專題25：二面角的常見求法<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>立體幾何中的二面角是一個非常重要的數學概念，求二面角的大小更是歷年高考的熱點問題，每年各省、市的高考試題中幾乎都會出現此類題型。其求解的策略主要有兩類方法：其一是找出二面角的平面角進行求解；其二是間接法：射影法，空間向量法等.在高考中常常以解答題出現，其試題難度屬中高檔題.<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型題型一：定義法由二面角的定義，設法從棱上某一點O出發在兩個半平面內都找到垂直于棱的射線OA和OB，則∠AOB就是二面角的平面角.例1(2022·新高考1卷19)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為設D為A1C的中點，AA1=AB，平面A【思路點撥】由題意得到△DAB?△DBC,過點A作AH⊥DB，則CH⊥DB，由二面角的定義得∠AHC為所求二面角的平面角，再計算二面角的余弦值從而得到所求的值練1(2022·浙江省溫州市期末)如圖，三棱錐A-BCD中，△ABC為等邊三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．當AD與平面BCD所成角為45°時，求二面角C-AD-B的余弦值．

【思路點撥】由AD與平面BCD所成角確定正三角形ABC邊長與CD長的關系，再作二面角C-AD-B的平面角，借助余弦定理計算即可.題型二：題型二：垂面法垂面法：作一個與棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角。用垂面法尋找面的垂線，切入點就是尋找面的垂面，然后由面面垂直得到線面垂直，垂面法是我們解決有關求點到平面的距離、直線和平面所成的角與二面角的重要方法之一。例2(2020·江蘇省南京市模擬)如果二面角α-l-β的平面角是銳角，空間一點P到平面α、β和棱l的距離分別為22【思路點撥】本題可借助已知條件構造出經過PA,PB的平面，再證明該平面與二面角的面的交線所成角即為二面角的平面角,分點P在二面角α-練2(2020·浙江省單元測試改編)設P是二面角α-l-β內一點，P到面α、【思路點撥】經過PA,PB的截面與棱l交于點C，由二面角平面角的定義知∠ACB就是所求的平面角.題型三：射影法題型三：射影法在沒有給出棱的二面角問題中，可以根據題設條件先分別求出該二面角的一個面的面積及其射影的面積，再借助該面的面積與其射影的面積之間的關系S'=Scosθ（例3(2022·湖北省武漢市模擬)棱長為a正方體ABCD-A1B1C1D1中，E【思路點撥】利用圖形在底面的射影圖形的面積之間的關系（即面積射影定理）進行分析求解.練3(2022·安徽省合肥市模擬)正方體ABCD-A1B1C1D1【思路點撥】此題屬無棱二面角問題，圖中沒有二面角的棱，我們也可以去找到棱去解決，但這里通過射影而直接求角更方便.題型四：三垂線法題型四：三垂線法在二面角α-l-β中，若A∈α,B∈β且AB⊥β，則過點B作BO⊥l,由三垂線定理可證AO⊥l，即∠AOB就是二面角的平面角.例4(2021·新高考1卷20)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC【思路點撥】過點E找出面BCD的垂線，就可以利用三垂線法找出二面角的平面角.練4(2013·新課標2理科18)如圖,直棱柱ABC-A1B1CAA1=AC【思路點撥】可以證明DE⊥平面A1DC，因而過D作DF⊥A那么∠DFE為二面角D-題型五：補形法題型五：補形法當一個幾何體不規則時，可以適當補幾何體使得新的幾何體是特殊幾何體時，往往就容易解決問題了例5(2006·江西省高考題改編)如圖,在三棱錐A-BCD中,側面ABD,ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=3,BD=CD=1,另一個側面求二面角B-AC【思路點撥】分析已知得到A,B,C,D是正方體的其中四個頂點，所以以B為原點建立空間直角坐標系,通過長度找到A點坐標,求出平面BAC和平面ACD的法向量,求出法向量夾角的余弦值的絕對值,即二面角B-AC-練5(2023·安徽淮南市一模)在三棱錐S-ABC中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠SAB=∠SCB=∠ABC=90°.若AB=2,SC=22，求平面與平面夾角的余弦值.【思路點撥】三棱錐S-ABC中不易找到兩兩垂直的三直線，我們設法補成特殊幾何體，就容易建立空間直角坐標系解決問題了.題型六：補角法題型六：補角法當二面角的平面角為鈍角，可以求其補角，再利用定義法或三垂線法來找求二面角.例6(2004·福建省高考真題)在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=22，M為AB的中點．求二面角S-CM-B的的【思路點撥】取CM的中點N，連接DN、SN，分析可知二面角S-CM-A的平面角為∠SND，通過解△SDN練6(2022·河北省模擬)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為AB的中點，若AB=2，【思路點撥】轉化為求其補角，利用三垂線法作出二面角的平面角從而求解．顯然二面角A1-BC1題型七：空間向量法題型七：空間向量法若求一個二面角不容易使用定義法和三垂線法，又容易建立適當的空間直角坐標系，則寫出相應點的空間直角坐標然后求出兩個平面的法向量，再利用cosθ=a例7(2022·河南校考階段練習)如圖所示，二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，則該二面角的大小為（

）A．π6 B．π4 C．π【思路點撥】根據垂直的條件得CA?AB=0，AB例8(2020·全國1卷理科18)如圖,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD,△ABC是底面的內接正三角形，P為DO上一點，PO=66【思路點撥】二面角B-PC-E練7(2022·新高考2卷20)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點，∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5．求二面角C-AE-B的正弦值.【思路點撥】因為AB⊥AC，因而以AB，AC分別為軸，軸，就可以建立適當的空間直角坐標系了.<<<專題訓練>>><<<專題訓練>>>1.(2022·廣東省梅州市模擬)已知點A、B分別在二面角α-l-β的兩個面α、β上,AC⊥l，BD⊥l，C、D為垂足，AC=BD=CD，若AB與l成60°角，則二面角α-l-β為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°2.(2022·貴州省貴陽市聯考)二面角α-l-β的棱上有兩個點A、B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內，并且垂直于棱l，若AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，則平面α與平面β的夾角為

．3.(2020·浙江省十校聯考)已知正四面體ABCD的棱長為1，點M是棱CD的中點，則二面角M-AB-D的余弦值為

．4.(2020·江蘇省南京市模擬)在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，現將△ACD沿對角線AC向上翻折，得到空間四邊形ABCD，若BD=62，則二面角D-AC-B的大小的余弦值為

5.(2023·廣東省深圳市聯考)如圖，三棱錐M-ABC中，△MAC是邊長為23的等邊三角形，MB=4，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，點N?平面ABC，點O，O?1分別為線段AB、MN的中點，且OO?1⊥(1)證明：BC⊥平面MAC；(2)證明：四邊形BCMN為矩形；(3)求平面MAC和平面NAB夾角的余弦值．6.(2023·湖北高三校聯考階段練習)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB⊥AA1，求平面B1BCC7.(2023·湖北省武漢市聯考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB//DC，PA⊥底面ABCD，點E為棱PC的中點，AD=DC=AP=2AB=2．(1)證明：BE//平面PAD;(2)在棱PC上是否存在點F，使得二面角F-AD-C的余弦值為1010，若存在，求出PF8.(2023·天津市期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，∠PAB=60°．

(1)證明AD⊥平面PAB；

(2)求異面直線PC與AD所成的角的正切值；

(3)9.(2023·江蘇省南京市模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AD⊥平面PCD，平面ADP⊥平面APC，PC=PD