專題10.2二元一次方程組的應用【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1行程問題】 1【題型2工程問題】 3【題型3銷售、利潤問題】 7【題型4數字問題】 10【題型5年齡問題】 13【題型6分配問題】 15【題型7和、差、倍、分問題】 19【題型8幾何問題】 22【題型9圖表信息問題】 25【題型10方案問題】 29【題型1行程問題】【例1】（2022·黑龍江齊齊哈爾·七年級期末）甲乙二人分別從相距20千米的A，B兩地出發，相向而行．如果甲比乙早出發半小時，那么在乙出發后2小時，他們相遇；如果他們同時出發，那么1小時后兩人還相距11千米，求甲乙二人每小時各走多少千米？【答案】甲每小時走4千米，乙每小時走5千米【分析】設甲每小時走x千米，乙每小時走y千米，根據題意列出方程組解答即可．【詳解】解：設甲每小時走x千米，乙每小時走y千米，根據題意，得0.5+2x+2y=20整理，得2.5x+2y=20x+y=9解得x=4y=5答：甲每小時走4千米，乙每小時走5千米．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解決本題的關鍵是根據題意找到等量關系．【變式1-1】（2022·江蘇·無錫市查橋中學七年級階段練習）甲、乙二人在一個大型環形場地上從A點同時同向勻速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，當4分鐘時兩人首次相遇，此時乙還需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及環形場地的周長．【答案】甲的速度為375米/分，乙的速度為150米/分，環形場地的周長為900米．【分析】設乙的速度為x米/分，則甲的速度為2.5x米/分，環形場地的周長為y米，根據環形問題的數量關系，同時、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝環形周長建立方程組求出其解即可．【詳解】解：設乙的速度為x米/分，則甲的速度為2.5x米/分，環形場地的周長為y米，由題意，得：2.5x×4-4x=y4x+300=y解得：x=150y=900∴甲的速度為：2.5×150＝375米/分；答：甲的速度為375米/分，乙的速度為150米/分，環形場地的周長為900米．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解答時運用環形問題的數量關系建立方程是關鍵．【變式1-2】（2022·安徽·肥西縣嚴店初級中學七年級階段練習）小北同學早晨騎車去上學，半小時可到達學校，媽媽發現他的數學書丟在家中，在小北出發310小時后乘上出租車去學校送書，出租車每小時的速度比小北騎車的速度快20千米，由于市政建設，出租車到校行駛的路程比小北騎車行駛的路程多1【答案】5千米【分析】設小北每小時騎行x千米，騎行y千米到達學校，利用小北同學早晨騎車去上學，半小時可到達學校和出租車到校行駛的路程比小北騎車行駛的路程多1千米，恰好與小北同時到達學校列出方程組即可求解．【詳解】解：設小北每小時騎行x千米，騎行y千米到達學校，由題意可得12解得x=10y=5答：小北需要騎行5千米到達學校．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，讀懂題意，找出題目的等量關系是解題的關鍵．【變式1-3】（2022·安徽合肥·七年級期末）甲從A地出發步行到B地，乙同時從B地步行出發至A地，2小時后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小時．若設甲剛出發時的速度為a千米/小時，乙剛出發的速度為b千米/小時．（1）A、B兩地的距離可以表示為千米（用含a，b的代數式表示）；（2）甲從A到B所用的時間是：小時（用含a，b的代數式表示）；乙從B到A所用的時間是：小時（用含a，b的代數式表示）．（3）若當甲到達B地后立刻按原路向A返行，當乙到達A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小時36分鐘又再次相遇，請問AB兩地的距離為多少？【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+2ba+1）；（2+2ab+1）；（3【分析】（1）根據兩地間的距離=兩人的速度之和×第一次相遇所需時間，即可得出結論；（2）利用時間=路程÷速度結合2小時后第一次相遇，即可得出結論；（3）設AB兩地的距離為S千米，根據路程=速度×時間，即可得出關于（a+b），S的二元一次方程組（此處將a+b當成一個整體），解之即可得出結論．【詳解】（1）A、B兩地的距離可以表示為2（a+b）千米．故答案為：2（a+b）．（2）甲乙相遇時，甲已經走了2a千米，乙已經走了2b千米，根據相遇后他們的速度都提高了1千米/小時，得甲還需2ba+1小時到達B地，乙還需2ab+1小時到達所以甲從A到B所用的時間為（2+2ba+1）小時，乙從B到A所用的時間為（2+2a故答案為：（2+2ba+1）；（2+2a（3）設AB兩地的距離為S千米，3小時36分鐘＝185依題意，得：S=2(a+b)2S=18令x＝a+b，則原方程變形為S=2x2S=解得：x=18S=36答：AB兩地的距離為36千米．【點睛】本題考查了列代數式以及二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【題型2工程問題】【例2】（2022·陜西·西安高新一中實驗中學八年級期末）某廠的甲、乙兩個小組共同生產某種產品，若甲組先生產1天，然后兩組又各自生產7天，則兩組產品一樣多；若甲組先生產了300個產品，然后兩組又各自生產了5天，則乙組比甲組多生產200個產品；求兩組每天各生產多少個產品？【答案】甲、乙兩組每天個各生產700、800個產品【分析】設甲、乙兩組每天個各生產x、y個產品，則根據若甲組先生產1天，然后兩組又各自生產了7天，則兩組產量一樣多．若甲組先生產了300個產品，然后兩組各自生產5天，則乙組比甲組多生產200個產品兩個等量關系列方程組求解即可．【詳解】解：設甲、乙兩組每天個各生產x、y個產品，根據題意得：1+7x=7y解得：x=700y=800答：甲、乙兩組每天個各生產700、800個產品．【點睛】本題考查列二元一次方程組解應用題，掌握列二元一次方程組解應用題的方法與步驟，抓住等量關系是解題關鍵．【變式2-1】（2022·江蘇淮安·七年級期中）一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元．(1)甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元；(2)已知甲單獨完成需12天，乙單獨完成需24天，單獨請哪個組，商店所需費用少？