資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題14多邊形與平行四邊形考點1多邊形與平行四邊形一、單選題1．（2023年山西省中考數學真題）蜂巢結構精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標系中，點SKIPIF1<0均為正六邊形的頂點．若點SKIPIF1<0的坐標分別為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的坐標為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】連接SKIPIF1<0，設正六邊形的邊長為a，由正六邊形的性質及點P的坐標可求得a的值，即可求得點M的坐標．【詳解】解：連接SKIPIF1<0，如圖，設正六邊形的邊長為a，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵點P的坐標為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴點M的坐標為SKIPIF1<0．故選：A．

【點睛】本題考查了坐標與圖形，正六邊形的性質，勾股定理，含30度角直角三角形的性質等知識，掌握這些知識是解題的關鍵．2．（2021·四川德陽·統考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是CD中點，連接OE，則下列結論中不一定正確的是（）A．AB＝AD B．OESKIPIF1<0AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO【答案】C【分析】由菱形的性質可得AB=AD=CD，AC⊥BD，由直角三角形的性質可得OE=DE=CE=SKIPIF1<0CD=SKIPIF1<0AB，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD，AC⊥BD，故選項A不合題意，∵點E是CD的中點，∴OE=DE=CE=SKIPIF1<0CD=SKIPIF1<0AB，故選項B不合題意；∴∠EOD=∠EDO，故選項D不合題意；故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，掌握菱形的性質是是解題的關鍵．3．（2023年河北省中考數學真題）綜合實踐課上，嘉嘉畫出SKIPIF1<0，利用尺規作圖找一點C，使得四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形．圖1~圖3是其作圖過程．（1）作SKIPIF1<0的垂直平分線交SKIPIF1<0于點O；（2）連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0的延長線上截取SKIPIF1<0；

（3）連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0即為所求．

在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（

）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對邊分別相等C．對角線互相平分 D．一組對邊平行且相等【答案】C【分析】根據作圖步驟可知，得出了對角線互相平分，從而可以判斷．【詳解】解：根據圖1，得出SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，圖2，得出SKIPIF1<0，可知使得對角線互相平分，從而得出四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是：對角線互相平分，故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判斷，解題的關鍵是掌握基本的作圖方法及平行四邊形的判定定理．4．（2021·四川德陽·統考中考真題）如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標原點O順時針旋轉，每次旋轉60°，那么經過第2025次旋轉后，頂點D的坐標為（）A．（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0） B．（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0） C．（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0） D．（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【答案】A【分析】如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．首先確定點SKIPIF1<0的坐標，再根據6次一個循環，由SKIPIF1<0，推出經過第2025次旋轉后，頂點SKIPIF1<0的坐標與第三次旋轉得到的SKIPIF1<0的坐標相同，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在正六邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將正六邊形SKIPIF1<0繞坐標原點SKIPIF1<0順時針旋轉，每次旋轉SKIPIF1<0，SKIPIF1<0次一個循環，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0經過第2025次旋轉后，頂點SKIPIF1<0的坐標與第三次旋轉得到的SKIPIF1<0的坐標相同，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于原點對稱，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0經過第2025次旋轉后，頂點SKIPIF1<0的坐標SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：A．【點睛】本題考查正多邊形與圓，規律型問題，坐標與圖形變化-旋轉等知識，解題的關鍵是學會探究規律的方法，屬于中考常考題型．5．（2022·貴州遵義·統考中考真題）如圖，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．以點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓交直線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則圖中陰影部分的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據題意可得四邊形SKIPIF1<0的面積等于正方形面積的一半，根據陰影部分面積等于半圓減去四邊形SKIPIF1<0的面積和弓形的面積即可求解．【詳解】解：SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半徑為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，根據中心對稱可得四邊形SKIPIF1<0的面積等于正方形面積的一半，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0陰影部分面積為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質，求扇形面積，掌握以上知識是解題的關鍵．6．（2023·河南周口·河南省淮陽中學校考三模）已知在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則菱形SKIPIF1<0的面積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．126 C．63 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據菱形的性質利用勾股定理求得SKIPIF1<0的長，從而得到SKIPIF1<0的長，再根據菱形的面積公式即可求得其面積．【詳解】解：如圖，令SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，

