自動控制原理（第3版）

孟華主編機械工業出版社普通高等教育“十一五”國家級規劃教材

遼寧省“十二五”普通高等教育本科省級規劃教材第8章非線性系統分析自動控制原理2第8章非線性控制系統8.1概述8.2非線性系統的特點8.3相平面法8.4描述函數法8.5MATLAB在非線性控制系統分析中的應用自動控制原理38.1概述

非線性系統與線性系統有著很大的差別，諸如非線性系統的響應取決于輸入信號的幅值和形式，不能應用疊加原理，目前還沒有統一的且普遍適用的處理方法。由于非線性系統的復雜性和特殊性，受數學工具限制，一般情況下難以求得非線性微分方程的解析解，通常采用工程上適用的近似方法。

（1）相平面法（2）描述函數法（3）逆系統法自動控制原理4

1.相平面法:

一種圖解分析方法，適用于具有嚴重非線性特性的一階、二階系統，該方法通過在相平面繪制相軌跡曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運動形式。

2.描述函數法:

一種等效線性化的圖解分析方法，該方法對于滿足結構要求的非線性系統，通過諧波線性化，將非線性特性近似為復變增益環節，然后推廣應用頻率法，分析非線性系統的穩定性或自激振蕩。3.逆系統法:

運用內環非線性反饋控制，構造偽線性系統，以此為基礎，設計外環控制網絡，該方法直接應用數學工具研究非線性控制問題，是非線性系統研究的一個發展方向。但是，這些方法主要是解決非線性系統的“分析”問題，且以穩定性問題為主展開的。非線性系統的“綜合”方法的研究成果遠不如穩定性問題研究所取得的成果。自動控制原理51.飽和特性

2.死區特性

3.間隙特性

圖8.1飽和非線性特性圖8.2死區非線性特性

圖8.3間隙非線性特性8.2.1典型非線性特性

自動控制原理64.繼電器特性

圖8.4繼電器型非線性特性自動控制原理78.2.2非線性系統的運動特點

由于描述非線性系統運動的數學模型為非線性微分方程，疊加原理不再適用，因此非線性系統的運動表現出以下特點：

1.穩定性分析復雜

2.系統的零輸入響應形式

3.自激振蕩(極限環)

4.頻率響應

自動控制原理8

1.穩定性分析復雜:

在研究非線性系統的穩定性問題時，必須要明確兩點：

a.指明給定系統的初始狀態或輸入信號

b.指明相對于哪一個平衡狀態來分析系統的穩定性。

2.系統的零輸入響應形式:

線性系統的零輸入響應形式與系統初始狀態的幅值無關。某些非線性系統的零輸入響應形式與系統的初始狀態有關。當初始狀態不同時，同一個非線性系統可能有不同的響應形式，如單調收斂、振蕩收斂或振蕩發散等。自動控制原理9例如：具有分段線性特性的非線性增益控制系統，當初始狀態(初始誤差)。<E時，系統的零輸入響應形式為單調收斂，當初始狀態

>E時，系統的零輸入響應形式為振蕩收斂形式，如圖8.5所示自動控制原理10

3.自激振蕩(極限環):

線性定常系統：例如典型二階線性系統，如果阻尼比

=0，在初始狀態的激勵下，系統的零輸入響應為等幅周期振蕩,其角頻率

取決于系統的參數，其振幅A與初始狀態有關。但是，實際的線性系統要維持振幅A和角頻率

不變的等幅周期振蕩是不可能的。一是系統的參數會發生變化，即使很微小的變化，也將導致

≠0

；二是假定系統的參數不變，

≡0

，然而，系統不可避免地會受到擾動，將使響應的振幅A發生變化，因此，原來的等幅周期振蕩不復存在。自動控制原理11

4.頻率響應:

在正弦輸入信號作用下，非線性系統呈現出一些在線性系統中見不到的特殊現象，諸如跳躍諧振和多值響應、倍頻振蕩和分頻振蕩、頻率捕捉(跟蹤)現象等。下圖為一機械系統，由重物、阻尼器、非線性彈簧組成。其動態特性的微分方程為

(8-1)