(3)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現有如下三種方式裝修：①甲單獨做；②乙單獨做；③甲乙合做，你認為如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）問的條件及結論）【答案】(1)甲組工作一天，商店應付300元，乙組工作一天，商店應付140元(2)單獨請乙組，商店所需費用少(3)安排甲乙合作施工更有利于商店【分析】（1）根據題意建立方程組并求解；（2）將單獨請甲乙組的費用計算出來，再進行比較，得出答案；（3）將三種方案損失費用計算出來進行比較，得出答案．（1）設甲組工作一天，商店應付x元，乙組工作一天，商店應付y元，依題意得：8x+8y=35206x+12y=3480解得：x=300y=140答：甲組工作一天，商店應付300元，乙組工作一天，商店應付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴單獨請乙組，商店所需費用少．（3）選擇①：（300+200）×12＝6000（元）；選擇②：（140+200）×24＝8160（元）；選擇③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際運用，熟練掌握方程組的實際運用是本題解題關鍵．【變式2-2】（2022·廣西賀州·七年級期末）在某外環公路改建工程中，某路段長6140米，現準備由甲、乙兩個工程隊擬在25天內(含25天)合作完成，已知兩個工程隊各有20名工人(設甲、乙兩個工程隊的工人全部參與生產，甲工程隊每人每天工作量相同，乙工程隊每人每天工作量相同)，甲工程隊1天、乙工程隊2天共修路400米；甲工程隊2天、乙工程隊3天共修路700米．（1）試問：甲、乙兩個工程隊每天分別修路多少米?（2）甲、乙兩個工程隊施工8天后，由于工作需要需從甲隊調離m人去其他工程工作，總部要求在規定時間內完成，請問：甲工程隊最多可以調離多少人?【答案】（1）甲、乙兩工程隊每天分別修路200米和100米；（2）8人【分析】（1）設甲工程隊每天修路x米，乙工程隊每天修路y米．，根據題意列出方程組求解即可；（2）設甲工程隊最多可以調走m人，根據路段長6140米，在25天內合作完成和甲、乙工程每天修路的米數，列出方程，求出m的值即可；【詳解】解：（1）設甲工程隊每天修路x米，乙工程隊每天修路y米．依題意，得：{解之得：{答：甲、乙兩工程隊每天分別修路200米和100米．（2）設甲工程隊最多可以調走m人．依題意，得：8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m)=6140．解之得：m=8．答：甲工程隊最多可以調走8人．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，讀懂題目信息，理清題中的數量關系，找準等量關系列出方程組是解題的關鍵.【變式2-3】（2022·全國·七年級專題練習）面對某國不斷對我國的打壓，我國自主品牌抗住壓力．以華為手機為例，今年一月份我國某工廠用自主創新的A、B兩種機器人組裝某款華為手機，每小時一臺A種機器人比一臺B種機器人多組裝50個該款華為手機，每小時10臺A種機器人和5臺B種機器人共組裝3500個該款華為手機．（1）今年一月份，該工廠每小時一臺A種機器人、一臺B種機器人分別能組裝多少個該款華為手機？（2）該工廠原有A、B兩種機器人的數量相等，因市場銷售火爆，二月份該工廠增加了一部分A種機器人并淘汰了一部分B種機器人，這樣A種機器人的數量增加了2m%，B種機器人數量減少了m%．同時，該工廠對全部A種機器人進行了升級改造，升級改造后的機器人命名為C種機器人，已知每小時一臺C種機器人組裝該款華為手機的數量比原一臺A種機器人組裝該款華為手機的數量增加了15，每小時C種機器人和B種機器人組裝該款華為手機的數量之和比A種機器人和B種機器人組裝該款華為手機的數量之和提高了20%，求m【答案】（1）A種機器人每小時組裝250個該款華為手機，B種機器人每小時組裝200個該款華為手機；（2）m的值為6.25．【分析】（1）設A種機器人每小時組裝a個該款華為手機，B種機器人每小時組裝b個該款華為手機，列出方程組解答即可；（2）根據“每小時C種機器人和B種機器人組裝該款華為手機的數量之和比A種機器人和B種機器人組裝該款華為手機的數量之和提高了20%”題意列出方程解答即可．【詳解】解：（1）設A種機器人每小時組裝a個該款華為手機，B種機器人每小時組裝b個該款華為手機，則a=b+50解得：a=250b=200答：A種機器人每小時組裝250個該款華為手機，B種機器人每小時組裝200個該款華為手機；（2）設該工廠原有A、B兩種機器人的數量為a臺，則A種機器人的數量為（1+2m%）a，B種機器人的數量為（1-m%）a，每小時一臺C種機器人組裝250(1+15)=300根據題意得：3001+2m%設m%=x，方程整理得：300+600x+200-200x=300+240-240x，即640x=40，解得：x=0.0625，∴m=6.25．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應的方程組．【題型3銷售、利潤問題】【例3】（2018·貴州·貴陽樂灣國際實驗學校八年級階段練習）2018年某歌手地表最強巡回演唱會于11月17日在貴陽奧林匹克體育中心舉行，小穎購買了一張票價為四位數的場地票（動感地帶專屬），而小明一張購買了票價為三位數的看臺票（動感地帶專屬）．小穎說，“在你的票價前面多寫個1,都還比我的便宜200元”；小明說，“只需在我的票價后多寫個0，就比你的貴3120元”.請問小穎和小明購買的演唱會門票各是多少元？【答案】1680元，480元.【分析】設小穎的票價為x元，小明的票價為y元，根據“小穎說，“在你的票價前面多寫個1,都還比我的便宜200元”；小明說，“只需在我的票價后多寫個0，就比你的貴3120元”.”找到等量關系，列出方程組，解方程組即可.【詳解】設小穎的票價為x元，小明的票價為y元，根據題意得：x-1000+y解得：x=1680y=480答：小穎和小明購買的演唱會門票分別為：1680元，480元.【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，正確的找到等量關系是解答關鍵.【變式3-1】（2022·江西吉安·八年級期末）2018年10月，吉州區井岡蜜柚節迎來了四方游客，游客李先生選購了井岡蜜柚和井岡板栗各一箱需要200元．他還準備給4位朋友每人送同樣的井岡蜜柚一箱，6位同事每人送同樣的井岡板栗一箱，就還需要1040元．（1）求每箱井岡蜜柚和每箱井岡板栗各需要多少元？（2）李先生到收銀臺才得知井岡蜜柚節期間，井岡蜜柚可以享受6折優惠，井岡板栗可以享受8折優惠，此時李先生比預計的付款少付了多少元？【答案】（1）每箱井岡蜜柚需要80元，每箱井岡板栗需要120元；（2）李先生比預計的付款少付了328元【分析】（1）、根據“井岡蜜柚和井岡板栗各一箱需要200元，4箱井岡蜜柚和6箱井岡板栗需要1040元”列二元一次方程組，解之即可得.