§5-10-1解斜三角形的應用目的：要求學生利用數學建模思想，結合正弦定理、余弦定理和解任意三角形的知識解決實踐中的有關問題。例1、自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構，設計時需要計算油泵頂桿BC的長度，已知車廂的最大仰角為60o，油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1.95米，AB與水平線之間的夾角為620’，AC長為1.40ABABC分析：這個問題在△ABC中，已知AB=1.95m，AC=1.40m，∠CAB=60o+6o20`=66o20`，求BC的長．即解斜三角形中，已知兩邊和夾角，求其它的問題，故需使用余弦定理．解：由余弦定理，得：BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=1.952+1.402-2×1.95×1.40×cos66o20`=3.571∴BC≈1.89m答：頂桿BC的長約為1.89米．ABC例1`、[變題]假定自動卸貨汽車裝有一車貨物，貨物與車箱的底部的滑動摩擦系數為0.3，油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1.95米，AB與水平線之間的夾角為620’ABC解：設車箱傾斜角為，貨物重量為，當即時貨物下滑∴，∴，∴，mgsinmgcosfmg∴mgsinmgcosfmg在△ABC中:∴例2、如圖是曲柄連桿機構的示意圖，當曲柄CB繞C點旋轉時，連桿AB的傳遞，活塞作直線往復運動．當曲柄在CBo位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點A在Ao處．設連桿AB長為340mm，曲柄CB長為85mm，曲柄自CBo按順時針方向旋轉80o，求活塞移動的距離(即連桿的端點A移動的距離AoA)(精確到1mm)AoCBoAB分析：因為AoA=AoC-AC，又知AAoCBoAB解法1、在△ABC中，由正弦定理可得：∵BC<AB∴A為銳角，可得：A=14o15`∴B=180o-(A+C)=85o45`由正弦定理得：∴AoA=AoC-AC=(AB+BC)-AC=(340+85)-344.3=80.7≈81mm解法2、△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC·BC·∴3402=AC2+852-2AC·85·cos80解得：AC=344.3mm∴AoA=AoC-AC=(AB+BC)-AC=(340+85)-344.3=80.7≈81mm答：活塞移動的距離約為81mmTTCBCDA例3、某人在塔的正東方向沿南偏西60TTCBCDA分析：欲使仰角最大，則需離塔最近，作TC⊥AB，則在C處看塔仰角最大，只需求出TC長即可，然后在Rt△DTC中解出DT的長解：由題意知：∠A=30o，∠ATB=135o，由正弦定理得：，即：，解得TB=∴TC=TB×sin15o=×在Rt△DTC中，∠C=30o，∴TD=TCtan30o=(米)答：塔高米．例4、我方緝私艇觀察到走私船在它的北偏東60o的方向，且相距50海里，此時走私船向北逃竄，我方船速食走私船的倍，則我方應采取什么方向前進才能追上走私船？此時走私船行駛了多少海里？A東北BCθA東北BCθ則我方緝私艇行駛AC=x海里，且∠ABC=120o由正弦定理，可得：∴，解得：θ=30o∴我方應沿北偏東30o方向行駛又∵θ=C=30o∴BC=AB=50，故此時走私船行駛了50海里．ABCD例5、如圖，河對岸有兩目標A、B，在岸邊去相距千米的C、D兩點，并測得∠ACB=75∠BCD=45∠ADC=30∠ADB=45，求目標ABCD解：△ACD中，AC=CD=△BDC中，(正)BC=△ABC中，(余)AB=練、我艦在敵島A南50西相距12nmile的B處，發現敵艦正由島沿北10西的方向以10nmile/h的速度航行，問：我艦需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小時追上敵艦？解：在△ABC中：AB=12