，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：A．【點睛】本題主要考查了菱形的性質和勾股定理，解題的關鍵是掌握菱形的性質．7．（2020·四川巴中·統考中考真題）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一動點，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊向外作正方形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則下列結論：①SKIPIF1<0；②點SKIPIF1<0在運動過程中，SKIPIF1<0的值始終保持不變，為SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的最小值為6；④當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①由矩形SKIPIF1<0的性質和特殊角三角函數可得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等邊三角形，進而可以判斷；②連接SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0求得答案；③利用完全平方公式變形，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，即可判斷；④根據已知條件證明SKIPIF1<0，對應邊成比例即可判斷．【詳解】解：①∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴OA=OC=OD=OB，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等邊三角形，∴BD=2OA=2AB=8，故①正確；②連接SKIPIF1<0，由①知SKIPIF1<0，∵矩形SKIPIF1<0的兩邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，故②正確；③∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，故③正確；④∵∠AEP=∠DFP，∠PAE=∠PDF，∴SKIPIF1<0，∴AE：DF=PE：PF=EG：FM=PH：PN=5：6,∵AE:DF=(AG+GE):（DM+FM）,∴AG：DM=5：6,，故④錯誤．綜上所述，其中正確的結論有①②③，3個．故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質，特殊角的三角形，三角形的相似，完全平方公式，等邊三角形的判定與性質，靈活運用矩形的性質，特殊角的函數值，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．二、填空題8．（2022·江蘇泰州·統考中考真題）正八邊形一個外角的大小為度．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據正八邊形得出八個內角都相等，再因為每個內角與它相應的外角互補，且多邊形外角和為SKIPIF1<0，算出正八邊形一個外角的大小．【詳解】解：∵正八邊形，∴正八邊形八個內角都相等，∵正八邊形的每個內角和它對應的外角互補，且外角和SKIPIF1<0，∴正八邊形有八個相等的外角，∴正八邊形一個外角為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了正多邊形的性質，多邊形外角和，正確理解以上圖形性質是解題的關鍵．9．（2021·江蘇鎮江·統考中考真題）如圖，花瓣圖案中的正六邊形ABCDEF的每個內角的度數是．【答案】120°【分析】多邊形的內角和可以表示成(n﹣2)?180°，因為所給多邊形的每個內角均相等，可設這個正六邊形的每一個內角的度數為x，故又可表示成6x，列方程可求解．【詳解】解：設這個正六邊形的每一個內角的度數為x，則6x＝(6﹣2)?180°，解得x＝120°．故答案為：120°．【點睛】本題考查根據多邊形的內角和計算公式及求正多邊形的內角的度數，解答時要會根據公式進行正確運算、變形和數據處理．10．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數學真題）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．請添加一個條件：，使四邊形SKIPIF1<0成為菱形．

【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【分析】根據題意，先證明四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，根據SKIPIF1<0，可得四邊形SKIPIF1<0成為菱形．【詳解】解：添加條件SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0成為菱形．添加條件SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0成為菱形．添加條件SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0成為菱形．添加條件SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0成為菱形．故答案為：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0等）．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關鍵．11．（2023年吉林省長春市中考數學真題）如圖，將正五邊形紙片SKIPIF1<0折疊，使點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合，折痕為SKIPIF1<0，展開后，再將紙片折疊，使邊SKIPIF1<0落在線段SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0的對應點為點SKIPIF1<0，折痕為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小為度．

【答案】SKIPIF1<0【分析】根據題意求得正五邊形的每一個內角為SKIPIF1<0，根據折疊的性質求得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，根據三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：∵正五邊形的每一個內角為SKIPIF1<0，將正五邊形紙片SKIPIF1<0折疊，使點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合，折痕為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵將紙片折疊，使邊SKIPIF1<0落在線段SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0的對應點為點SKIPIF1<0，折痕為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了折疊的性質，正多邊形的內角和的應用，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．12．（2023年內蒙古包頭市中考數學真題）如圖，正方形SKIPIF1<0的邊長為2，對角線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為圓心，對角線SKIPIF1<0的長為半徑畫弧，交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】SKIPIF1<0【分析】根據正方形的性質得出陰影部分的面積為扇形SKIPIF1<0的面積，然后由勾股定理得出SKIPIF1<0，再由扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：正方形SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵正方形SKIPIF1<0的邊長為2，∴SKIPIF1<0∴陰影部分的面積為扇形SKIPIF1<0的面積，即SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】題目主要考查正方形的性質及扇形的面積公式，理解題意，將陰影部分面積進行轉化是解題關鍵．13．（2020·四川阿壩·中考真題）如圖，有一張長方形片ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點E為CD上一點，將紙片沿AE折疊，BC的對應邊SKIPIF1<0恰好經過點D，則線段DE的長為cm．