式中—重物的位移；

M—質量；

B—阻尼器的粘性摩擦系數；

—非線性彈簧力。自動控制原理12

圖8.7描繪了大于零、等于零、小于零三種情況下頻率和振幅的關系。在對圖8.6所示的系統進行強迫振蕩實驗時，系統的微分方程為式中為外作用函數。式中為外作用函數圖8.7頻率和振幅的關系曲線自動控制原理13

因此，響應曲線實際上是不連續的，并且對于頻率增加和減小的兩種情況,響應曲線上的點沿著不同的路線移動。點2與點5之間曲線對應的振蕩是不穩定的振蕩，在實驗中是觀測不到的。

(a)具有硬彈簧的機械系統(b)具有軟彈簧的機械系統

圖8.8機械系統的頻率響應自動控制原理148.3相平面法

相平面法是龐卡萊(H.Poincare)提出來的一種用圖解法求解一階、二階微分方程的方法，它實質上屬于狀態空間分析法在二維空間中的應用，該方法適合于研究給定初始狀態的二階自由運動系統和給定初始狀態及非周期輸入信號(如階躍、斜坡或脈沖信號等)的二階系統

8.3.1相平面的基本概念

8.3.2相平面圖的繪制

8.3.3奇點和極限環

8.3.4相平面分析舉例自動控制原理158.3.1相平面的基本概念

考慮二階線性系統

(8-2)

式中

與是阻尼比和無阻尼自然振蕩頻率。設系統僅由初始條件激勵。這一系統的狀態可以用兩個變量，和來描述。若令，則方程(8-2)可化為

(8-3)(8-4)

只要給定初始條件、或、，由這兩個一階聯立微分方程便可唯一地確定系統的狀態。如此定義的變量和稱為相變量(或狀態變量)。圖8.9(a)繪出了初始條件為及時，和在不同阻尼下的時間響應曲線。自動控制原理16

（a）(b)

圖8.10相平面圖圖8.9時間響應與相軌跡自動控制原理178.3.2相平面圖的繪制

設描述二階系統的微分方程為

(8-5)

是的線性函數或非線性函數。若令為相變量，并將式(8-5)化為兩個一階微分方程

(8-6)

(8-7)

用式(8-6)去除式(8-7)，于是得到一個以x為自變量，為因變量，不顯含時間t的一階微分方程

(8-8)

式(8-8)給出了相軌跡通過點的斜率。根據此式，用解析法或圖解法即可繪出相平面圖。自動控制原理18

1.相平面圖的特點相平面圖的對稱性可以從相軌跡的斜率來判斷。若相平面圖關于軸對稱，則相軌跡曲線在和點上的斜率相等，符號相反。由式(8-8)，應有

即是關于x的奇函數。若相平面圖關于x軸對稱，則相軌跡曲線和的斜率相等，符號相反，應有

即是關于的偶函數。

若相平面圖關于原點對稱，則相軌跡曲線在和點上的斜率相等，符號相同，應有即有。

（1）相平面圖的對稱性自動控制原理19

1.相平面圖的特點

相平面上任一點，只要不同時滿足和，則由式(8-8)確定的斜率是唯一的，通過該點的相軌跡有且僅有一條，這樣的點稱為普通點。在相平面上，同時滿足和的點，由于相軌跡的斜率不是一個確定的值，說明通過該點的相軌跡曲線有一條以上，這樣的點稱為奇點，顯然奇點只分布在相平面的x軸上。

（2）相平面圖上的奇點和普通點

自動控制原理20（3）相軌跡通過x軸的斜率

在x軸上，所有點都滿足。除奇點外相軌跡在x軸上的斜率為

所以，除了奇點外，相軌跡和x軸垂直相交。

（4）相軌跡移動的方向在相平面的上半平面，由于，則x隨著參變量時間t的加而增大，所以系統狀態沿相軌跡由左向右運動；反之，下半平面，由于，則x隨著時間t的增加而減小，所以系統態沿相軌跡由右向左運動。系統狀態沿相軌跡的移動方向相軌跡上的箭頭表示。自動控制原理21

2.繪制相平面圖的解析法

若系統微分方程比較簡單，則對式(8-8)直接積分即可求得相軌跡方程

(8-9)

