高三數學復習提綱第62頁第01章集合與簡易邏輯集合及其運算一．集合的概念：某些指定的對象集在一起就稱為一個集合，也簡稱集．二．集合的特征：⑴確定性⑵無序性⑶互異性三．表示方法：⑴列舉法⑵描述法⑶圖示法⑷區間法四．兩種關系：1．從屬關系體現了對象與集合的關系，用、等符號連接；2．包含關系體現了集合與集合的關系，用、等符號連接；注：⑴子集：對于兩個集合與，如果集合中的每一個元素都在集合中，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作：，也稱作集合A是集合B的子集．⑵集合相等：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作．⑶真子集：對于兩個集合與，如果，并且，我們就說集合A是集合B的真子集，記作．五．三種運算：交集：并集：補集：六．運算性質：1．子集（真子集）的性質：⑴空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．⑵含有個元素的集合的所有子集的個數為，所有真子集的個數為，所有非空真子集的個數為，所有二元子集（含有兩個元素的子集）的個數為．2．交集的性質：⑴，，；⑵若，則，反之也成立3．并集的性質：⑴，，，⑵若，則，反之也成立．4．補集的性質：⑴，，．⑵，．六．常見數集：正整數集自然數集整數集有理數集實數集復數集簡易邏輯一．邏輯聯結詞：1．命題是可以判斷真假的語句的語句，其中判斷為正確的稱為真命題，判斷為錯誤的為假命題．2．邏輯聯結詞有“或”、“且”、“非”．3．不含有邏輯聯結詞的命題，叫做簡單命題，由簡單命題再加上一些邏輯聯結詞構成的命題叫復合命題．4．真值表：pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假二．四種命題：1．原命題：若則逆命題：若P則q，即交換原命題的條件和結論；否命題：若q則p，即同時否定原命題的條件和結論；逆否命題：若┑P則┑q，即交換原命題的條件和結論，并且同時否定．2．四個命題的關系：⑴原命題為真，它的逆命題不一定為真；⑵原命題為真，它的否命題不一定為真；⑶原命題為真，它的逆否命題一定為真．三．充分條件與必要條件1．“若則”是真命題，記做，“若則”為假命題，記做，2．若，則稱是的充分條件，是的必要條件3．若，且，則稱是的充分非必要條件；若，且，則稱是的必要非充分條件；若，且，則稱是的充要條件；若，且，則稱是的既不充分也不必要條件．4．若的充分條件是，則；若的必要條件是，則．第02章函數指數與對數運算一．分數指數冪與根式：如果，則稱是的次方根，的次方根為0，若，則當為奇數時，的次方根有1個，記做；當為偶數時，負數沒有次方根，正數的次方根有2個，其中正的次方根記做．負的次方根記做．1．負數沒有偶次方根；2．兩個關系式：；3、正數的正分數指數冪的意義：；正數的負分數指數冪的意義：．4、分數指數冪的運算性質：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸，其中、均為有理數，，均為正整數二．對數及其運算1．定義：若，且，，則．2．兩個對數：⑴常用對數：，；⑵自然對數：，．3．三條性質：⑴1的對數是0，即；⑵底數的對數是1，即；⑶負數和零沒有對數．4．四條運算法則：⑴；⑵；⑶；⑷．5．其他運算性質：⑴對數恒等式：；⑵換底公式：；⑶；；⑷．函數的概念一．映射：設A、B兩個集合，如果按照某中對應法則，對于集合A中的任意一個元素，在集合B中都有唯一的一個元素與之對應，這樣的對應就稱為從集合A到集合B的映射．二．函數：在某種變化過程中的兩個變量、，對于在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，都有唯一確定的值和它對應，則稱是的函數，記做，其中稱為自變量，變化的范圍叫做函數的定義域，和對應的的值叫做函數值，函數值的變化范圍叫做函數的值域．函數是由非空數集到非空數集B的映射．三．函數的三要素：解析式；定義域；值域，函數當且僅當解析式和定義域相同時，才是相同的函數函數的解析式一．根據對應法則的意義求函數的解析式；例如：已知，求函數的解析式．二．已知函數的解析式一般形式，求函數的解析式；例如：已知是一次函數，且，函數的解析式．三．由函數的圖像受制約的條件，進而求的解析式．函數的定義域一．根據給出函數的解析式求定義域：⑴整式：⑵分式：分母不等于0⑶偶次根式：被開方數大于或等于0⑷含0次冪、負指數冪：底數不等于0⑸對數：底數大于0，且不等于1，真數大于0二．根據對應法則的意義求函數的定義域：例如：已知定義域為，求定義域；已知定義域為，求定義域；三．實際問題中，根據自變量的實際意義決定的定義域．函數的值域一．基本函數的值域問題（見第9頁）：二．求函數值域（最值）的常用方法：函數的值域決定于函數的解析式和定義域，因此求函數值域的方法往往取決于函數解析式的結構特征，常用解法有：觀察法、配方法、換元法（代數換元與三角換元）、常數分離法、單調性法、不等式法、*反函數法、*判別式法、*幾何構造法和*導數法等．反函數一．反函數：設函數的值域是，根據這個函數中，的關系，用把表示出，得到．若對于中的每一值，通過，都有唯一的一個與之對應，那么，就表示是自變量，是自變量的函數，這樣的函數叫做函數的反函數，記作,習慣上改寫成．二．函數存在反函數的條件是：、一一對應．三．求函數的反函數的方法：⑴求原函數的值域，即反函數的定義域⑵反解，用表示，得⑶交換、，得⑷結論，表明定義域四．函數與其反函數的關系：⑴函數與的定義域與值域互換．⑵若圖像上存在點，則的圖像上必有點，即若，則．⑶函數與的圖像關于直線對稱．函數的單調性一．定義：一般的，對于給定區間上的函數，如果對于屬于此區間上的任意兩個自變量的值，，當時滿足：⑴，則稱函數在該區間上是增函數；⑵，則稱函數在該區間上是減函數．二．判斷函數單調性的常用方法：1．定義法：⑴取值；⑵作差、變形；⑶判斷：⑷定論：*2．導數法：⑴求函數f(x)的導數；⑵解不等式，所得x的范圍就是遞增區間；⑶解不等式，所得x的范圍就是遞減區間．3．復合函數的單調性：對于復合函數，設，則，可根據它們的單調性確定復合函數，具體判斷如下表：增增增增減減減增減減減增函數的奇偶性：一．定義：對于函數定義域中的任意一個，如果滿足，則稱函數為奇函數；如果滿足，則稱函數為偶函數．