【答案】5【分析】根據折疊的性質得到線段和角相等，然后在Rt△SKIPIF1<0中，由勾股定理求出SKIPIF1<0的長，則可得出SKIPIF1<0的長，再在Rt△SKIPIF1<0利用勾股定理進行計算即可求DE的長.【詳解】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴AD=BC=10,CD=AB=8,∠B=∠C=90°.根據折疊的性質,得SKIPIF1<0SKIPIF1<0=8-DE,SKIPIF1<0,∠SKIPIF1<0=∠B=90°.在Rt△SKIPIF1<0中,由勾股定理，得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=6.∴SKIPIF1<0=10-6=4.在Rt△SKIPIF1<0中,由勾股定理，得SKIPIF1<0.∴（8-DE）2+42=DE2.解得DE=5.故答案是：5.【點睛】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，熟練運用折疊的性質是本題的關鍵．14．（2020·廣西賀州·統考中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P是AC上一動點，點E是AB的中點，則SKIPIF1<0的最小值為．【答案】SKIPIF1<0．【分析】連接DE，依據菱形的性質即可計算得到DE的長，再根據線段的性質，即可得到PD+PE的最小值為DE的長．【詳解】如圖，連接DE，∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是等邊三角形，又∵E是AB的中點，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值為DE的長，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】此題考查了軸對稱-最短路線問題，關鍵是掌握菱形的性質以及線段的性質：兩點之間，線段最短．15．（2022·山東臨沂·統考中考真題）如圖，在正六邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是對角線SKIPIF1<0上的兩點，添加下列條件中的一個：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．能使四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形的是（填上所有符合要求的條件的序號）．【答案】①②④【分析】根據正六邊形的性質，依次結合題給的條件，先證有關三角形是否全等，再證四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．【詳解】解：由正六邊形的性質知：∠ABM=∠DEN，AB=DE，∠BAF=∠CDE，①若BM=EN，在△ABM和△DEN中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SAS），∴AM=DN，∠AMB=∠DNE，∴∠AMN=∠DNM，∴AMSKIPIF1<0DN，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；②若SKIPIF1<0，則∠BAN=∠EDM，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0(ASA)，∴AN=DM，∠ANM=∠DMN，∴ANSKIPIF1<0DM∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；③若SKIPIF1<0，結合條件AB=DE，∠ABM=∠DEN，SSA無法證明SKIPIF1<0，也就無法證明四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；④若SKIPIF1<0，在△ABM和△DEN中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（AAS），∴AM=DN，∠AMB=∠DNE，∴∠AMN=∠DNM，∴AMSKIPIF1<0DN，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；綜上所述，①②④符合題意．故答案為：①②④．【點睛】此題考查了正六邊形的性質、全等三角形的判定以及平行四邊形的判定．解題的關鍵是熟練運用上述知識逐一進行判斷．16．（2023年內蒙古包頭市中考數學真題）如圖，SKIPIF1<0是正五邊形SKIPIF1<0的對角線，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0．下列結論：①SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0；

③四邊形SKIPIF1<0是菱形；

④SKIPIF1<0其中正確的結論是．（填寫所有正確結論的序號）

【答案】①③④【分析】根據正五邊形的性質得出各角及各邊之間的關系，然后由各角之間的關系及相似三角形的判定和性質，菱形的判定依次證明即可．【詳解】解：①∵正五邊形SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0；正確；②∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故②錯誤；③∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形；正確；④∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，正確；故答案為：①③④．【點睛】題目主要考查正多邊形的性質及相似三角形、菱形的判定和性質，熟練掌握運用這些知識點是解題關鍵．17．（2023年河北省中考數學真題）將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長為2且各有一個頂點在直線l上，兩側螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經過兩側正六邊形的一個頂點．則圖2中（1）SKIPIF1<0度．（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為（結果保留根號）．

【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】（1）作圖后，結合正多邊形的外角的求法即可求解；（2）表問題轉化為圖形問題，首先作圖，標出相應的字母，把正六邊形的中心到直線l的距離轉化為求SKIPIF1<0，再根據正六邊形的特征及利用勾股定理及三角函數，分別求出SKIPIF1<0即可求解．【詳解】解：（1）作圖如下：

根據中間正六邊形的一邊與直線l平行及多邊形外角和，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；（2）取中間正六邊形的中心為SKIPIF1<0，作如下圖形，

由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由圖1知SKIPIF1<0，由正六邊形的結構特征知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了正六邊形的特征，勾股定理，含SKIPIF1<0度直角三角形的特征，全等三角形的判定性質，解直角三角形，解題的關鍵是掌握正六邊形的結構特征．18．（2023·河南周口·河南省淮陽中學校考三模）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，把邊SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0平移，點SKIPIF1<0分別對應點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為．