（2）根據節省的錢數＝原價×數量﹣打折后的價格×數量，即可求出結論．【詳解】解：（1）設每箱井岡蜜柚需要x元，每箱井岡板栗需要y元，依題意，得：x+y=2004x+6y=1040解得：x=80y=120答：每箱井岡蜜柚需要80元，每箱井岡板栗需要120元．（2）200+1040﹣80×0．6×（4+1）﹣120×0．8×（6+1）＝328（元）．答：李先生比預計的付款少付了328元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式3-2】（2022·江蘇南通·七年級期末）小瑞去花店購買鮮花，若買5支玫瑰和3支百合，則她所帶的錢還剩下10元；若買3支玫瑰和5支百合，則她所帶的錢還缺4元．(1)若小瑞所帶的錢是51元，請分別求出玫瑰和百合單價是多少元？(2)若小瑞所帶的錢是m元，且一共只買8支玫瑰，請直接寫出小瑞所帶的錢還剩下多少元？【答案】(1)玫瑰和百合單價分別是每支2.5元和每支9.5元(2)小瑞所帶的錢還剩下31元【分析】（1）設每支玫瑰x元，每支百合y元，利用總價=單價×數量，結合小瑞帶的錢數不變，即可得出關于x，y的二元一次方程，化簡后可得出；(2)設玫瑰的單價是每支x元，百合單價是每支y元，因為小瑞帶的錢為m元，所以列方程5x+3y=m-10①5x+5y=m+4②，用含m的代數式解出x和y，又因為且一共只買8支玫瑰，所以剩下的錢為：m（1）解：設玫瑰的單價是每支x元，百合單價是每支y元．由題意可得5x+3y=51-10,解之得x=2.5,答：玫瑰和百合單價分別是每支2.5元和每支9.5元．（2）解：設玫瑰的單價是每支x元，百合單價是每支y元，因為小瑞帶的錢為m元所以有5x+3y=m-10①5x+5y=m+4解得：x=18又因為且一共只買8支玫瑰，所以剩下的錢為：m-8x=m-818答：小瑞所帶的錢還剩下31元．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．【變式3-3】（2022·廣西南寧·七年級期中）為響應國家“足球進收園”的號召，滿足學校對足求的需求．某商家第一次購進了38個A類足球和20個B類足球進行銷售，共花費了5580元，已知商家購進一個B類足球的價格是購進一個A類足球價格的1.2倍．(1)求商家購進一個A類足球和一個B類足球各需多少元？(2)若一個A類足球的售價為110元．兩類足球銷售完畢，商家要獲得1880元的利銅，則B類足球的總售價為多少元？(3)為了回饋客戶，商家決定進行打折銷售，若商家第二次又以原進價購進A、B兩類足球，購進A類足球的件數不變，而購進B類足球的件數是第一次的2倍，A類足球按原售價銷售，而B類足球打折銷售，若第二次兩類足球全部銷售完畢，要使得第二次銷售獲得利潤1688元，則B類足球是打幾折銷售的？【答案】(1)一個A類足球需90元，一個B類足球需108元(2)3280(3)八折【分析】（1）設商家購進一個A類足球需x元，購進一個B類足球需y元，由題意：某商家第一次進了38個A類足球和20個B類足球進行出售，共花費了5580元，已知商家購進一個B類足球的價格是購進一個A類足球價格的1.2倍．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設B類足球的售價為m元，由題意：一個A類足球的售價為110元，兩類足球銷售完畢，商家要獲得1880元的利潤，列出一元一次方程，解方程即可；（3）B類足球是打n折銷售的，由題意：購進A類足球的件數不變，而購進B類足球的件數是第一次的2倍，A類足球按原售價銷售，使得第二次銷售獲得利潤1688元，列出一元一次方程，解方程即可．(1)解：設商家購進一個A類足球需x元，購進一個B類足球需y元，由題意得：38x+20y=5580y=1.2x解得：x=90y=108答：商家購進一個A類足球需90元，購進一個B類足球需108元；(2)解∶設B類足球的售價為m元，由題意得：（110-90）×38+（m-108）×20=1880，解得：m=164，則20×164=3280，答：B類足球的總售價為3280元；(3)解∶設B類足球是打n折銷售的，由題意得：（110-90）×38+（164×0.1n-108）×20×2=1688，解得：n=8，答：B類足球是打八折銷售的．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組和一元一次方程是解題的關鍵．【題型4數字問題】【例4】（2022·甘肅·高臺縣第三中學八年級期末）一個兩位數，其個位上的數是十位上的數的2倍，若交換一下位置，所得新的兩位數比原兩位數大9，求原兩位數．【答案】12【分析】設原數個位數為a，十位數為b，然后根據“個位上的數是十位上的數的2倍”和兩數的關系列方程組求出a和b，最后求出原數即可．【詳解】解：設原數個位數為a，十位數為b則有：a=2b10a+b-9=10b+a，解得所以原數為10×1+2=12．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，審清題意、找準等量關系、列出方程組是解答本題的關鍵．【變式4-1】（2018·福建龍巖·七年級期末）已知表內的各橫行中，從第二個數起的數都比它左邊相鄰的數大m；各豎列中，從第二個數起的數都比它上邊相鄰的數大n．求m，n以及表中x的值．【答案】m＝3，n＝5，x=11．【分析】根據表內的各橫行中，從第二個數起的數都比它左邊相鄰的數大ｍ得出12+2m＝18，解方程求出m的值；再由各豎列中，從第二個數起的數都比它上邊相鄰的數大n，得出（12+m）+3n＝30，解方程求出n的值；進而求得x的值．【詳解】∵各橫行中，從第二個數起的數都比它左邊相鄰的數大m，∴12+2m＝18，解得m＝3．又∵各豎列中，從第二個數起的數都比它上邊相鄰的數大n，∴（12+m）+3n＝30，將m＝3代入上述方程得15+3n＝30，解得n＝5．此時x＝12﹣2m+n＝12﹣2×3+5＝11．【點睛】本題考查的是根據題意列二元一次方程組解決數學問題，根據橫行和豎列的數值的變化規則，確定相等關系，列出相應的方程是解題的關鍵．【變式4-2】（2022·全國·九年級專題練習）小杰、小明兩人做加法運算，小杰將其中一個加數后面多寫了一個零，得和是1275，小明將同一個加數少寫了一個零，得和是87，求原來兩個加數．【答案】原來兩個加數是120和75【分析】根據題意，設這兩個加數為x和y，少寫一個零就是相當于除以10，多寫一個零就是相當于乘以10，列方程組求解．【詳解】解：設這兩個加數為x和y，其中一個加數后面多寫一個零，和是1275，列式：10x+y=1275，同一個加數后面少寫一個零，和是87，列式：x10解方程組10x+y=1275x10+y=87答：這兩個加數是120和75．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，解題的關鍵是根據題意找等量關系去列方程組求解．【變式4-3】（2022·全國·九年級專題練習）若在一個兩位正整數