式中包含了初始條件。給定不同初始條件，由式(8-9)可直接繪出系統的相平面圖。若系統微分方程不能直接積分求解，則可先求得時間解，，然后消去變量t求得相軌跡方程。若消去t有困難或過于煩雜，則可求得不同t時的x，值，據此數值關系畫出相軌跡曲線。自動控制原理22例8-1

二階系統的微分方程為，試繪制系統的相平面圖。

解系統方程可改寫為

(8-10)方程(8-10)可用分離變量法進行積分，求得相軌跡方程為

(8-11)式中C為常量，由初始條件確定。設初始狀態為，則C=。由方程(8-11)可知，系統相軌跡為一組以坐標原點為中心的橢圓軌跡簇，如圖8.11所示。其中粗實線是初始條件為的相軌跡。圖8.11例8-1的相平面圖自動控制原理233.繪制相平面圖的圖解法——等傾線法例8-2

試用等傾線法求下列方程的相平面圖。

(8-17)解式(8-17)是非線性微分方程,但可分解為兩個線性微分方程，(8-18),(8-19)由方程(8-17)可知,而。因此相平面圖對稱于x軸。由式(8-18)可得上半平面的等傾線方程：

自動控制原理248.3.3奇點和極限環1.奇點對于二階系統

(8-21)

相軌跡的斜率可表示為

(8-22)

在奇點處，相軌跡的斜率不確定，即同時滿足

(8-23)

如果把相變量x視為位移，于是和可以理解為速度和加速度。在奇點處，由于系統的速度和加速度均為零，因此奇點就是系統的平衡點。自動控制原理25系統奇點的分類焦點節點中心點鞍點自動控制原理262．極限環

（1）穩定極限環（2）不穩定極限環（3）半穩定極限環圖8.16極限環示意圖自動控制原理27

解由求得系統的奇點為根據式(8.25)在奇點處進行線性化來確定奇點的性質。在(xi,0)奇點附近，系統的線性化方程為

在奇點(0，0)處，xi=x1=0，則系統的線性化方程為式中阻尼比0＜

＜1，因此奇點(0，0)為穩定焦點。在奇點(-2，0)處，xi=x2=-2，代入前式得線性化方程為由奇點類型可知，奇點(-2，0)為鞍點，是不穩定奇點。例8-3某系統方程如下，試分析系統的穩定性自動控制原理28

利用等傾線法可求得相平面圖，如圖8.17所示。可以看到通過鞍點的一條分界線，把相平面分為兩個區域。在陰影區域內，所有相軌跡都收斂于穩定焦點(0，0)，是穩定區域。在此范圍外，則所有相軌跡都將趨于無窮，是不穩定區域。這證實了非線性系統的重要特點：系統的穩定性與初始條件有關。圖8.17例8-3的相平面圖自動控制原理298.3.4相平面分析舉例1.繼電型控制系統的分析:（1）理想繼電器特性

圖8.18理想繼電器型非線性系統0

設繼電型控制系統如圖8.18(a)所示,試分析在階躍信號作用下系統的性能。繼電型特性為：當e＞0時，m=M；當e＜0時，m=-M。因此分界線為直線e=0。它把相平面分成兩個線性區域Ⅰ區、Ⅱ區。自動控制原理30

在區域Ⅰ內，e＞0，m=M，系統方程為

(8-26)

由(8-26)式可得等傾線方程

等傾線是平行于e軸的直線，其中有一條特殊的等傾線，即當a=0時的等傾線，此時，相軌跡的斜率與相應的等傾線斜率相等，全部相軌跡曲線都趨近于該直線。相軌跡曲線簇Ⅰ如圖8.18(b)右半平面所示。

在區域Ⅱ內，e＜0，m=-M，系統方程為

(8-27)