二．判斷函數奇偶性的步驟：1．判斷函數的定義域是否關于原點對稱，如果對稱可進一步驗證，如果不對稱，則函數既不是奇函數也不是偶函數．2．驗證與的關系，若滿足，則為奇函數，若滿足，則為偶函數，否則既不是奇函數，也不是偶函數．二．奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱．三．已知、分別是定義在區間、上的奇（偶）函數，分別根據條件判斷下列函數的奇偶性．奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶五．若奇函數的定義域包含，則．六．一次函數是奇函數的充要條件是；二次函數是偶函數的充要條件是．七．奇函數在對稱區間上的單調性相反；偶函數在對稱區間上的單調性相同．函數的周期性：一．定義：對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的每一個值時，都有，則為周期函數，為這個函數的一個周期．二．如果函數所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做的最小正周期．如果函數的最小正周期為，則函數的最小正周期為．三．如果函數滿足、或恒成立，均可證明函數為周期函數，且為這個函數的一個周期．函數的圖像一．基本函數的圖像1．反比例函數圖像定義域值域單調性在，為減函數在，為增函數奇偶性奇函數奇函數2．一次函數圖像定義域值域單調性在為增函數在為減函數奇偶性當時為奇函數當時為奇函數3．二次函數圖像定義域值域單調性在為減函數在為增函數在為增函數在為減函數奇偶性當時為偶函數當時為偶函數4．指數函數圖像定義域值域單調性在為減函數在為增函數奇偶性既不是奇函數也不是偶函數既不是奇函數也不是偶函數其它當時，當時，當時，當時，5．對數函數圖像定義域值域單調性在為減函數在為增函數奇偶性既不是奇函數也不是偶函數既不是奇函數也不是偶函數其它當時，當時，當時，當時，二．圖像變換：將圖像上每一點向上或向下平移個單位，可得的圖像將圖像上每一點向左或向右平移個單位，可得的圖像將圖像上的每一點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍，可得的圖像將圖像上的每一點縱橫坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的，可得的圖像關于軸對稱關于軸對稱將位于軸左側的圖像去掉，再將軸右側的圖像沿軸對稱到左側，可得的圖像將位于軸下方的部分沿軸對稱到上方，可得的圖像三．函數圖像自身的對稱關系圖像特征關于軸對稱關于原點對稱關于軸對稱關于直線對稱關于直線軸對稱關于直線對稱周期函數，周期為四．兩個函數圖像的對稱關系圖像特征與關于軸對稱與關于軸對稱與關于原點對稱與關于直線對稱與關于直線對稱與關于軸對稱第03章數列數列的基本概念一．數列是按照一定的順序排列的一列數，數列中的每一個數都叫做這個數列的項．二．如果數列中的第項與項數之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公事，它實質是定義在正整數集或其有限子集的函數解析式．三．數列的分類：按項的特點可分為遞增數列、遞減數列、常數列、搖擺數列按項數可分為有窮數列和無窮數列四．數列的前項和：與的關系：五．如果已知數列的第1項(或前幾項)，且任一項與它的前一項(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．遞推公式也是給出數列的一種方法．如：在數列中，，，其中即為數列的遞推公式，根據數列的遞推公式可以求出數列中的每一項，同時可根據數列的前幾項推斷出數列的通項公式，至于猜測的合理性，可利用數學歸納法進行證明．如上述數列，根據遞推公式可以得到：，，，，進一步可猜測．等差數列一．定義：如果一個數列從第2項起，每一項與前一項的差是同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示．二．通項公式：若已知、，則；若已知、，則三．前項和公式：若已知，，則；若已知、，則注：⑴前項和公式的推導使用的是倒序相加法的方法．⑵在數列中，通項公式，前項和公式均是關于項數的函數，在等差數列通項公式是關于的一次函數關系，前項和公式是關于的沒有常數項的二次函數關系．⑶在等差數列中包含、、、、這五個基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在數列運算中，只需知道其中任意3個，可以求出其余基本量．四．如果、、成等差數列，則稱為與的等差中項，且．五．證明數列是等差數列的方法：1．利用定義證明：2．利用等差中項證明：3．利用通項公式證明：4．利用前項和公式證明：六．性質：在等差數列中，1．若某幾項的項數成等差數列，則對應的項也成等差數列，即：若若，則．2．若兩項的項數之和與另兩項的項數之和相等，則對應項的和也相等，即：若，則．3．依次相鄰每項的和仍成等差數列，即：，，成等差數列．4．，，，…，，仍成等差數列，其公差為．等比數列一．定義：如果一個數列從第2項起，每一項與前一項的比都是同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用宇母表示．二．通項公式：若已知、，則；若已知、，則三．前項和公式：當公比時，當公比時，若已知、、，則若已知、、，則注：⑴等比數列前項和公式的推導使用的是錯位相減的方法．⑵在等比數列中包含、、、、這五個基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在數列運算中，只需知道其中任意3個，可以求出其余基本量．四．若、、成等比數列，則稱為與的等比中項，且、、滿足關系式．五．證明數列是等比數列的方法：1．利用定義證明：2．利用等比中項證明：3．利用通項公式證明：六．性質：在等比數列中，1．若某幾項的項數成等差數列，則對應的項成等比數列，即：若，則2．若兩項的項數之和與另兩項的項數之和相等，則對應項的積相等，即：若，則3．若數列公比，則依次相鄰每項的和仍成等比數列，即，，成等比數列。4．，，，…，，仍成等比數列，其公比為．數列求和1．