N

的個位數字與十位數字之間添上數字

2

，組成一個新的三位數，我們稱這個三位數為

N

的“誠勤數”，如

34

的“誠勤數”為

324

；若將一個兩位正整數

M

加

2

后得到一個新數，我們稱這個新數為

M

的“立達數”，如

34

的“立達數”為

36．（1）求證：對任意一個兩位正整數

A

，其“誠勤數”與“立達數”之差能被

6

整除；（2）若一個兩位正整數

B

的“立達數”的各位數字之和是

B

的各位數字之和的一半，求

B

的值．【答案】（1）見解析；（2）

B

的值為68或59．【分析】（1）設A的十位數字為a，個位數字為b，其“誠勤數”為100a+20+b、“立達數”為10a+b+2，作差整理即可得；（2）設B=10a+b，1≤a≤9，0≤b≤9（B加上2后各數字之和變小，說明個位發生了進位），根據““立達數”的各位數字之和是B的各位數字之和的一半”列出關于a、b的方程，求解可得．【詳解】解：（1）設A的十位數字為a，個位數字為b，則A＝10a+b，它的“誠勤數”為100a+20+b，它的“立達數”為10a+b+2，∴100a+20+b-（10a+b+2）＝90a+18＝6（15a+3），∵a為整數，∴15a+3是整數，則“誠勤數”與“立達數”之差能被6整除；（2）設B＝10m+n，1≤m≤9，0≤n≤9（B加上2后各數字之和變小，說明個位發生了進位），∴B+2＝10m+n+2，則B的“立達數”為10（m+1）+（n+2-10），∴m+1+n+2﹣10=12（m+n整理，得m+n＝14，∵1≤m≤9，0≤n≤9，∴m=8n=6、m=6經檢驗：77、86和95不符合題意，舍去，∴所求兩位數為68或59．【點睛】本題主要考查了數字問題，根據題意表示出A、B兩數的“立達數”、“誠勤數”及其變化是解題的關鍵．【題型5年齡問題】【例5】（2022·江蘇·七年級）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復辦學40周年校慶日，我校初一年級數學興趣小組的小明同學發現這樣一個有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺的年齡小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．(1)求今年小明的爸爸和爺爺的年齡分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業的云附學子？【答案】(1)爸爸36歲，爺爺76歲(2)爸爸是2001年華業，爺爺是1961年畢業的云附學子【分析】（1）設今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲，根據“爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺的年齡小40”列出二元一次方程組求解即可．（2）用現在年份減去年齡加15即可得到答案．(1)設今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲．x-4+解得：x=36答：今年小明的爸爸36歲，爺爺76歲；(2)2022-36+15=2001（年）2022-76+15=1961（年）小明的爸爸是2001年華業，爺爺是1961年畢業的云附學子．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，正確找出等量關系是解答本題的關鍵．【變式5-1】（2022·重慶市松樹橋中學校七年級階段練習）7月4日，2020長白山地下森林徒步活動鳴槍開始，一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同參加了比賽．下面是兩個孩子與記者的部分對話：妹妹：我和哥哥的年齡和是16歲．哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加恰好等于爸爸的年齡．根據對話內容，請你用方程的知識幫記者求出現在哥哥和妹妹的年齡各是多少歲？【答案】現在哥哥10歲，妹妹6歲．【分析】設現在哥哥x歲，妹妹y歲，根據兩孩子的對話，可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【詳解】解：設現在哥哥x歲，妹妹y歲，根據題意得x+y=16x+2+3(y+2)=34+2解得x=10y=6答：現在哥哥10歲，妹妹6歲．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，關鍵是利用題目信息，將實際問題轉化為數學方程解決．【變式5-2】（2022·甘肅酒泉·八年級期末）5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現在這對母女的年齡分別是多少？【答案】母親現在年齡35歲，女兒現在7歲【分析】設母親現在年齡x歲，女兒現在y歲，然后根據5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲，列出方程組求解即可．【詳解】解：設母親現在年齡x歲，女兒現在y歲，則x-5=15(y-5)解得x=35答：母親現在年齡35歲，女兒現在7歲．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵在于正確理解題意列出方程求解．【變式5-3】（2022·全國·八年級課時練習）聰聰在給媽媽過生日時發現自己的年齡與媽媽的年齡的十位數字與個位數字正好相反.同時，他還發現，過10年，媽媽歲數減1（歲）剛好是自己歲數加1（歲）的2倍；再過1年，他們兩人的年齡又一次相反，且十位數字與個位數字的和為7，求聰聰和他媽媽現在的年齡.【答案】聰聰現在的年齡為14歲，媽媽現在的年齡為41歲.