比較方程(8-26)、(8-27)可知，其相平面圖對稱于原點。利用對稱性求得相軌跡曲線簇Ⅱ如圖8.18(b)左半面所示。

自動控制原理31

（2）滯環繼電特性

圖8.18(a)所示的非線性系統中，若繼電器元件換成如圖8.19(a)所示的滯環特性，則該非線性特性可用以下方程描述：

在＞0時的平面內，分界線為e=+。在＜0的平面內，分界線為e=-。它們把相平面分為兩部分。其右半平面，系統在+M信號作用下，系統方程為式(8-26)，相軌跡為曲線簇Ⅰ。其左半平面，系統在-M信號作用下，系統方程為式(8-27)，相軌跡為曲線簇Ⅱ。相平面如圖8.19(b)所示。在階躍輸入作用下，系統的運動軌跡如圖中粗實線所示。相軌跡收斂于穩定極限環，極限環隨的增大而增大。自動控制原理32mMe-M(a)--mM-M(a)e圖8.19滯環繼電型非線性系統圖8.20死區繼電型非線性系統自動控制原理33(3)死區繼電特性:圖:8.18所示的非線性系統中，若繼電元件具有如圖8.20(a)所示的死區特性，則可用以下方程描述當e＞，m=+M

當e＜-，m=-M

當-＜e＜，m=0

分界線為e=+和e=-，它們將相平面分為三個區域，如圖8.20(b)所示。在區域Ⅰ、Ⅱ中，系統方程分別用式(8-26)、(8-27)描述，相軌跡分別為曲線族Ⅰ、Ⅱ。在區域Ⅲ中，m=0，系統的誤差方程為可求得相軌跡的斜率為常數，即其相軌跡是一組斜率為的直線。由上式還可得到：當時,必有。因此在區域Ⅲ內，直線上所有點都是奇點(又稱奇線或平衡線)。系統的相平面圖如8.20(b)所示。由圖可知系統可能穩定在奇線上任一點。自動控制原理34

為了縮短調節時間，減少振蕩次數，繼電控制系統可采用速度反饋校正，如圖8.21(a)所示。繼電元件的輸入信號為，當系統在階躍信號r(t)=1(t)作用下，由e=r-c可得繼電元件輸入信號，因此當則當則分界線由方程確定，這是一條通過原點，斜率為-1/Kt的直線。它將相平面分為Ⅰ、Ⅱ兩個區域，分別由方程(8-26)、(8-27)描述。圖8.21(b)中給出了分界線及其相軌跡曲線Ⅰ、Ⅱ。自動控制原理35在階躍輸入作用下，系統狀態的運動如圖中實線所示。相軌跡由初始點A0開始，沿相軌跡Ⅰ移動到達分界線上的銜接點A1；進入線性區Ⅱ后，沿相軌跡Ⅱ移動到下一個銜接點A2，…。當銜接點位于分界線B1B2線段內時，相軌跡將沿分界線向原點滑動，最后趨近于原點，這就是非線性系統的“滑動”現象，該現象可以縮短系統的調節時間。比較圖8.19(b)及圖8.21，可以明顯看到速度反饋校正的效果：超調量減小，調節時間縮短，振蕩次數減少。圖8.21繼電型非線性系統的速度反饋校正自動控制原理362.具有非線性增益控制系統的分析在線性系統中，增益的選擇需要兼顧調節時間、超調量及振蕩次數等性能指標，當增益K值取得較大時，系統快速性較好，但超調量大，振蕩次數多,如圖曲線1所示。若K值較小，超調量、振蕩次數將減小，但系統快速性較差，如圖曲線2所示。在線性系統中只能選取折中方案。若采用非線性校正，則可能得到較好效果如圖曲線3所示。自動控制原理37（1）階躍響應分析

設系統輸入信號為階躍函數r(t)=R，當t＞0時，故在Ⅰ區內系統方程為(8-34)

系統奇點位于原點(0，0)，為穩定節點。在Ⅱ區內，系統方程為(8-35)

系統奇點位于原點(0，0)，為穩定焦點，但是由于該奇點不在Ⅱ區內，系統狀態實際上不能到達該點，故稱該點為虛奇點。在階躍輸入作用下，系統狀態的運動軌跡如圖8.24

所示。相軌跡的起點A由初始條件e(0)=R

，所決定，它經過BCDEF

最終趨向于相平面的原點，雖然響應曲線是振蕩的，但超調量，振蕩次數都減小很多。自動控制原理38（2）斜坡響應分析

設輸入信號r(t)=R+Vt，當t＞0時，，由式(8.32)和(8.33)可得

(8-36)(8-37)

