個關系，從而簡化問題，解決問題。下面通過簡要的例子體會。例1：若是取值于區間上的數，則有首先用高等數學的方法證明證明一：由題知：由此就可以證得結論成立。再用概率論的方法證明證明二：設是概率分別為的相互獨立事件，有概率論中的事件的性質可以得到又因為又因為是相互獨立事件，那么可得到：同理就知：又因為：則可得即證！由例1可知，兩種證明方法相比較而言，反而高等數學方法要簡單一點，那么概率論方法到底有啥優點呢？接下來通過一個例2直接體會概率論方法。例2：證：如果是區間上的下凸函數，則對任意的有。證明：對任意的實數且構造一離散型隨機變量，其隨機變量的分布為。有有由數學期望不等式得特別地，當時，有即證！通過以上兩個例子可知，有些時候用概率論的思想方法分析和解決問題會比基礎數學解決問題相對麻煩，所以需要合理選擇解題思路和解題方法。但是，可以看出，用概率論的方法解決問題，可以使分析問題時更加清晰，解題步驟會更加明了，方法簡單靈活，通俗易懂。一個問題可以由多種方法解決，然而，它的思維方式和解決問題的方法是不同的。不難看到,概率論的思維使我們能夠擴大我們的思想在解決問題的過程中,發現的關鍵問題更簡單和直觀,解決更具體的和抽象的數學問題,創造性地解決問題,培養創造性思維。結論本文首先著重介紹了概率論中的不等式，包括馬爾可夫不等式，切比雪夫不等式，數學期望不等式，Jensen不等式，并對這四種不等式給出了證明方法，了解了概率論不等式的思想方法。然后介紹了這四種不等式的實際應用和理論應用，應用馬爾可夫不等式證明隨機變量是否滿足大數定律以及求概率值；應用切比雪夫不等式證明伯努力大數定律和切比雪夫大數定律以及求概率上界；應用數學期望不等式證明了柯西不等式;應用Jensen不等式證明和式不等式和最小風險估計。通過這些應用，我們可以得出在什么條件下可以使用著四種不等式來解決問題。最后通過舉例來了解概率論的思想方法，即把每個問題看成一個事件（或構造隨機變量），通過了解各個事件之間的關系來分析，解決問題，培養多種解題思維。通過本文可以看出概率論不等式在數學中占極其重要的地位，我們發現有時候利用概率方法和概率思想去求解不等式的問題，往往會使問題得到簡化。當然概率方法也可以運用到其他領域上。利用概率方法可以讓問題更直觀簡潔明了。數學思維在生活中及其重要，概率論體現的數學思維也是我們要好好學習和利用的。參考文獻[1]李賢平.概率論基礎[M].北京:高等教育出版社，1997.[2]茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數理統計.北京:高等教育出版社，2011.[3]盛驟，謝世千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京:高等教育出版社，2011.[4]徐鳳林.Chebyshev不等式的應用[J].北京石油化工學院學報，2011,10（3）：10-12.[5]林正炎，陸傳榮，蘇中根.概率極限理論基礎[M].北京:高等教育出版社，1999．[6]劉敬.數學期望不等式的應用[J].河北北方學院學報:自然科學報，2008(4).[7]嚴加安.測度論講義[M].2版.北京：科學出版社，2004.

致謝經過兩個多月的時間，論文寫得接近尾聲了，也意味著我的大學生涯也即將結束，四年的時間過得很快，剛入學時候的好奇、興奮、激動種種心情都歷歷在目，轉眼畢業馬上就各奔東西了。大學這四年學會不少東西，無論是在學習上還是生活上都得到了成長。首先要感謝我的指導老師樸老師，從論文的選題到初稿再到終稿，從不管是內容還是排版的亂七八糟到現在的整個論文的完成，這中間整個過程多虧了有樸老