【分析】設聰聰的年齡為(10x+y)歲，媽媽的年齡為(10y+x)歲，根據“過10年，媽媽歲數減1(歲)剛好是自己歲數加1(歲)的2倍；再過1年，他們兩人的年齡又一次相反，且十位數字與個位數字的和為7”，即可得出關于x，y的二元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】(1)設聰聰的年齡為(10x+y)歲，則媽媽的年齡為(10y+x)歲，根據題意得：{x+1+y+1=710y+10+x-1=2(10x+10+y+1)解得：{x=1y=4答：聰聰今年14歲，媽媽今年41歲．【點睛】此題考查二元一次方程組的應用，解題關鍵在于設聰聰的年齡為(10x+y)歲.【題型6分配問題】【例6】（2022·河北承德·七年級期末）某企業有A，B兩條加工相同原材料的生產線，在一天內，A生產線共加工a噸原材料，加工時間為4a+1小時；在一天內，B生產線共加工b噸原材料，加工時間為2b+3小時．(1)當a=b=1時，兩條生產線的加工時間分別時多少小時？(2)第一天，該企業把5噸原材料分配到A．B兩條生產線，兩條生產線都在一天內完成了加工，且加工時間相同，則分配到兩條生產線的的噸數是多少？(3)第二天開工前，該企業按第一天的分配結果分配了5噸原材料后，又給A生產線分配了m噸原材料，給B生產線分配了n噸原材料，若兩條生產線都能在一天內加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則m和n有怎樣的數量關系？若此時m與n的和為6噸，則m和n的值分別為多少噸？【答案】(1)兩條生產線的的加工時間分別為5小時和5小時(2)分配到A生產線2噸，分配到B生產線3噸(3)m與n的關系為2m=n，當m+n=6噸時，m為2噸，n為4噸【分析】（1）把a=b=1代入4a+1和2b+3，即可求解；（2）設分配到A生產線x噸，則分配到B生產線y噸，根據“把5噸原材料分配到A．B兩條生產線，兩條生產線都在一天內完成了加工，且加工時間相同，”列出方程組，即可求解；（3）根據“加工時間相同，”可得42+m+1=23+n+3，從而得到（1）解：當a=b=1時，4a+1=5，2b+3=5；即兩條生產線的的加工時間分別為5小時和5小時．（2）解∶設分配到A生產線x噸，則分配到B生產線y噸，根據題意得：x+y=54x+1=2y+3，解得x=2y=3，即分配到A生產線2噸，則分配到B生產線（3）解：根據題意得：42+m+1=23+n+3，整理得：2m=n，∵m+n=6，∴m=2，n=4，答：m與n的關系為2m=n，當m+n=6噸時，m為2噸，【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，求代數式的值，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．【變式6-1】（2022·山東菏澤·七年級期中）一套餐桌有一張桌子和六把椅子組成．如果1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子．現有15立方米的木料，請你設計一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【分析】根據題意找出等量關系：1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子和總共15立方米的木料，設出未知量列方程組計算即可．【詳解】解：設用x立方米的木料做桌子，用y立方米的木料做椅子，根據題意，得x+y=156×(10x)=15y解這個方程組，得x=3y=12經檢驗，方程組的解符合題意．所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【點睛】此題考查二元一次方程的應用，難度一般，找準等量關系是關鍵．【變式6-2】（2022·全國·七年級）我市某包裝生產企業承接了一批禮品盒制作業務，為了確保質量，該企業進行試生產．他們購得規格是170cm×40cm的標準板材作為原材料，每張標準板材再按照裁法一或裁法二裁下A型與B(1)列出方程（組），求出圖甲中a與b的值；(2)在試生產階段，若將30張標準板材用裁法一裁剪，4張標準板材用裁法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側面和底面，做成圖乙的豎式（高大于長）與橫式（長大于高）兩種無蓋禮品盒．①兩種裁法共生產A型板材_________張，B型板材_______張；②能否在做成若干個上述的兩種無蓋禮品盆后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，則豎式無蓋禮品盒與橫式無蓋禮品盒分別做了幾個？若不能，則最多能做成豎式和橫式兩種無蓋禮品盒共多少個？【答案】(1)60、40；(2)①64，38；②最多能做成豎式和橫式兩種無蓋禮品盒共20個．【分析】（1）由圖示列出關于a、b的二元一次方程組求解．（2）①根據已知和圖示計算出兩種裁法共產生A型板材和B型板材的張數；②根據豎式與橫式禮品盒所需要的A、B兩種型號板材的張數列出關于x、y的二元一次方程組，求解，即可得出結論．(1)解：由題意得：{2a+b+10=170a+2b+30=170解得：{a=60b=40即圖甲中a與b的值分別為60，40；(2)①由圖示裁法一產生A型板材為：2×30=60，裁法二產生A型板材為：1×4=4，∴兩種裁法共產生A型板材為：60+4=64（張），由圖示裁法一產生B型板材為：1×30=30，裁法二產生B型板材為：2×4=8所以兩種裁法共產生B型板材為：30+8=38（張），故答案為：64，38；②根據題意豎式無蓋禮品盒的x個，橫式無蓋禮品盒的y個，則A型板材需要(4x+3y)個，B型極材要(x+2y)個，4x+3y=64x+2y=38解得：{x=14∵x、y是自然數，∴不能恰好把①中的A型板材和B型板材用完，∵x+y=1025，∴最多能做成豎式和橫式兩種無蓋禮品盒共20個．【點睛】本題考查的知識點是二元一次方程組的應用，關鍵是根據已知先列出二元一次方程組求出a、b的值，根據圖示列出算式以及關于x、y的二元一次方程組．【變式6-3】（2022·四川·沐川縣教師進修學校七年級期末）某工廠生產如圖1所示的長方形和正方形紙板，做成如圖2所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒，其中豎式紙盒由4個長方形和1個正方形紙板做成，橫式紙盒由3個長方形和2個正方形紙板做成（給定的長方形和正方形紙板都不用裁剪，也不考慮接縫）．