與前面階躍輸入情況相比，相平面的分界線沒有變化，但奇點的位置不同。式(8-36)對應的奇點P1位于(V/kK，0)，式(8-37)對應的奇點P2位于(V/K，0)，因為k

1，所以P1總在P2的右邊。圖8.25圖8.26V＜kKe0，R＞e0時的相軌跡kKe0＜V＜Ke0，R=0時的相軌跡

自動控制原理391.諧波線性化

系統中常見的非線性特性，當輸入為正弦函數時，其輸出一般為同周期的非正弦函數。

例如對理想繼電特性加以正弦輸入信號，則輸出y(t)為與輸入同周期的方波，見圖。圖8.27理想繼電特性在正弦輸入時的輸出波形

8.4.1描述函數的基本概念8.4描述函數法

描述函數法的基本原理：當系統滿足一定條件時，系統中非線性環節在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導出非線性環節的近似等效頻率特性。

自動控制原理40(8-39)

設非線性環節描述為非線性特性的輸入信號為輸出信號可以表示為傅氏級數形式式中

若非線性特性具有奇對稱特性，則A0=0，如果略去輸出高次諧波分量，僅以基波分量近似地代替整個輸出，則有(8-40)式中自動控制原理412．描述函數

非線性特性在進行諧波線性化后，參照幅相頻率特性的定義，建立非線性特性的等效幅相特性，即描述函數。把非線性元件輸出信號y(t)中的一次諧波分量y1(t)與正弦輸入信號x(t)的復數比，稱為非線性元件的描述函數，其數學表達式為(8-41)式中A為非線性元件正弦輸入信號的振幅為非線性元件輸出信號中一次諧波分量的振幅；為非線性元件輸出信號中一次諧波分量的相位移。自動控制原理428.4.2典型非線性特性的描述函數1.飽和特性飽和特性以及它對正弦輸入的輸出波形如圖(8-42)飽和特性的描述函數為(8-43)自動控制原理432.死區特性死區特性以及它對正弦輸入的輸出波形如圖所示于是死區特性的描述函數為(8-44)

(8-45)自動控制原理44(8-47)式中3.繼電器特性

（1）具有死區和滯環的繼電器其輸出量y(t)的方程為具有死區和滯環的繼電器特性以及它對正弦輸入的輸出波形如圖所示。自動控制原理45于是，具有死區和滯環繼電器的描述函數為(8-48)（2）雙位繼電器

雙位繼電器非線性的描述函數

(8-49)

雙位繼電器非線性

自動控制原理46（4）具有滯環的繼電器

三位繼電器特性的描述函數

(8-50)

圖8.32三位繼電器非線性

具有滯環繼電器非線性的描述函數(8-51)

圖8.33滯環繼電器非線性（3）三位繼電器自動控制原理478.4.3用描述函數法分析非線性系統1.描述函數法的應用條件

（1）非線性系統能簡化成一個非線性環節和一個線性部分且閉環連接的典型結構形式，如圖所示，其中G(s)代表系統的線性部分。

非線性控制系統（2）非線性環節輸入輸出特性y(x)應是x的奇函數，即以保證非線性環節的正弦響應不含有常值分量，即

（3）系統的線性部分應具有較好的低通濾波性能。當非線性環節的輸入為正弦信號時，實際輸出必定含有高次諧波分量，但經線性部分傳遞之后，由于低通濾波的作用，高次諧波分量將被大大削弱，從而保證描述函數法所分析的結果比較準確。自動控制原理48

當非線性特性采用描述函數近似等效時，閉環系統的特征方程為1+N(A)G(jω)=0或N(A)G(jω)=-1(8-52)即G(jw)=-1/N(A)(8-53)-1/N(A)稱為非線性環節的負倒描述函數。由線性控制系統理論知，線性系統的特征方程為G(jω)=-1(8-54)