常見數列的前n項和：⑴自然數數列：1，2，3，…，n，…⑵奇數列：1，3，5，…，，…⑶偶數列：2，4，6，…，，…⑷自然數平方數列：，，，…，，…2．等差、等比數列：利用等差、等比數列的求和公式．3．數列滿足：，其中、為等差或者等比數列．方法：拆項，轉化成兩個等差或等比各項的和（差）．4．數列滿足：，其中是公差為的等差數列；是公比為的等比數列．方法：錯位相減．5．若數列滿足：，其中、、均為常數．方法：裂項法，設，其中為可確定的參數．第04章三角函數角度與弧度制1．弧度與角度的互化：2．終邊相同角：與角有相同終邊的角的集合可以表示為：3．特殊角的集合：⑴各個象限的角的集合第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：⑵角的終邊在各個坐標軸上的角的集合終邊在軸的角：終邊在軸的角：終邊在坐標軸上的角：終邊在第一三象限角平分線上：終邊在第二四象限角平分線上：4．弧長公式和扇形面積公式：已知設扇形的半徑為，圓心角為，則弧長，扇形的面積任意角三角函數的定義：二．任意角三角函數的定義：1．定義：以角頂點為原點，始邊為軸的非負半軸建立直角坐標系。在角的終邊上任取不同于原點的一點，設點與原點的距離為，則，則角的六個三角函數依次為：，，，，2．特殊角的三角函數值00101000103．三角函數的定義域與值域：定義域值域4．三角函數值的符號：5．三角函數線如左圖，角的終邊與單位圓交于點，過點作軸的垂線，垂足為，則有向線段為角的正弦線，有向線段為角的余弦線；過點作軸的垂線交角的終邊或角終邊的反向延長線于，則有向線段為角的正切線．同角三角函數基本關系式倒數關系：、、商數關系：、平方關系：正弦、余弦的誘導公式“奇變偶不變”：當為奇數時，的三角函數值為的余函數，當為偶數時，的三角函數值為的原函數；“符號看象限”：在的三角函數前加上一個把看作銳角時原三角函數值的符號.；．；．；．；．；．；．；．；．；．兩角和與差的三角函數：一．基本公式：二．常見關系：1．輔助角公式：如：；；二倍角公式一．基本公式：二．常見關系式：1．2．三角函數的圖像：一．正弦、余弦、正切函數的圖像：1．正弦函數2．余弦函數3．正切函數二．三角函數的圖象變換：1．：將圖象上各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍得到．2．：將圖象上各點縱坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍得到．3．：將的圖象向右或向左平移個單位得到．4．函數的圖象可以看作是由函數的圖象分別經過下面的兩種方法得到：⑴①將的圖象向左或向右平移個單位，可得到函數圖象；②將得到圖象點的縱坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍，得到函數圖象；③將新圖象各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍，可得函數圖象．⑵①將圖象點縱坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍，可以得到函數圖象；②將得到的圖象向左或向右平移個單位就得到函數圖象；③將新的圖象各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍，可得函數的圖象．三．形如的函數圖像的畫法——五點法，即根據分別取、、、、時對應的與的值描點作出的一個周期的圖像．三角函數的性質函數名稱正弦函數余弦函數正切函數定義域RR值域R最值當時，當時，當時，當時，周期奇偶性奇函數偶函數奇函數對稱軸對稱中心單調性增減三角形中的邊角關系一．正弦定理：在一個三角形中，各邊和他所對角的正弦的比都等于該三角形外接圓的直徑，即：二．余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊的平方減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即：推論：；；三．相關結論：在中，角、、所對的邊分別為、、，⑴，，⑵，，，，⑶根據正弦定理：，，⑷三角形面積公式：=1\*GB3①三角形的面積等于三角形任意一邊與對應邊上的高的乘積的一半，即：=2\*GB3②三角形的面積等于三角形的任意兩邊與其夾角的正弦值乘積的一半，即：第05章平面向量向量的基本概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一條有向線段來表示．2．向量的長度：向量的大小，也就是向量的長度（也稱為的模），記作．3．零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的．4．單位向量：長度等于1的向量叫做單位向量．5．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共線向量，若向量、平行，記作．6．相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量的加法與減法：1．兩個向量的和：已知向量、，平移向量，使的起點與的終點重合，那么以的起點為起點，的終點為終點的向量叫做向量與向量的和．求兩個向量和的運算叫做向量的加法．2．向量加法的三角形法則：根據向量和的定義，以第一個向量的終點A為起點作第二個向量，則以的起點O為起點，以的終點B為終點的向量就是與的和，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的三角形法則．3．向量加法的平行四邊形法則：以同一點A為起點的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點的對角線就是，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．4．向量加法運算律：⑴交換律：⑵結合律：5．相反向量：與向量方向相反的向量叫做的相反向量，記作．規定：零向量的相反向量仍是零向量．性質：⑴⑵6．兩個向量的差：加上的相反向量叫做與的差，即：7．向量的減法：求兩個向量差的運算叫做向量的減法。法則：如圖所示，已知向量、，在平面內任取一點O，作，，則，即表示從向量的終點指向的終點的向實數與向量的積：1．