6.3平面向量的基本定理及坐標表示主要命題方向主要命題方向1.對基底概念的理解；2.用基底表示平面向量；3.求兩向量的夾角；4.利用正交分解求向量的坐標；5.向量的坐標運算；6.向量共線條件的坐標表示；7.三點共線問題；8.用向量法解幾何問題；9.數量積的坐標表示；10.利用向量的坐標解決有關模、夾角問題；11.利用坐標解決向量的夾角問題；12.利用平行、垂直求參數；13.利用向量的數量積判斷幾何圖形的形狀；14.用向量法解幾何問題.配套提升訓練配套提升訓練一、單選題1．（2020·湖北黃岡·期末）已知向量，，若，則（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】故選：B2．（2020·山東省泰安第二中學月考）己知向量，.若，則m的值為()A． B．4 C．- D．-4【答案】B【解析】依題意，由于，所以，解得.故選B.3．（2020·威海市教育教學研究中心期末）已知向量，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵向量，，且，∴，解得：，故選：D.4．（2020·榮成市教育教學研究培訓中心期中）已知向量，，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據題意得：，所以，解得.故選：B.5．（2020·臨猗縣臨晉中學高一月考）已知在中，，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為在中，，所以，整理得：，即，又，所以，，因此.故選：C.6．（2020·山西運城·月考）如圖，在中，，，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可得，所以，，則，故選：．7.（2020·福建其他（文））已知正方形的邊長為1，點滿足，設與交于點，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】以為原點，和分別為和軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，，，為線段的靠近點的三等分點，，直線的方程為：；直線的方程為：，聯立，解得，點．．故選：A．8．（2020·廣東中山·期末）已知菱形的邊長為4，，是的中點，則（）A．24 B． C． D．【答案】D【解析】由已知得,,,所以,.因為在菱形中,,所以.又因為菱形的邊長為4,所以,所以.故選：D9．（2020·湖北武漢·其他（理））如圖，在△中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，即且∴，又C、P、D共線，有，即即，而∴∴=故選：C10．（2020·株洲市九方中學月考）在中，點在線段上，且滿足，過點的直線分別交直線、于不同的兩點、，若，，則()A．是定值，定值為4 B．是定值，定值為3C．是定值，定值為4 D．是定值，定值為3【答案】C【解析】因為，所以，即，依題意設，則，則，又，，所以，根據平面向量基本定理可得，消去可得，即.故選：C二、多選題11．（2020·海南高三其他）已知正方形的邊長為，向量，滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由條件可，所以，A正確；，與不垂直，B錯誤；，C錯誤；，根據正方形的性質有，所以，D正確.故選:AD12.（2020·湖北黃岡·期末）在△ABC中，點E，F分別是邊BC和AC上的中點，P是AE與BF的交點，則有（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】如圖：根據三角形中線性質和平行四邊形法則知，,A是正確的；因為EF是中位線，所以B是正確的；根據三角形重心性質知，CP=2PG，所以，所以C是正確的，D錯誤.故選：AC13．（2020·全國高三其他）已知，如下四個結論正確的是（）A．； B．四邊形為平行四邊形；C．與夾角的余弦值為； D．【答案】BD【解析】由，所以，，，,對于A，，故A錯誤；對于B，由，，則，即與平行且相等，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確；故選：BD14．（2020·山東諸城·高一期中）已知，，則以下結論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．的最小值為【答案】BD【解析】，則.對于A選項，若，則，所以，或，A選項錯誤；對于B選項，若，則，，，則，，B選項正確；對于C選項，若，且，則，或，C選項錯誤；對于D選項，由向量模的三角不等式可得，D選項正確.故選：BD.三、填空題15．（2019·遼寧遼陽·月考（理））在同一個平面內，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________．【答案】【解析】以為軸，建立直角坐標系，則，由的模為與與的夾角為，且知，，可得，，由可得，，故答案為.16．（2020·山西三模（理））如圖，在△中，，點是線段上的一個動點.，則，滿足的等式是___________.【答案】【解析】∵，有又，即∵B、P、D三點共線∴，即故答案為：17．（2020·山西其他（理））已知向量，，且，則______.【答案】【解析】∵，，∴，∵∴，解得故答案為：四、雙空題18．（2020·浙江衢州·高二期末）已知向量，若，則m＝________；若，則m＝________【答案】4【解析】因為，所以.因為，所以.故答案為：19．（2020·浙江金華·高一期末）在中，，點D是的中點，點O是的中點，若，則___________；若，則_____________.【答案】【解析】因為，，，所以，即得；因為，所以，即，解得．故答案為：；．20．（2020·河南濮陽·高一期末（文））已知點，，，，為坐標原點，則=______，與夾角的取值范圍是______．【答案】1【解析】由題意可得，所以；則點在以為圓心，1為半徑的圓上，如圖：由圖可知，當與夾角最小值為0，當直線與圓相切時，與夾角取最大值，連接，易得為銳角且，所以，所以此時與夾角的取值范圍是.故答案為：；.21．（2020·北京平谷·高三二模）如圖，矩形中，，，為的中點.當點在邊上時，的值為________；當點沿著，與邊運動時，的最小值為_________.【答案】【解析】以A為原點建立平面直角坐標系，則A（0,0），O（1,0），B（2,0），設P（2，b），（1）＝；（2）當點P在BC上時，＝2；當點P在AD上時，設P（0，b），＝（2，0）（－1，b）＝－2；當點P在CD上時，設點P（，1）（0＜＜2）＝（2,0）（－1，1）＝2－2，因為0＜＜2，所以，－2＜2－2＜2，即綜上可知，的最小值為－2.故答案為-2.五、解答題22.（2020·孝義市第二中學校期末）已知向量，（1）若，求的坐標；（2）若與垂直，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）.（2）與垂直，，即，∴.23．（2020·湖南益陽·期中）已知（1）求與的夾角的大小;（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）設與的夾角為，因為，所以，.（2）因為，即，解得.24．（2020·四川廣元·期末）已知向量是同一平面的三個向量，其中．（1）若，且與的方向相反，求的坐標；（2）若是單位向量，且，求與的夾角．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設，（2），25.（2020·山西運城·月考）已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，且，，，因此，；（2），，，，則，，所以，，，因此，.26．（2020·遼寧大連·高一期末）如圖，平行四邊形ABCD中，已知，，設，，（1）用向量和表示向量，；（2）若，，求實數x和y的值.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）（2）因為.即因