【答案】SKIPIF1<0【分析】先證明四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，作點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0的值最小，最小值為SKIPIF1<0，通過證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，通過證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，最后由勾股定理即可得到答案．【詳解】解：根據題意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示，作點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0的值最小，最小值為SKIPIF1<0，

，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質、三角形相似的判定與性質、軸對稱的性質、矩形的性質、勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質、三角形相似的判定與性質、軸對稱的性質、矩形的性質，添加適當的輔助線，是解題的關鍵．三、解答題19．（2019·湖南婁底·中考真題）如圖，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA(不包括端點)上運動，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．(3)請探究四邊形EFGH的周長一半與矩形ABCD一條對角線長的大小關系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形EFGH是平行四邊形，理由見解析；(3)四邊形EFGH的周長一半大于或者等于矩形ABCD一條對角線長度，理由見解析.【分析】（1）根據全等三角形的判定定理SAS證得結論；（2）由（1）中全等三角形的性質得到：EH=GF，同理可得FE=HG，即可得四邊形EFGH是平行四邊形；（3）由軸對稱--最短路徑問題得到：四邊形EFGH的周長一半大于或等于矩形ABCD一條對角線長度．【詳解】解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴SKIPIF1<0．∴在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；(2)∵由(1)知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理證得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴四邊形EFGH是平行四邊形；(3)四邊形EFGH的周長一半大于或等于矩形ABCD一條對角線長度．理由如下：作G關于BC的對稱點G′，連接EG′，可得EG′的長度就是EF+FG的最小值．連接AC，∵CG′=CG=AE，AB∥CG′，∴四邊形AEG′C為平行四邊形，∴EG′=AC．在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′=AC，∴四邊形EFGH的周長一半大于或等于矩形ABCD一條對角線長度．【點睛】考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質．靈活運用這些性質進行推理證明是本題的關鍵．20．（2019·江蘇常州·統考中考真題）【閱讀】：數學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數、三角形的內角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數學思想．【理解】：（1）如圖，兩個邊長分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的直角三角形和一個兩條直角邊都是SKIPIF1<0的直角三角形拼成一個梯形．用兩種不同的方法計算梯形的面積，并寫出你發現的結論；（2）如圖2，SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列的棋子排成一個正方形，用兩種不同的方法計算棋子的個數，可得等式：SKIPIF1<0________；【運用】：（3）SKIPIF1<0邊形有SKIPIF1<0個頂點，在它的內部再畫SKIPIF1<0個點，以（SKIPIF1<0）個點為頂點，把SKIPIF1<0邊形剪成若干個三角形，設最多可以剪得SKIPIF1<0個這樣的三角形．當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，如圖，最多可以剪得SKIPIF1<0個這樣的三角形，所以SKIPIF1<0．①當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，如圖，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；②對于一般的情形，在SKIPIF1<0邊形內畫SKIPIF1<0個點，通過歸納猜想，可得SKIPIF1<0（用含SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的代數式表示）．請對同一個量用算兩次的方法說明你的猜想成立．【答案】（1）見解析，故結論為：直角長分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0斜邊為SKIPIF1<0的直角三角形中SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）①6，3；②SKIPIF1<0，見解析.【分析】（1）此等腰梯形的面積有三部分組成，利用等腰梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和列出方程并整理．（2）由圖可知SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列的棋子排成一個正方形棋子個數為SKIPIF1<0，每層棋子分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0．故可得用兩種不同的方法計算棋子的個數，即可解答．（3）根據探畫出圖形究不難發現，三角形內部每增加一個點，分割部分增加SKIPIF1<0部分，即可得出結論．【詳解】（1）有三個SKIPIF1<0其面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．直角梯形的面積為SKIPIF1<0．由圖形可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故結論為：直角長分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0斜邊為SKIPIF1<0的直角三角形中SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列的棋子排成一個正方形棋子個數為SKIPIF1<0，每層棋子分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0．由圖形可知：SKIPIF1<0．故答案為SKIPIF1<0．（3）①如圖，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，如圖，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．②方法1．對于一般的情形，在SKIPIF1<0邊形內畫SKIPIF1<0個點，第一個點將多邊形分成了SKIPIF1<0個三角形，以后三角形內部每增加一個點，分割部分增加SKIPIF1<0部分，故可得SKIPIF1<0．方法2．以SKIPIF1<0的二個頂點和它內部的SKIPIF1<0個點，共（SKIPIF1<0）個點為頂點，可把SKIPIF1<0分割成SKIPIF1<0個互不重疊的小三角形．以四邊形的SKIPIF1<0個頂點和它內部的SKIPIF1<0個點，共（SKIPIF1<0）個點為頂點，可把四邊形分割成SKIPIF1<0個互不重疊的小三角形．故以SKIPIF1<0邊形的SKIPIF1<0個頂點和它內部的SKIPIF1<0個點，共（SKIPIF1<0）個點作為頂點，可把原n邊形分割成SKIPIF1<0個互不重疊的小三角形．故可得SKIPIF1<0．故答案為①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了圖形的變化規律的問題，讀懂題目信息，找到變化規律是解題的關鍵．21．（2019·廣西玉林·統考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，分別過頂點B，D作SKIPIF1<0交對角線AC所在直線于E，F點，并分別延長EB，FD到點H，G，使SKIPIF1<0，連接EG，FH．（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；（2）已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求四邊形EHFG的周長．【答案】（1）見解析；（2）四邊形EHFG的周長SKIPIF1<0．【分析】（1）根據正方形的性質證明SKIPIF1<0，再根據平行四邊形的判定即可求解；（2）連接BD，交EF于O，根據正方形的性質求得SKIPIF1<0，得到OF,OE,EF,FM,EM的長，過F作SKIPIF1<0于M，交EH的延長線于M，根據三角函數求出SKIPIF1<0，再根據勾股定理求出SKIPIF1<0，即可求出四邊形的周長.【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四邊形EHFG是平行四邊形；（2）如圖，連接BD，交EF于O，∵四邊形ABCD是正方形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過F作SKIPIF1<0于M，交EH的延長線于M，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形EHFG的周長SKIPIF1<0．【點睛】此題主要考查正方形的性質，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質及三角函數的應用.22．（2020·廣西賀州·統考中考真題）如圖，已知在△ABC中AB＝AC，AD是BC邊上的中線，E，G分別是AC，DC的中點，F為DE延長線上的點，∠FCA＝∠CEG．（1）求證：AD∥CF；（2）求證：四邊形ADCF是矩形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）先證EG是△ACD的中位線，得EG∥AD，再由∠FCA=∠CEG證出EG∥CF，即可得出結論；（2）先證△ADE≌△CFE（AAS），得AD=CF，則四邊形ADCF是平行四邊形，再由等腰三角形的在得∠ADC=90°，即可得出結論．【詳解】解：（1）證明：∵E，G分別是AC，DC的中點，∴EG是△ACD的中位線，∴EG∥AD，∵∠FCA＝∠CEG，∴EG∥CF，∴AD∥CF；（2）證明：由（1）得：AD∥CF，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，∵E是AC的中點，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，又∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四邊形ADCF是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理等知識；熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．23．（2023年吉林省長春市中考數學真題）將兩個完全相同的含有SKIPIF1<0角的直角三角板在同一平面內按如圖所示位置擺放．點A，E，B，D依次在同一直線上，連結SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．

