正方形難題部分1.（2011?牡丹江）如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過點0作射線OM、ON分別交AB、BC于點E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于點P．則下列結論中：

（1）圖形中全等的三角形只有兩對；

（2）正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；

（3）BE＋BF＝（4）AE2+CF2=20P?OB2.（2011·南充）已知：如圖，正方形ABCD中，對角線的交點為O，E是OB上的一點，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求證：OE=OF3.（2009重慶）已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，EB=5．（1）求證：△APD≌△AEB；（2）探究EB與ED的位置關系，并說明理由；（3）求正方形ABCD的面積4.（2010?南寧）正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點G在線段DK上，且G為BC的三等分點，R為EF中點，正方形BEFG的邊長為4，則△DEK的面積為多少？5.點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．若AB=，AG=1，則EB為多少？6.（2009·孝感）如圖，正方形ABCD內有兩條相交線段MN、EF，M、N、E、F分別在邊AB、CD、AD、BC上．甲同學認為：若MN=EF，則MN⊥EF；乙同學認為：若MN⊥EF，則MN=EF．你認為那個對？7.（2008?無錫）如圖，E，F，G，H分別為正方形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且AE=BF=CG=DH=AB，則圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為（）8.（2007?天門）如圖所示，O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使FC=EC，連接DF交BE的延長線于點H，連接OH交DC于點G，連接HC．則下列結論：①OH∥BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④FH2=HE?HB，正確的是那些？9.（2005?太原）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面積等于10.（2005濟南）圖，是由兩個正方形組成的長方形花壇ABCD，小明從頂點A沿著花壇間小路走到長邊中點O，再從中點O走到正方形OCDF的中心O1，再從中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又從中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再從O3走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了31eq\r(2)m，11.（2003?河北）如圖，E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE=BC，P為CE上任意一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于點R，則PQ+PR的值是多少？12.如圖，正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G求證△DHG為等腰△13（2006?河北）1，一等腰直角三角尺GEF的直角與的重合一起．現保持不動，將三角尺GEF繞斜EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉．

（1）2，當EF與AB于點M，GF與BD于點N時，通過觀察或測量BM，FN的長度，猜想BM，FN滿足的數量關系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉到3所示的位置時，FE的延長線與AB的延長線于點M，BD的延長線與GF的延長線于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．13，正方形OEFG繞著邊長為12的正方形ABCD的對角線的交點O旋轉，邊OE、OG分別交邊AD、AB于點M、N．

（1）求證：OM=ON；

（2）設正方形OEFG的對角線OF與邊AB相交于點P，連接PM．若PM=5，試求AM的長；

（3）連接MN，求線段MN長度的最小值，并指出此時線段MN與線段BD的關系．14.（2011?濰坊）已知正方形ABCD的邊長為a，兩條對角線AC、BD相交于點O，P是射線AB上任意一點。過P分別作AC,BD的垂線PE、PF，垂足為E、F．（1）如圖1，當P點在線段AB上時，求PE+PF的值．

（2）如圖2，當P點在線段AB的延長線上時，求PE-PF的值．15.如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于O點，在BD上截取BE=BC，連接CE，點P是CE上任意一點，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的邊長為1，則PM+PN為多少？16.如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊作等邊三角形CDE，BE與AC相交于點M，則∠AMD的度數是、17.如圖，正方形ABCD的面積為1，△BPC為等邊三角形，則△PBD的面積為多少？18.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于O，AB=2，E是BC中點，點P在對角線AC上滑動，則BP+EP的最小值是多少？19.如圖，正方形ABC0中，點E、F分別在AB、BC上，∠EOF=45°，OD⊥EF于D，OA=OD，DE=2，DF=3．則正方形ABCD的邊長為多少？20.如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF給出下列五個結論：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正確結論的個數是什么？21.已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．下列結論①BF⊥AC，②CE2=2BE2，③AB2=2FG2．其中正確的是22.已知點E是正方形ABCD外的一點，EA=ED，線段BE與對角線AC相交于點F，

（1）如圖1，當BF=EF時，線段AF與DE之間有怎樣的數量關系？并證明；

（2）如圖2，當△EAD為等邊三角形時，寫出線段AF、BF、EF之間的一個數量關系，并證明．23.如圖所示，已知E是邊長為1的正方形ABCD對角線BD上一動點，點E從B點向D點運動（與B、D不重合），過點E作直線GH平行于BC，交AB于點G，交CD于點H，EF⊥AE于點E，交CD（或CD的延長線）于點F．

（1）如圖（1），求證：△AGE≌△EHF；

（2）點E在運動的過程中（圖（1）、圖（2）），四邊形AFHG的面積是否發生變化？請說明理由．24.（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數量關系，直接寫出判斷結果：EF=BE+DF（2）如圖2，若把（1）問中的條件變為“在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD”，則（1）問中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

（3）在（2）問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉，當點分別E、F運動到BC、CD延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結論是否發生變化？若變化，請給出結論并予以證明25.如圖1，在正方形ABCD中，若點E是△DBC內的一點，且DE=DC，BE=CE．

（1）連接AE．說明△ABE≌△DCE的理由；

（2）求∠BDE與∠CDE度數的比值；

（3）拓展探索：若只將題中的條件“正方形ABCD”換成條件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，2∠DBC=∠DCB”．如圖2，研究∠BDE與∠CDE度數的比值是否與（2）中的結論相同，寫出你的研究結果并說明理由26.（1）如圖（1）正方形ABCD中，AE⊥BF于點G，試說明AE=BF．

（2）如果把線段BF變動位置如圖（2），其余條件不變，（1）中結論還成立嗎？

（3）如果把AE與BF變動位置如圖（3），結論還成立嗎？27.正方形ABCD中對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，F是OB上一點，且OE=OF，回答下列問題：

（1）在圖中1，可以通過平移、旋轉、翻折中的哪一種方法，使△OAF變到△OBE的位置．請說出其變化過程．

（2）指出圖（1）中AF和BE之間的關系，并證明你的結論．

（3）若點E、F分別運動到OB、OC的延長線上，且OE=OF（如圖2），則（2）中的結論仍然成立嗎？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明你的理由．28.如圖1，已知正方形ABCD，將一個45度角∝的頂點放在D點并繞D點旋轉，角的兩邊分別交AB邊和BC邊于點E和F，連接EF．求證：EF=AE+CF

（1）小明是這樣思考的：延長BC到G，使得CG=AE，連接DG，先證△DAE≌△DCG，再證△DEF≌△DGF，請你借助圖2，按照小明的思路，寫出完整的證明思路．

（2）劉老師看到這條題目后，問了小明兩個小問題：①如果正方形的邊長和△BEF的面積都等于6，求EF的長②將角∝繞D點繼續旋轉，使得角∝的兩邊分別和AB邊延長線、BC邊的延長線交于E和F，如圖3所示，猜想EF、AE、CF三線段之間的數量關系并給予證明．請你幫忙解決．29.如圖1，點M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點，連接CN、DM．

（1）