2022-2023學年九年級數學上學期復習備考高分秘籍（月考+期中+期末）【北師大版】專題1.1特殊的四邊形精講精練【知識梳理】1.菱形的性質（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．（2）菱形的性質

①菱形具有平行四邊形的一切性質；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（3）菱形的面積計算

①利用平行四邊形的面積公式．

②菱形面積=122.菱形的判定①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．幾何語言：∵AB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．幾何語言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形3.菱形的性質與判定（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．4.矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設條件與這個四邊形的對角線有關，通常證這個四邊形的對角線相等．②題設中出現多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．5.矩形的性質（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．6.矩形的判定與性質（1）關于矩形，應從平行四邊形的內角的變化上認識其特殊性：一個內角是直角的平行四邊形，進一步研究其特有的性質：是軸對稱圖形、內角都是直角、對角線相等．同時平行四邊形的性質矩形也都具有．在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質，則可以簡捷地解決與角、線段等有關的問題．（2）下面的結論對于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③點O到三個頂點的距離都相等．7.正方形的性質（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．8.正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．9.四邊形綜合問題（1）正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質．（2）正方形的判定正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【典例剖析】【考點1】菱形的性質【例1】（2021·天津市西青區楊柳青第二中學八年級期中）如圖，菱形ABCD對角線AC與BD交于點O，點E是DC邊上的中點，連接OE,OE=5，BD=12，則菱形的周長為（

），面積為（

）A．40、96 B．20、48 C．40、192 D．20、24【變式1.1】（2022·山東·鄒平市梁鄒實驗初級中學八年級期中）矩形具有而菱形不具有的性質是（

）A．對角線互相平分 B．對角線相等C．對角線垂直 D．每一條對角線平分一組對角【變式1.2】（2022·江蘇·泰州市民興中英文學校八年級階段練習）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=4，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F，G分別在邊AB，AD上，則EF的長為（

）A．72 B．12 C．74【變式1.3】（2022·山東菏澤·八年級期中）如圖，點E，F在菱形ABCD的對角線AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED與BF的延長線交于點M．則對于以下結論：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC．其中正確結論的個數是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點2】菱形的判定【例2】（2022·福建·莆田哲理中學八年級階段練習）如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊的中點，對角線AC=BD，則四邊形EFGH是（）A．菱形 B．矩形C．平行四邊形 D．以上都不是【變式2.1】（2021·內蒙古·霍林郭勒市第五中學八年級階段練習）順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得到的四邊形一定是（

）A．菱形 B．矩形 C．平行四邊形 D．正方形【變式2.2】（2022·江蘇·海安市曲塘中學附屬初級中學八年級階段練習）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中錯誤的是（

）A．當∠ABC=90°時，它是矩形 B．當AB=BC時，它是菱形C．當AC⊥BD時，它是菱形 D．當AC=BD時，它是正方形【答案】D【變式2.3】（2022·北京師大附中八年級期中）如圖，五邊形ABCDE中，AB＝AE＝DE，CD＝CB，∠A＝∠ABC＝∠CDE＝∠DEA＝120°，點G為BC中點，將△ABE沿BE對折后得到△FBE，以下四個結論：①四邊形ABFE為菱形；②四邊形BGDE為矩形；③DG＝2AB；④如果AB＝a，那么五邊形ABCDE的面積為743a2，其中正確的結論有（

A．1 B．2 C．3 D．4【考點3】菱形的性質與判定【例3】．（2021·天津市西青區楊柳青第二中學八年級期中）如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD于點O，∠ABC:∠BAD=1:2(1)若AC=2，求BO的長．(2)在（1）的條件下，若BE∥AC，CE∥【變式3.1】（2021·重慶·墊江第八中學校八年級階段練習）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，請用尺規完成基本作圖：作∠BAD的角平分線，交BC于點E，在AD上截取AF=AB，連接EF，猜想BE與FE的數量關系，并證明你的猜想【變式3.2】（2022·山東聊城·八年級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC,AB=1,BC=5．對角線AC,BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC,AD于點E，F(1)證明：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)證明：在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；(3)在旋轉過程中，當AC繞點O順時針旋轉多少度時，四邊形BEDF是菱形，請給出證明．【變式3.3】（2022·廣西桂林·八年級期末）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過AC的中點O作EF⊥AC，交BC于點E，交AD于點F，連接AE，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若DF=3，∠DCF=30°，求四邊形AECF的周長．【考點4】矩形的性質【例4】（2022·江蘇·南通市八一中學八年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB的中點，F為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是（

