數集分類:N----自然數集Z----整數集Q----有理數集R----實數集數集間的關系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規定空集為任何集合的子集.第一頁第二頁，共23頁。2.區間:是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區間的端點.稱為開區間,稱為閉區間,第二頁第三頁，共23頁。稱為半開區間,稱為半開區間,有限區間無限區間區間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區間的長度.第三頁第四頁，共23頁。3.鄰域:第四頁第五頁，共23頁。二有界集·確界原理1有（無）界數集:定義(上、下有界,有界)數集S有上界數集S無上界數集S有下界數集S無下界數集S有界數集S無界＞＜＞第五頁第六頁，共23頁。閉區間、開區間為有限數）、鄰域等都是有界數集，集合也是有界數集.,等都是無界數集,集合也是無界數集.第六頁第七頁，共23頁。例1證明集合

是無界數集.,存在

由無界集定義，E為無界集。證明：對任意第七頁第八頁，共23頁。2確界:定義R,數M若滿足1）M是E的上界2）是任一上界，必有則稱M是E的最小上界或上確界，記作或。命題1的充要條件1）M是E上界，2）使得。第八頁第九頁，共23頁。證必要性，用反證法。設2）不成立，則使得，均有，與M是上確界矛盾。充分性，用反證法。設M不是E的上確界，即是上界,但。令，由2)，，使得，與是E的上界矛盾。第九頁第十頁，共23頁。

定義2R，m滿足1）m是下界，2）是E的任意下界，必有.則稱m為E的下確界或最大下界。記作：或.命題2m=的充要條件1）m是E的下界，2）使得.＜第十頁第十一頁，共23頁。例2⑴則

⑵則例3設S和A是非空數集，且有則有.第十一頁第十二頁，共23頁。例4設A和B是非空數集.若對和都有則有證y是A的上界,是B的下界,第十二頁第十三頁，共23頁。例4設A,B為非空數集,滿足:證明數集A有上確界,數集B有下確界,且證:

故有確界原理知,數集A有上確界,數集B有下確界.

是數集A的一個上界,而由上確界的定義知由假設,數集B中任一數

都是數集A的上界,

A中任一數

都是B的下界,

是數集A的最小上界,故有

而此式又表明數

是數集B的一個下界,

故由下確界的定義證得

第十三頁第十四頁，共23頁。例5

為非空數集,

試證明:

證

有或

由和分別是的下界,有或即

是數集的下界,

.和第十四頁第十五頁，共23頁。

又的下界就是的下界,是的下界,

是的下界,

同理有.于是有綜上,有第十五頁第十六頁，共23頁。例5

為非空數集,

試證明:

證

有或

由和分別是的下界,有或即

是數集的下界,

.和第十六頁第十七頁，共23頁。命題3：設數集有上（下）確界，則這上，且，則不妨設有對，使，矛盾。（下）確界必是唯一的。證：設第十七頁第十八頁，共23頁。3.數集與確界的關系:確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.4.確界與最值的關系:設E為數集.

⑴E的最值必屬于E,但確界未必,確界是一種臨界點.

⑵非空有界數集必有確界(見下面的確界原理),但未必有最值.

⑶若存在,必有對下確界有類似的結論.第十八頁第十九頁，共23頁。

5確界原理

定理1(確界原理).設E為非空數集，若E有上界，則E必有上確界；若E有下界，則E必有下確界。第十九頁第二十頁，共23頁。非空，有上界：，(1).若中有最大數，則即為上確界；中無最大數，用下述方法產生實數的一個分劃；，其余的實數歸入下類，則是實數的一個分劃。證明設.(2).若的一切上界歸入上類

。其次，由于不是的最大數，所以它不是的上界，即。這說明中任一元素都屬于下類；A,B不空.首先取第二十頁第二十一頁，共23頁。A、B不漏性由A、B定義即可看出；

A、B不亂.設，因a不是E的上界，，使得，而E內每一元素屬于A，所以

.

由的證明可見無最大數.

所以是實數的