實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規定如下：⑴⑵當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反2．實數與向量的積所滿足的運算律：設、為實數，那么：⑴；⑵⑶3．向量共線的充要條件：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數，使得．4．平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數、，使．平面向量的坐標運算：1．平面向量的坐標：分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于一個向量，有且只有一對實數、，使得，則稱為向量的坐標，記做．2．向量的坐標與起點為原點的向量是一一對應的關系，即：向量向量點3．平面向量的坐標運算：設，，，則：⑴；⑵；⑶．若點，，則．4．向量與共線的充要條件是．平面向量的數量積及運算律：1．兩個向量的夾角：已知兩個非零向量，作，，則（）叫做向量與的夾角．當時，與同向；當時，與反向，如果與的夾角是時，則稱與垂直，記作．2．兩個向量的數量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則數量叫做與的數量積，記作，即：．規定：零向量與任一向量的數量積為0，即．3．向量數量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影，其中當為銳角時，它是正值，當為鈍角時，它是負值，當時，它是0．的幾何意義是：數量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積．4．向量數量積的性質：設、都是非零向量，是與的夾角，則：⑴（是與方向相同的單位向量）⑵⑶當與同向時，；當與反向時，；特殊的，，或者⑷⑸5．向量的數量積的運算律：⑴；⑵⑶6．向量數量積的坐標運算：⑴設，，則．⑵若向量，垂直的充要條件是．⑶若，則．⑷設，，則．線段的定比分點與平移1．點分所成的比：設，是直線上的兩點，是上不同于，的任一點，存在實數，使，則叫做點分所成的比．2．定比分點坐標公式：設，，若點分所成的比為，則點的坐標滿足：．3．中點坐標公式：若點為，的中點，則．4．平移公式：若點沿向量平移至點，則第06章不等式不等式的性質1．兩個實數比較大小的依據：2．反對稱性：如果，那么；如果，則．3．傳遞性：如果，且，那么．4．加法性質：如果，那么．推論1：如果，那么．推論2：如果，，那么．推論3：如果，，那么．5．乘法性質：如果，，那么；如果，，那么．推論1：如果，，那么．推論2：如果，那么，且．推論3：如果，，那么．*推論4：如果，，那么．6．開方性質：如果，那么，且．7．；．注：⑴當且僅當時取到等號；⑵；．8．絕對值不等式的性質：．不等式的解法：1．一元一次不等式：RR2、一元二次不等式：兩個不等的實根、兩個相等的實根沒有實數根RRR2.高次不等式：穿線法：例如：第1步：將的最高次項的系數化為正數，并分解為若干一次因式的乘積，即：第2步：將方程的根標在數軸上，并從右上方依次穿過各點畫曲線，且奇穿過，偶回頭。第3步：根據曲線顯示的的值的符號的變化規律，寫出不等式的解集。或或3．分式不等式：分式化整式：1.；2.；3.4．含絕對值的不等式：1.2.3.或或第07章直線與圓一．直線的斜率：1．直線的傾斜角：將直線繞它與軸的交點逆時針旋轉形成的最小的正角稱為直線的傾斜角．直線的傾斜角滿足：．2．直線的斜率：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率．直線的斜率常用k表示．已知點，，若經過這兩點的直線的斜率存在（即），則：．3．若直線的斜率為，傾斜角為，則：二．直線的方程：名稱條件方程限制點斜式點，斜率不能表示垂直于軸的直線斜截式點，斜率不能表示垂直于軸的直線兩點式點，不能表示垂直于軸和軸的直線截距式點，不能表示垂直于軸、軸以過原點的直線一般式、不同時為零說明：⑴確定直線的條件：⑴兩個點；⑵一點和直線的方向．⑵方向向量：為經過點，的直線的一個方向向量，若直線的斜率存在，則向量也是它的方向向量．⑶直線在坐標軸的截距是坐標，不是距離．如直線在軸的截距為，在軸的截距為．三．點與直線的關系：已知點，直線，1．若點在直線上，則2．點到直線的距離四．兩條直線的位置關系1．平行：⑴若，，則，且⑵與直線平行的直線方程為：．⑶兩條平行直線，間的距離2．垂直⑴若，，則，⑵與直線的垂直的直線的方程為．3．三種位置關系的判斷：直線，直線重合平行相交注：以上判斷均針對于參數、、、不為零的情況，否則根據具體情況具體判斷．4．夾角：⑴到的角：直線依逆時針方向旋轉到與重合時所轉的角，且⑵與的夾角：兩條直線所成的不大于直角的角，且，五．對稱1．點關于點的對稱點：中點問題若點，，則點關于點的對稱點的坐標為：2．直線關于點的對稱直線：平行線問題若直線與關于點對稱，則，且點到兩直線的距離相等．3．點關于直線的對稱點：垂直平分線問題點、關于直線對稱，則直線是線段的垂直平分線，滿足條件：⑴；⑵中點在直線上，以此列出下列方程組：，可以求得坐標．4．直線關于直線的對稱直線：角平分線問題．簡單的線性規劃一．二元一次不等式（或）在平面直角坐標系中表示直線某一側所有點組成的平面區域（虛線表示區域不包括邊界直線）．二．確定二元一次不等式表示的區域的步驟如下：1．在平面直角坐標系中作出直線．2．在直線的某一側取一點，特殊地，當時，常把原點作為此特殊點．3．將代入求值．4．若，則包含點的半平面為不等式所表示的平面區域，不包含此點的半平面為不等式所表示的平面區域．三．目標函數，線性目標函數線性規劃問題，可行解，可行域，最優解：在數學中有這樣的一類問題：求出一組變量、的值，使它們滿足不等式組（方程組）：并且使函數取得最大值（或最小值）．式中的，，…，，，，，…，，，均是給定的常數．上述問題中，不等式組是一組對變量、的約束條件，由于這組約束條件都是關于、的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．是欲達到最大值或最小值所涉及的變量、的解析式，我們把它稱為目標函數．由于又是關于、的一次解析式，所以又可叫做線性目標函數．