）【變式4.1】（2022·江西·泰和水槎中學八年級期末）如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對角線AC上，折痕為CE，且D點落在對角線上的D′處．若AB=3，AD=4，則ED的長為（

A．32 B．3 C．1 D．【變式4.2】（2022·江蘇·江陰市陸橋中學八年級階段練習）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB=6，BC=8，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE＋EF的值為（）

A．485 B．325 C．245【變式4.3】（2022·福建·莆田哲理中學八年級階段練習）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E是邊AD上的一點，將△AEB沿BE所在的直線折疊，使點A落在BD上的點G處，則AE的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點5】矩形的判定【變式5.1】（2022·河北滄州·八年級期末）已知在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，添加下列條件后，能夠得到四邊形ABCD是矩形的是（

）A．OA=OC B．AC=AD C．AB∥CD 【變式5.2】（2022·湖北襄陽·中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列說法正確的是（

）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【變式5.3】（2022·山東威海·八年級期末）四邊形ABCD是平行四邊形，下列說法錯誤的是（

）A．當AB=CD時，四邊形ABCD是矩形B．當AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形C．當∠BAD=90°時，四邊形ABCD是矩形D．當AC平分∠BAD時，四邊形ABCD是菱形【考點6】矩形的性質與判定【例6】（2022·浙江·義烏市賓王中學八年級期中）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E、F分別是BO、DO的中點，G、H分別是AD、BC的中點，順次連接G、E、H、F．(1)求證：四邊形GEHF是平行四邊形；(2)若BD＝2AB．①探究四邊形GEHF的形狀，并說明理由；②當AB＝2，∠ABD=60°時，求四邊形GEHF的面積．【變式6.1】（2022·江蘇·海安市曲塘中學附屬初級中學八年級階段練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC的中點，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點O．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE對角線的長．【變式6.2】（2022·江蘇·鹽城市毓龍路實驗學校八年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數；(3)在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．【變式6.3】（2022·山東東營·八年級期末）如圖1．在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝DC＝16，AD＝12，點E是CD邊的中點，連接(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)求△CFD的面積；(3)如圖2，連接AC交BD于點O，點P為EC上一動點，連接OE、OP．將△OPD沿OP折疊得到△OPM，PM交OC于點N，當△PCN為直角三角形時，求CP的長．【考點7】正方形的性質【例7】（2022·河北秦皇島·八年級期末）如圖，?ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，點G、H在邊BD上，且AE=CF，BG=DH，關于四邊形EGFH，下列說法正確的個數是(

)①四邊形EGFH一定是平行四邊形且有無數個；②四邊形EGFH可以是矩形且有無數個；③四邊形EGFH可以是菱形且有無數個；④四邊形EGFH可以是正方形且有無數個；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式7.1】（2022·江蘇·江陰市華士實驗中學八年級階段練習）正方形ABCD的邊AB上有一動點E，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過點D．在點E從點A移動到點B的過程中，矩形ECFG的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【變式7.2】（2021·福建·平潭翰英中學九年級期中）如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉90°到△ABF的位置．若四邊形AECF的面積為36，DE＝2，則AF的長為（

）A．6 B．32 C．8 D．2【變式7.3】（2022·江蘇·飛達路中學八年級階段練習）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，且CE=DF，AE，BF相交于點O，下列結論①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四邊形DEOFA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點8】正方形的判定【例8】（2021·湖北·襄陽市樊城區青泥灣中學八年級階段練習）如圖，已知在正方形ABCD中，E是BC上一點，將正方形的邊CD沿DE折疊到DF，延長EF交AB于點G，連接DG．現有如下4個結論：①AG=GF；②AG與EC一定不相等；③∠GDE=45°；④△BGE的周長是一個定值．其中正確的是（A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【變式8.1】（2022·河南南陽·八年級期末）下列關于?ABCD的敘述，正確的是（

）A．若AC＝BD，則?ABCD是矩形 B．若AB＝AD，則?ABCD是正方形C．若AC⊥BC，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是正方形【變式8.2】（2021·黑龍江綏化·八年級期末）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（

）A．當AB=BC時，它是菱形 B．當AC⊥BD時，它是菱形C．當AC=BD時，它是矩形 D．當AC=BD時，它是正方形【變式8.3】（2022·安徽合肥·八年級期末）下列說法正確的是（

）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．有一組鄰角相等的平行四邊形是矩形C．對角線互相垂直的四邊形是菱形D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【變式8.4】（2022·河南南陽·八年級期末）一個四邊形順次添加下列中的三個條件便得到正方形：a．兩組對邊分別相等b．一組對邊平行且相等c．一組鄰邊相等d．一個角是直角順次添加的條件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c則正確的是（

）A．①② B．②③ C．