(1)現有長方形紙板340張，正方形紙板160張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完，求兩種紙盒生產個數．(2)紙板車間共有78名工人，每個工人一天能生產70張長方形紙板或者100張正方形紙板，已知一個豎式紙盒與一個橫式紙盒配套，要求紙板車間一天生產的紙板由其它車間做成豎式紙盒與橫式紙盒配套，問紙板車間應該如何安排工人生產兩種紙板？【答案】(1)40個，60個(2)分配18個工人生產正方形紙板，則60個工人生產長方形紙板【分析】（1）設做成的A型盒有x個，B型盒子有y個，根據長方形紙板340張，正方形紙板160張，可得出二元一次方程組；（2）設分配a個工人生產正方形紙板，則78－a個工人生產長方形紙板，所以能生產正方形紙板100a張，長方形紙板700（78－a）張，列出等式進行求解即可．（1）解：設能做成的豎式紙盒有x個，橫式紙盒子有y個，根據題意得：{x+2y=1604x+3y=340,解方程得{x=40y=60答：設能做成的豎式紙盒有（2）解：設分配a個工人生產正方形紙板，則78－a個工人生產長方形紙板，所以能生產正方形紙板100a張，長方形紙板700（78－a）張．由題意得100a3=700(78-a)7解方程得a＝18，則78－a＝60答：分配【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是理解題意，列出方程或方程組進行求解．【題型7和、差、倍、分問題】【例7】（2022·吉林·東北師大附中七年級階段練習）某校七、八年級學生共600人，學校組織學生參觀科技博物館和偽皇宮的活動，參觀科技博物館的人數是參觀偽皇宮人數的2倍多60人．分別求參觀科技博物館和偽皇宮的學生的人數．【答案】參觀科技博物館人數為420人，參觀偽皇宮的學生人數是180人【分析】設參觀科技博物館人數為x人，參觀偽皇宮的學生人數是y人，根據學生共600人、參觀科技博物館的人數是參觀偽皇宮人數的2倍多60人．列方程組求解即可．【詳解】解：設參觀科技博物館人數為x人，參觀偽皇宮的學生人數是y人，由題意，得x+y=600x=2y+60解得x=420y=180答：參觀科技博物館人數為420人，參觀偽皇宮的學生人數是180人．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程（組），再求解．【變式7-1】（2022·海南省直轄縣級單位·一模）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，它由橋梁和隧道兩部分組成，橋梁和隧道全長共55km，其中橋梁長度比隧道長度的9倍少5【答案】港珠澳大橋的橋梁長度49km，隧道長度6km【分析】設港珠澳大橋隧道長度為x?km，橋梁長度為y?km，由橋梁和隧道全長共55km，得x+y=55，橋梁長度比隧道長度的9倍少5km【詳解】解：設港珠澳大橋隧道長度為x?km，橋梁長度為y由題意列方程組得：x+y=55y=9x-5解得：x=6y=49答：港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度分別為49km和6km【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組．【變式7-2】（2022·山東·東平縣實驗中學七年級階段練習）某校辦工廠去年的總收入比總支出多50萬元，今年的總收入比去年增加10%，總支出節約20%，因而總收入比總支出多100萬元．求去年的總收入和總支出．【答案】去年總收入為200萬元，總支出為150萬元【分析】設去年總收入為x萬元，總支出為y萬元，根據利潤=收入?支出即可得出關于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結論．【詳解】解：設去年總收入為x萬元，總支出為y萬元根據題意得：x-y=501+10解得x=200y=150答：去年總收入為200萬元，總支出為150萬元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，根據利潤=收入?支出列出關于x、y的二元一次方程組是解題的關鍵．【變式7-3】（2022·重慶巴南·七年級期末）某街道為了綠化一塊閑置空地，購買了甲、乙兩種樹木共72棵種植在這個空地上，購買時，已知甲種樹木的單價是乙種樹木的單價的98，乙種樹木的單價是每棵80元，購買甲、乙兩種樹木的總費用是6160(1)甲、乙兩種樹木各購買了多少棵？(2)經過一段時間后，種植的這批樹木成活率高，綠化效果好，該街道決定再次購買這兩種樹木來綠化另一塊閑置空地，購買時，發現甲種樹木的單價比第一次購買時的單價下降了a50，乙種樹木的單價比第一次購買時的單價下降了110，于是，該街道購買甲種樹木的數量比第一次多了15，購買乙種樹的數量比第一次多了a50，且購買甲、乙兩種樹木的總費用比第一次多了【答案】(1)甲種樹木購買了40棵，乙種樹木購買了32棵(2)a的值為5【分析】(1)根據題意可得等量關系∶①甲、乙兩種樹木共72棵；②共用去資金6160元，根據等量關系列出方程，再解即可；(2)用a表示出甲種樹木單價，求出乙種樹木單價為72元，再根據總費用比第一次多了0，列出一元-次方程，解方程即可．(1)解：設甲種樹木購買了x棵，乙種樹木購買了y棵，由題意得：x+y=729解得∶x=40y=32答∶甲種樹木購買了40棵，乙種樹木購買了32棵；(2)解：由題意得∶甲種樹木單價為98×80×(1-a50)=(90-95a)(由題意得∶(90-解得∶a=5，答∶a的值為5．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是∶（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出一元一次方程．【題型8幾何問題】【例8】（2022·江蘇·靖江市實驗學校七年級期中）小東在拼圖時，發現8個一樣大小的長方形，恰好可以拼成一個大的長方形如圖1所示．小林看見了說：“我也來試一試．”