(1)求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；(2)已知SKIPIF1<0，當四邊形SKIPIF1<0是菱形時．SKIPIF1<0的長為__________SKIPIF1<0．【答案】(1)見解析；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由題意可知SKIPIF1<0易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，依據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；（2）如圖，在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由菱形得對角線平分對角得SKIPIF1<0，再由三角形外角和易證SKIPIF1<0即可得SKIPIF1<0，最后由SKIPIF1<0求解即可．【詳解】（1）證明：由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0地平行四邊形；（2）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．

【點睛】本題考查了全等三角形的性質，平行四邊形的判定，菱形的性質，SKIPIF1<0角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對等邊；解題的關鍵是熟練掌握相關知識綜合求解．24．（2023年山西省中考數學真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，順次連接SKIPIF1<0，得到的四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形SKIPIF1<0被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁SKIPIF1<0是法國數學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．

①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0．（依據1）

∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵四邊形SKIPIF1<0是瓦里尼翁平行四邊形，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．（依據2）∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．同理，…任務：(1)填空：材料中的依據1是指：_____________．依據2是指：_____________．(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形SKIPIF1<0及它的瓦里尼翁平行四邊形SKIPIF1<0，使得四邊形SKIPIF1<0為矩形；（要求同時畫出四邊形SKIPIF1<0的對角線）(3)在圖1中，分別連接SKIPIF1<0得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形SKIPIF1<0的周長與對角線SKIPIF1<0長度的關系，并證明你的結論．

【答案】(1)三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）(2)答案不唯一，見解析(3)平行四邊形SKIPIF1<0的周長等于對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0長度的和，見解析【分析】（1）根據三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點即可；（3）根據三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得妯結論．【詳解】（1）解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）（2）解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求

（3）瓦里尼翁平行四邊形SKIPIF1<0的周長等于四邊形SKIPIF1<0的兩條對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0長度的和，證明如下：∵點SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．同理SKIPIF1<0．∴四邊形SKIPIF1<0