根據復平面內系統的開環頻率特性G(jω)曲線與臨界點(-1，j0)的相對位置，應用奈魁斯特(Nyquist)穩定判據，可以分析線性控制系統的穩定性。將方程(8-53)與(8-54)對照，顯然可以把奈魁斯特穩定判據，推廣應用于諧波線性化的非線性系統，需要修改的僅僅是將復平面內的臨界點(-1，j0)擴展為臨界曲線，即-1/N(A)曲線。

2.非線性系統的穩定性分析

自動控制原理49

如果-1/N(A)曲線被G(jω)曲線全部包圍(圖8.35(b))，則系統狀態在干擾作用下，不能回到平衡狀態，所以系統是不穩定的。

如果-1/N(A)曲線與線性部分頻率特性G(jw)曲線相交(圖8.35(c))，交點處的參數，即振幅Ai和頻率wi使方程(8-52)或(8-53)成立，非線性系統可能產生的自激振蕩.圖8.35非線性系統零平衡狀態的穩定性

根據奈魁斯特穩定性判據，如果-1/N(A)曲線不被G(jω)曲線包圍(8.35(a))則系統是穩定的。

自動控制原理50(2)如果系統產生自激振蕩，確定自激振蕩的參數A和ω。

解由式(8-49)求得-1/N(A)曲線在復平面內與負實軸重合。線性部分的頻率特性G(jω)為(8-56)3．描述函數分析舉例

例8-4

雙位繼電器非線性系統（圖8.36）線性部分的傳遞函數為系統的參考輸入r(t)=0，系統開始處于靜止狀態。(1)分析非線性系統零平衡狀態的穩定性和自激振蕩的穩定性；自動控制原理51例8-4系統的-1/N(A)曲線和G(jw)曲線

G(jω)曲線與負實軸(即雙位繼電器的-1/N(A)曲線)相交時，G(jω)的虛部為零。令G(jω)的虛部為零，求得G(jw)曲線與-1/N(A)曲線交點處的頻率w

于是(弧度/秒)(

棄之)。將

代入式(8-63)得到交點處的參數應滿足系統的特征方程雙位繼電器非線性系統在復平面內畫出雙位繼電器的-1/N(A)曲線和線性部分的G(jω)曲線如圖所示。自動控制原理52即有：

求得交點處自激振蕩的振幅為A=8M/π。

雙位繼電器的輸入信號x(t)為線性部分G(s)的輸出為-

雙位繼電器的輸出信號y(t)是振幅為M的方波，根據式(8-38)其基波分量為經線性部分后相應的基波分量為即線性部分輸出中所含基波分量的振幅為8M/π。

由式(8-38)得方波y(t)中的三次諧波分量為自動控制原理53而于是y(t)中的三次諧波分量y3(t)經過線性部分濾波后，相應的振幅成為例8-5

具有三位繼電器的非線性系統如圖。其參考輸入系統開始處于靜止狀態，試分析非線性系統零平衡狀態的漸近穩定性和自激振蕩的穩定性。

解線性部分的頻率特性G(jw)與例8-4相同，并且G(jw)曲線與負實軸相交時，交點的坐標為

自動控制原理54

三位繼電器非線性特性的負倒描述函數-1/N(A)為式(8-50)的負倒數，即（8-57）由式(8-57)計算出-1/N(A)的數據如表8.2所示。A

…0.6180.680.750.85711.332.46

…-1/N(A)

…-2-1.2-1-0.94-1-1.2-2

…表8.2三位繼電器-1/N(A)隨A變化數據在復平面內畫出-1/N(A)曲線和G(jw)曲線如圖所示。自動控制原理55

4．非線性系統結構的簡化

（1）非線性特性的并聯圖8.42兩個非線性部件并聯的系統（2）非線性特性的串聯

當兩個非線性環節串聯環節時，則先將兩個環節的特性等效為一個特性，然后求總描述函數N(A)。如圖表示了死區特性與帶死區的繼電特性相串聯的等效非線性圖形。應當注意，調換串聯環節的前后次序，等效特性將會不同

自動控制原理56（3）存在局部反饋情況

如圖給出了非線性系統的另一種結構。對這種結構，可以通過適當變換，歸化為一個線性部分與一個非線性部分的串聯結構：

而