求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題．滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．其中可行解、(一般是區域的頂點)分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解．四．用圖解法解決簡單的線性規劃問題的基本步驟：1．根據線性約束條件畫出可行域（即不等式組所表示的公共區域）；2．設，畫出直線；3．觀察、分析，平移直線，從而找到最優解、；4．最后求得目標函數的最大值及最小值．圓與圓的方程一．圓的標準方程：1．圓的標準方程：，圓心為，半徑為2．點與圓的位置關系：設圓，點點在圓上點在圓外點在圓內3．直線與圓的位置關系：⑴方程的思想：由直線方程與圓的方程聯立，利用方程組的解的個數，可解決直線與圓的交點問題和位置關系（相交、相切、相離）問題．⑵幾何的性質：利用圓心到直線的距離與圓的半徑的關系解決．對于直線，圓圓心到直線的距離位置關系相離相切相交圖示幾何關系代數關系4．圓與圓的位置關系設圓，、兩個圓圓心距離，兩個圓的位置關系可通過、、的關系確定．外離外切相交內切內含二．圓的一般方程：1．圓的一般方程：對于圓的一般方程，可配方為：因此其圓心坐標為，半徑2．二元二次方程表示圓的充要條件：⑴；⑵；⑶4．圓的參數方程：⑴圓心在原點，半徑為的圓的參數方程⑵圓心在，半徑為的圓的參數方程第08章圓錐曲線橢圓一．定義：⑴平面內到兩個定點、的距離之和等于常數（大于）的動點的軌跡為橢圓．⑵平面內到定點和定直線的距離之比為常數的動點的軌跡為橢圓．二．幾何性質：方程圖形范圍，，對稱關于、軸成軸對稱、關于原點成中心對稱焦點、、頂點、、軸長長軸長、短軸長離心率準線方程雙曲線一．定義：⑴平面內到兩個定點、的距離差的絕對值等于常數（小于）的動點的軌跡為雙曲線．⑵平面內到定點和定直線的距離之比為常數的動點的軌跡為雙曲線．二．幾何性質：方程圖形范圍對稱關于軸、軸成軸對稱、關于原點成中心對稱焦點頂點軸長實軸長為，虛軸長為離心率準線漸近線拋物線一．定義：在平面內，到定點與到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線．二．幾何性質：方程圖形特征焦點準線開口向右開口向左開口向上開口向下直線與圓錐曲線設直線，雙曲線，聯立直線方程與雙曲線方程，建立方程組，消元轉化為關于或的一元二次方程：一．公共點個數的確定：當，即時，方程只有一解，則直線與雙曲線相交但是只有一個交點，此時直線與雙曲線的漸近線平行，當，即時，計算的值：若，則直線與雙曲線有兩個公共點；若，則直線與雙曲線有一個公共點；若，則直線與雙曲線沒有公共點．二．弦長的確定：設直線與雙曲線相交于兩點、，直線的斜率為，則：因此要求弦長，只需建立直線方程與雙曲線方程組成的方程組，然后消元轉化為關于或的一元二次方程，利用根與系數關系解決．三．弦中點的確定：利用韋達定理還可以求出中點的橫坐標，然后代入直線方程可以求出縱坐標．在解決弦長及弦中點問題，需要求未知系數時，在求出系數后應檢驗直線與曲線是否存在兩個交點，即檢驗關于的一元二次方程是否有兩個根．四．其它問題：在某一些直線與曲線相交的問題的處理中，并不是上述類型的問題，但是總可以將題中給出的直線與曲線產生的幾何關系用直線與曲線的交點坐標表示出來，然后再利用相關的工具（如根與系數關系）解決．第09章直線、平面、簡單幾何體平面的性質【公理1】如果一條直線上有兩點在一個平面內，那么這條直線上所有點都在這個平面內（圖1）．【公理2】如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條經過這個公共點的公共直線（圖2）．【公理3】經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面（圖3）．圖1圖2圖3【推論1】經過一條直線和這條直線外的一點有且只有一個平面（圖4）．【推論2】經過兩條相交直線有且只有一個平面（圖5）．【推論3】經過兩條平行直線有且只有一個平面（圖6）．圖4圖5圖6直線、平面的平行與垂直1．直線與直線平行文字語言圖形符號定義：在同一個平面內沒有公共點的兩條直線．平行公理：平行于同一條直線的兩條直線平行．直線與平面平行的性質：如果一條直線與一個平面平行，經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線與交線平行．直線與平面垂直的性質：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．平面與平面平行的性質：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。2．直線與平面平行文字語言圖形符號定義：直線與平面沒有公共點．直線與平面平行的判定：如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．平面與平面平行的性質：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線必平行于另一個平面．3．平面與平面平行文字語言圖形符號定義：兩個平面沒有公共點．平面與平面平行的判定：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．如果一條直線與兩個平面都垂直，那么這兩個平面平行．4．直線與直線垂直文字語言圖形符號定義：兩條直線成角．如果一條直線與兩條平行直線中的一條直線垂直，那么它一定與另外一條直線也垂直．直線與平面垂直的性質：如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線一定與該平面中的每一條直線都垂直．三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．三垂線逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直．5．直線與平面垂直文字語言圖形符號定義：直線和平面內的每一條直線都垂直．直線與平面垂直的判定：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．