結果小林七拼八湊，拼成了如圖2那樣的正方形，中間還留下了一個恰好是邊長為3cm的小正方形，求小長方形的面積．【答案】小長方形的面積為135cm2【分析】設小長方形的寬為xcm，長為ycm，根據圖1中大長方形的長、圖2中大正方形的邊長的不同表示方法得出方程組，解方程組求出小長方形的寬和長即可解決問題．【詳解】解：設小長方形的寬為xcm，長為ycm，則圖1中大長方形的長可以表示為5xcm或3ycm，圖2中大正方形的邊長可以表示為2x+ycm或2y+3cm，那么可得出方程組為：5x=3y2x+y=2y+3解得：x=9y=15則小長方形的面積為：9×15＝135cm2答：小長方形的面積為135cm2【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用，觀察圖形得出等量關系，列出方程組是解題的關鍵．【變式8-1】（2022·安徽淮南·七年級期末）列二元一次方程組解應用題：某居民小區為了綠化小區環境，建設和諧家園．準備將一塊周長為76米的長方形空地，設計成長和寬分別相等的9塊小長方形，如圖所示．計劃在空地上種上各種花卉，經市場預測，綠化每平方米空地造價210元，請計算每塊小長方形的長和寬；要完成這塊綠化工程，預計花費多少元？【答案】每塊小長方形的長為10米，寬為4米；要完成這塊綠化工程預計材料花費75600元【分析】設小長方形的長為x米，寬為y米，則根據長方形的性質可列方程組{2x=5y2(2x+x+2y)=76【詳解】解：設小長方形的長為x米，寬為y米依題意得2x=5y解得{所以210×2x×(x+2y)=75600（元）．答：每塊小長方形的長為10米，寬為4米；要完成這塊綠化工程預計材料花費75600元．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應用，根據長方形的性質列出方程組是解本題的關鍵．【變式8-2】（2022·全國·七年級課前預習）如圖，長方形ABCD中放置了9個形狀、大小都相同的小長方形（尺寸如圖），求圖中陰影部分的面積．【答案】82【詳解】解：設小長方形長為x，寬為y。依題意，得x+4y=22解此方程組，得x=10所以S陰影＝22×（7＋3×3）－10×3×9＝82。答：圖中陰影部分的面積為82。【變式8-3】（2022·福建·南安市實驗中學七年級期中）學校舉辦“藝術周”創意設計展覽，如圖，現有一個大正方形和四個一樣的小正方形，小明、小聰、小方分別用這些正方形設計出了圖1，圖2，圖3三種圖案：(1)根據圖1，圖2中所標數據，求出大正方形和小正方形的邊長分別是多少厘米？(2)圖3中四個小正方形的重疊部分也是三個一樣的小正方形，求陰影部分的面積．【答案】(1)大正方形邊長12cm，小正方形邊長(2)85【分析】（1）設大正方形和小正方形的邊長分別是xcm和ycm，根據題意列方程組即可得到結論；（2）設四個小正方形的重疊部分形成小正方形的邊長為acm，根據題意列方程得到a=43（1）設大正方形邊長x?cm，小正方形邊長y依題意得x+2y=20x-2y=4解得x=12y=4答：大正方形和小正方形的邊長分別是12cm和4cm；（2）設有重疊的小正方形邊長a?cm依題意得34-a解得a=4∴陰影面積=12【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，正方形的面積的計算，正確的識別圖形是解題的關鍵．【題型9圖表信息問題】【例9】（2022·湖北·武漢市第二初級中學七年級階段練習）童威在某商店給媽媽購買商品A、B共三次，只有一次購買時，商品A、B同時打相同的折扣，其余兩次均按標價購買，三次購買商品A、B的數量和費用如下表：購買商品A的數量（個）購買商品B的數量（個）購買總費用（元）第一次購物8161440第二次購物7151314第三次購物9171252.8(1)以折扣價購買商品A、B是第________次購物；(2)求出商品A、B的標價；(3)若商品A、B的折扣相同，問商店是打幾折出售這兩種商品的？【答案】(1)三(2)商品A的標價為72元，商品B的標價為54元(3)商店是打八折出售這兩種商品的【分析】（1）根據買到A、B商品多，且花錢少來判斷即可；（2）設商品A的標價為x元，商品B的標價為y元，列出方程組求出x和y的值；（3）設商店是打m折出售這兩種商品，根據題意列出方程求解即可．（1）根據圖表可得童威第三次購物花的錢最少，買到A、B商品又是最多，所以童威以折扣價購買商品A、B是第三次購物，故答案是：三；（2）（2）設商品A的標價為x元，商品B的標價為y元，根據題意，得8x+解得：x=7答：商品A的標價為72元，商品B的標價為54元；（3）設商店是打m折出售這兩種商品，由題意得，9×72+17×54×解得：m=8．答：商店是打八折出售這兩種商品的．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程求解．【變式9-1】（2022·安徽合肥·七年級期末）某公司生產的一種營養品信息如下表．已知甲食材每千克的進價是乙食材的2倍，購買4千克的甲食材比購買5千克的乙食材多花60元．營養品信息表營養成分每千克含鐵42毫克配料表原料每千克含鐵甲食材50毫克乙食材10毫克(1)甲、乙兩種食材每千克的進價分別是多少元？(2)該公司每日用18000元購進甲、乙兩種食材并恰好全部用完，那么該公司每日購進甲、乙兩種食材各多少千克？【答案】(1)甲食材每千克的進價為40元，乙食材每千克的進價為20元(2)該公司每日購進甲食材400千克，乙食材100千克【分析】（1）設乙食材每千克的進價為a元，則甲食材每千克的進價為2a元，由購買4千克的甲食材比購買5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可（2）抓住兩個等量關系列方程求解：一是甲、乙兩種食材每日購買的進價和為18000；二是制成營養品的含鐵量與甲、乙兩種食材含鐵量的和相等，列出方程組即可求解．（1）設乙食材每千克的進價為a元，則甲食材每千克的進價為2a元，由題意，得4×2a－5×a＝60，解得a＝20，則2a＝40．答：甲、乙兩種食材每千克的進價分別是40元、20元；（2）設該公司每日購進甲食材x千克，乙食材y千克，由題意，得40x+20y=18000解得x=400【點睛】本題考查了一元一次方程及一元二次方程組的應用，找出等量關系列方程是解題關鍵．【變式9-2】（2022·湖北·武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）七年級期中）某山區有若干名中，小學生因貧困失學需要捐助，資助一名中學生的學習費用需要a元，資助一名小學生的學習費用需要b元．某校學生積極捐款，初中各年級學生捐款數額與其捐助貧困中學生和小學生人數的部分情況如下表：捐款數額/元資助貧困中學生人數/名資助貧困小學生人數/名七年級400024八年級420033九年級5000(1)求a，b的值；(2)九年級學生的捐款恰好解決了剩余貧困中小學生的學習費用，請計算九年級學生可捐助的貧困小學生人數．【答案】(1)a的值為800，b的值為600(2)初三年級學生可捐助1名貧困中學生，捐助7名貧困小學生或捐助4名貧困中學生，捐助3名貧困小學生【分析】（1）根據題意可知，本題中的相等關系是捐款額，列方程組求解即可．（2）利用九年級的捐款額5000列方程求人數．(1)解：由題意得：2a+4b=40003a+3b=4200解得：a=800b=600∴a的值為800，b的值為600；(2)解：設初三年級學生捐助x名貧困中學生，捐助y名貧困小學生．由題意得：800x+600y=5000，得：4x+3y=25，∵x、y均為非負整數，∴x=1，y=7或x=4，y=3，答：初三年級學生可捐助1名貧困中學生，捐助7名貧困小學生；或捐助4名貧困中學生，捐助3名貧困小學生．【點睛】本題考查二元一次方程（組）的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．【變式9-3】（2022·重慶豐都·七年級期末）豐都是旅游文化名城，廟會期間有爵士舞和和民族舞兩個文娛節目，兩節目組主要演員和次要演員每天的費用分別相同．從節省資金和保證節目效果兩個角度，現兩個節目組有方案如下表：主要演員（人）次要演員（人）總費用（元/天）爵士舞451300民族舞23700（1）方案中主要演員和次要演員每天的費用分別多少元？（2）在（1）問的結論下，現爵士舞和民族舞分別表演若干天，已知兩節目組主要演員費用共為2800元，次要演員費用共為1900元，問兩節目各表演多少天？【答案】（1）主要演員和次要演員每天的費用分別200元，100元；（2）爵士舞表演2天，民族舞表演3天【分析】（1）設主要演員和次要演員每天的費用分別x元，y元，根據表格中的總費用列出方程組，解之即可；（2）設爵士舞表演a天，民族舞表演b天，根據主要演員費用共為2800元，次要演員費用共為1900元列出方程組，解之即可．【詳解】解：（1）設主要演員和次要演員每天的費用分別x元，y元，由題意可得：4x+5y=13002x+3y=700解得：x=200y=100∴主要演員和次要演員每天的費用分別200元，100元；（2）設爵士舞表演a天，民族舞表演b天，由題意可得：200×4a+2b解得：a=2b=3∴爵士舞表演2天，民族舞表演3天．【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際應用，解題的關鍵是理解題意，找到等量關系，列出方程組．【題型10方案問題】【例10】（2022·黑龍江·樺南縣第三中學七年級期中）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．(1)請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？(2)目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完（A、B兩種貨車均滿載），其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元，請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少，最少費用為多少元．【答案】(1)1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸(2)共有3種運輸方案，方案1：安排A貨車8輛，B貨車2輛；方案2：安排A貨車5輛，B貨車6輛；方案3：安排A貨車2輛，B貨車10輛；安排A貨車8輛，B貨車2輛費用最少，最少費用為4800元【分析】（1）設1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，根據3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸，列出方程求解即可；（2）設安排A貨車輛，B貨車輛，根據目前有190噸貨物需要運輸，列出方程求解即可．（1）設1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸．根據題意得3x+2y=90解得x=20y=15答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸．（2）設安排A貨車輛，B貨車輛，依題意，得20m+15n=190，即m=38-3n又因為m,n均為正整數，所以m=8n=2或m=5n=6或所以共有3種運輸方案，方案1：安排A貨車8輛，B貨車2輛；方案2：安排A貨車5輛，B貨車6輛；方案3：安排A貨車2輛，B貨車10輛．方案1所需費用：500×8+400×2=4800（元）；方案2所需費用：500×5+400×6=4900（元）；方案3所需費用：500×2+400×10=5000（元）；因為4800<4900<5000，所以安排A貨車8輛，B貨車2輛費用最少，最少費用為4800元．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應用，解題的關鍵在于能夠根據題意列出方程求解．【變式10-1】（2022·河南·鄭州中原一中實驗學校八年級期末）一方有難，八方支援．鄭州暴雨牽動數萬人的心，眾多企業也伸出援助之手．某公司購買了一批救災物資并安排兩種貨車運往鄭州．調查得知，2輛小貨車與3輛大貨車一次可以滿載運