直線與平面垂直的判定：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面．平面與平面平行的性質：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另外一個平面．平面與平面垂直的性質：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．6．平面與平面垂直文字語言圖形符號定義：與成直二面角，則．平面與平面垂直的判定：如果一個平面經過另外一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．距離問題關于距離問題主要有：點與點的距離、點和直線的距離、直線與直線（平行直線、異面直線）的距離、點和平面的距離、直線與平面的距離、平面與平面的距離．在本部分內容中以考察點到平面的距離為主，直線與平面的距離、平面與平面的距離最終都轉化為點到平面的距離解決．一般的，要求點到平面的距離，需過點作平面的垂線，為垂足，求線段的長度即為點到平面的距離，但有時垂線并不容易直接作出，以下為常見的解決點到平面的距離的方法．1．垂面法：對于求點到平面的距離問題，可以利用平面與平面垂直的性質定理采取如下方式解決：作過點的平面，使得，交線為．在平面內過點作直線于，根據平面與平面垂直得性質定理可知：，因此線段的長就是點到的距離．2．轉化法：3．等積法：等積法是將點到平面的距離轉化為三棱錐的高，利用調換同一錐體的頂點和底面，但是錐體的體積不變的性質確定點到平面的距離．如圖，若要求點到平面的距離，可將到平面的距離看作三棱錐的高，若能求與的面積以及以為底面時棱錐的高，則可以利用三棱錐的體積等于三棱錐的體積，求出到平面的距離．注：棱錐的體積，其中為底面面積，為棱錐的高．空間的角一．異面直線所成角過空間任意一點分別作異面直線、的平行直線、，則與所成的銳角或直角是異面直線與所成的角．與所成角的范圍：．二．直線（斜線）與平面所成角過平面的斜線上不同于斜足的任意一點作平面的垂線，垂足為，則稱為斜線與平面所成的角．直線與平面所成角的范圍：．三．二面角以二面角棱上任意一點為端點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角平面角的大小就是二面角的大小．二面角大小的范圍：．求二面角的大小關鍵是作出二面角的平面角，在二面角的平面角的作圖中，主要利用定義作圖、利用特殊圖形作圖、利用三垂線定理或逆定理作圖法、利用與棱垂直的平面，另外還可利用面積射影定理避開二面角的平面角作圖，直接求二面角的大小．1．利用特殊圖形的作二面角的平面角主要有兩種類型．⑴由兩個有相同底邊的等腰三角形組成二面角，如下圖所示．如果滿足條件：，，則二面角的平面角可以按如下方式作圖：取中點，連結、，可得：，，因此是二面角的平面角．⑵由兩個全等的三角形拼成的二面角，如下圖所示．如在正四棱錐中，與全等，因此二面角的平面角可以按下列方式作出：作于點，連結，可以證明與全等，則，因此是二面角的平面角．2．利用三垂線定理或者逆定理作圖．如上圖所示，在二面角的平面角的作圖中，如果能在其中的一個平面內的一點作出另外一個平面垂線，則可以利用三垂線定理或逆定理找到二面角的平面角．若作于點，連結，則是在平面內的射影，根據三垂線定理的逆定理可得：，因此是二面角的平面角．若作于點，連結，則是在平面內的射影，根據三垂線定理可得：，因此是二面角的平面角．通過上述兩個途徑可以發現，無論是那種方式，都以過其中的一個面作另外一個平面的垂線為入手點，根據這條垂線，可以確定兩個平面內的兩個點（上圖中的、），分別從其中一點作二面角棱的垂線即可．簡單的幾何體一、棱柱1．棱柱：兩個面互相平行，其余各面為四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫棱柱．2．棱柱的分類：按側面與底面位置關系分類：按底面多邊形的邊數分類：三棱柱、四棱柱、五棱柱、…3．特殊的四棱柱：⑴平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱⑵直平行六面體：側棱垂直于底面的平行六面體⑶長方體：底面是矩形的直平行四面體⑷正方體：棱長相等的長方體4．棱柱的性質：⑴側棱都相等；側面是平行四邊形；兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形⑵過不相鄰的兩條側棱的截面（對角面）是平行四邊形⑶直棱柱的側棱長與高相等，側面與對角面是矩形⑷長方體對角線的長度的平方等于長方體交于同一頂點的三條棱的長度的平方和．⑸直棱柱的側面積；棱柱的體積．二．棱錐：1．棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐．如果一個棱錐的底面為正多邊形，且頂點在底面射影為底面中心，這樣的棱錐叫正棱錐．2．平行于棱錐底面的截面性質：如果棱錐被平行于底面的截面所截，那么截面與底面相似，并且它們的面積比等于截得的棱錐的高與已知棱錐高的平方比．即．3．正棱錐的性質：⑴四個直角三角形：高、斜高和斜高在底面內的射影組成直角三角形，即；高、側棱和側棱在底面內的射影組成直角三角形，即；斜高、側棱和底面邊長的一半組成直角三角形，即；斜高在底面內的射影、側棱在底面內的射影和底面邊長的一半組成直角三角形，即；⑵兩個角：：側面與底面所成的二面角的平面角；：側棱與底面所成的角．4．正棱錐的側面積：；棱錐的體積三．球1．球面與球：半圓以它的的直徑為旋轉軸旋轉一周所成的曲面叫球面．球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球．球面也可看作在空間，與定點的距離等于定長的點的集合．2．球的截面性質：⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面；⑵球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關系為：3．經線與緯線⑴經線：球面上從北極到南極的半個大圓稱為經線。兩地的經度之差實際上是兩條經線所在半圓所成二面角的度數．⑵緯線：平行于赤道平面的球的小圓稱為緯線圈，地球上某一點的緯度就是這一點與球心的連線與赤道平面所成角的度數．4．球面距離：在球面上，兩點之間的最短連線的長度，是經過這兩點的大圓在這兩點之間的劣弧的長度，這個弧長叫做兩點的球面距離．5．球的內接正方體（長方體）的對角線的長度等于球的直徑；球的外切正方體的棱長等于球的直徑．6．球的表面積、體積設球的半徑為，則球的表面積，體積．第10章排列、組合與二項式定理排列與組合一．分類計數原理和分布計數原理1．分類計數原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：2．分步計數原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有二．排列1．排列：從個不同元素中，任取個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．3．排列數：從個不同元素中，任取個元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示3．排列數公式：三．組合1．組合：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．2．組合數：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數．用符號表示．3．組合數公式：規定：4．組合數的性質：；．二項式定理1．二項式定理的內容：⑴⑵展開式的第項（通項）：，其中叫做二項式的系數．2．求二項展開式中的常數項、有理項和系數最大的項時，要根據通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數及項數的整數性；注意區分二項式系數與項的系數的區別．3．二項式系數表（楊輝三角）：展開式的二項式系數，當依次取1，2，3，4…時，．4．二項式系數的性質：展開式中各項的二項式系數依次是，，，…，．⑴對稱性．在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即，，，…，，…⑵增減性與最大值．當是偶數時，是奇數，展開式中共有項，中間一項，即第項的二項式系數最大，最大值為；當是奇數時，是偶數，展開式中共有項，中間兩項，即第和項的二項式系數最大，最大值為．⑶二項式系數的和等于，即：二項展開式中，偶數項系數和等于奇數項的系數之和，即第11章概率一．隨機事件的概率1．隨機事件及其概率：⑴隨機事件：在一定條件下可能發生也可能不發生的事件．必然事件：在一定條件下必然發生的事件．不可能事件：在一定條件下不可能發生的事件．⑵事件A的概率：在大量、重復進行同一試驗時，事件發生的頻率總是接近于某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件的概率，記作，其范圍為．2．等可能事件的概率：⑴基本事件：一次試驗連同其中可能出現的每一個結果（事件）稱為一個基本事件．⑵等可能性事件的概率：如果一次試驗中可能出現的結果有個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每個基本事件的概率都是，如果事件包含個結果，那么事件的概率．二．互斥事件有一個發生的概率1．互斥事件：不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件．如果事件，，…，中的任何兩個都是互斥的，那么就說事件，，…，彼此互斥．2．對立事件：如果表示事件發生，表示事件不發生，那么事件與中必有一個發生，這種其中必有一個發生的互斥事件叫做對立事件，3．互斥事件有一個發生的概率：⑴如果事件，互斥，那么事件發生（即，中有一個發生）的概率，等于事件A，B分別發生的概率的和，即：⑵如果事件，，…，彼此互斥，那么事件發生（即，，…，中有一個發生）的概率，等于這個事件分別發生的概率的和，即：⑶對立事件的概率的和等于1，即．三．相互獨立事件同時發生的概率1．相互獨立事件：．2．相互獨立事件同時發生的概率：⑴如果事件，相互獨立，那么事件發生即，同時發生的概率，等于每個事件發生的概率的積，即：⑵如果事件，，…，相互獨立，那么事件發生即，，…，同時發生的概率，等于每個事件發生的概率的積，即：3．獨立重復試驗：若次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴于其它各次試驗的結果，則稱這次試驗是獨立的．如果在一次試驗中，某事件發生的概率是，那么在次獨立重復試驗中，這個事件恰好發生次的概率為：第12章概率與統計離散型隨機變量的分布列一．隨機變量：1．如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量．隨機變量常用希臘字母、等表示．2．對于隨機變量可能取的值，如果可以按一定的次序一一列出，則這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．3．若是隨機變量，，、是常數，則也是隨機變量．二．離散型隨機變量的分布列：1．設離散型隨機變量可能取得值為：，，…，，…，取每一個值的概率為，則稱表…………為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列．2．離散型隨機變量的分布列的兩個性質：⑴，⑵．3．離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率的和．如：．三．常見的離散型隨機變量的分布:1．二項分布：在一次隨機試驗中，某事件可能發生也可能不發生，在次獨立重復試驗中這個事件發生的次數是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發生的概率是P，那么在次獨立重復試驗中這個事件恰好發生次的概率是：（，1，2，…，，），于是得到隨機變量的概率分布如下：01…………由于恰好是二項展開式：中的各項的值，所以稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作：，其中，為參數，并記．2．幾何分布：在獨立重復試驗中，某事件第一次發生時，所作試驗的次數也是一個正整數的離散型隨機變量．“”表示在第次獨立重復試驗時事件第一次發生．如果把次試驗時事件發生記為,事件不發生記為，設，，，那么：0，1，2，…，．因此，隨機變量的概率分布如下：123…k…P……稱這樣的隨機變量服從幾何分布，記作，其中0，1，2，…，．離散型隨機變量的期望與方差…………則稱為期望的性質：4．若服從二項分布，即，則5．若服從幾何分布，且，則二．方差:…………則稱為隨機變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量的期望．的算術平方根叫做隨機變量的標準差，記作．2．隨機變量的方差、標準差也是隨機變量的特征數，它們都反映了隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度．3．方差的性質：；4．若服從二項分布，即5．若服從幾何分布，且，則抽樣方法在統計里，我們把所要考察對象的全體叫做總體，其中的每一個考察對象叫做個體，從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫做樣本容量．如從5萬多名考生中隨機抽取500名學生的成績，用他們的平均成績去估計所有考生的平均成績，則5萬多名考生的成績是總體，每一名考生的成績是個體，隨機抽取的500名學生的成績是總體的一個樣本，樣本容量是500．統計的基本思想方法是用樣本估計總體。通過從整體中抽出一個樣本，根據樣本的情況來估計整體的情況．因此，樣本抽取的是否合理，對于研究整體十分關鍵．當逐個地從總體中抽個體時，如果每次抽取的個體不再放回總體，這樣的抽樣方法叫做不放回抽樣；當逐個地從總體中抽個體時，如果每次抽取一個個體后，先將它放回總體，然后再抽取下一個個體，這樣的抽樣方法叫做放回抽樣。實踐中應用較多的是不放回抽樣，主要包括下面三種抽樣簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣．1．簡單隨機抽樣假定一個小組有6個學生，要通過逐個抽取的方法從中取3個學生參加一項活動，第1次抽取時每個被抽到的概率是，第2次抽取時，余下的每個被抽到的概率都是，第3次抽取時，余下的每個被抽到的概率都是．設一個總體的個體數為N，如果通過逐個抽取的方法抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣．從含有6個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，在整個抽樣過程中，總體中的任意一個個體，在第一次抽取時，它被抽到的概率是；若它第1次未被抽到而第2次被抽到的概率是，由于個體第1次被抽到與第2次被抽到是互斥事件，根據互斥事件的概率加法公式，在整個抽樣過程中，個體被抽到的概率．又由于個體的任意性，說明在抽樣過程中每個體被抽到的概率相等，都是．如果用簡單隨機抽樣從個體數為的總體中抽出一個容量為的樣本，那么每個個體被抽到的概率都是．實施簡單隨機抽樣是通常采用抽簽法、隨機數表法等方法．2．系統抽樣當總體個數較多時，我們可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預先定出的規則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這樣的抽樣方法叫做系統抽樣．系統抽樣與簡單隨機抽樣的聯系在于，把總體均分后的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣．3．分層抽樣當總體有差異明顯的幾個部分組成時，為了使樣本更加充分地反映總體的情況，常將總體分成幾個部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣，這樣的抽樣方法叫做分層抽樣，其中分成的各部分叫做層．4．三種抽樣方法的比較：類別共同點各自特點相互聯系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個抽取總體中個體數較少系統抽樣將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預先定出的規則，從每一部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中個體數較多分層抽樣將總體分成幾層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統抽樣總體有差異明顯的幾個部分組成總體分布的估計排除了抽樣造成的誤差，精確地反映了總體取值的概率分布規律，這種總體取值的概率分布規律通常稱為總體分布．從總體中從抽取一個樣本，用樣本的概率分布估計總體分布，樣本的容量越大所分組數越多，各組的頻率就越接近于總體在相應各組取值的概率．如果樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么平率分布直方圖就會無限的接近于一條光滑的曲線，稱為總體密度曲線，如圖．總體密度曲線反映了總體分布，即反映了總體在各個范圍內的取值的概率．在總體密度曲線中，圖中帶斜線部分的面積，就是總體在區間內取值的概率．正態分布1．正態分布：某個總體密度曲線就是或者近似地是以下函數的圖像：，式中的實數和是參數，分別表示總體的平均數和標準差．這個總體是有無限容量的總體，其分布叫做正態分布，正態分布由參數和唯一確定，因此正態分布常記作，函數的圖像被稱為正態曲線，它具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征．2．標準正態曲線：在函數中，當，時，正態總體稱為標準正態總體，這時相應的函數表示式是，，相應的曲線稱為標準正態曲線．3．正態曲線具有下列性質：⑴曲線在軸上方，且與軸不相交；⑵曲線關于直線對稱；⑶曲線在時位于最高點；⑷當時，曲線上升；當時，曲線下降，并且曲線向左右兩邊無限延伸時，以軸為漸近線，向它無限靠近．⑸當一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中．4．標準正態分布表中，相應于的值的值是指總體取值小于的概率，即，如果，則．標準正態總體在任一區間內取值的概率是．5．正態總體均可以化成標準正態總體來進行研究，即對于任意正態總體，取值小于的概率．正態總體在任一區間內