第04講1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解和掌握空間向量的坐標(biāo)表示及意義②會(huì)用向量的坐標(biāo)表達(dá)空間向量的相關(guān)運(yùn)算③會(huì)求空間向量的夾角、長度以及有關(guān)平行、垂直的證明利用空間向量的坐標(biāo)表示，將形與數(shù)有機(jī)結(jié)合，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算與證明是學(xué)習(xí)空間向量及運(yùn)算的關(guān)鍵.也是解決空間幾何的重要手段與工具.知識(shí)點(diǎn)01：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示1、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)SKIPIF1<0和一個(gè)單位正交基底SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0的方向?yàn)檎较颍运鼈兊拈L為單位長度建立三條數(shù)軸：SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0.(2)相關(guān)概念：SKIPIF1<0叫做原點(diǎn)，SKIPIF1<0都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為SKIPIF1<0平面、SKIPIF1<0平面、SKIPIF1<0平面，它們把空間分成八個(gè)部分．2、空間向量的坐標(biāo)表示2.1空間一點(diǎn)的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)SKIPIF1<0，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0的位置由向量SKIPIF1<0唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.在單位正交基底SKIPIF1<0下與向量SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0叫做點(diǎn)SKIPIF1<0在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0叫做點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)，SKIPIF1<0叫做點(diǎn)SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)，SKIPIF1<0叫做點(diǎn)SKIPIF1<0的豎坐標(biāo)．2.2空間向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，給定向量SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0在空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中的坐標(biāo)，上式可簡記作SKIPIF1<0.【即學(xué)即練1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知SKIPIF1<0是空間的一個(gè)單位正交基底，向量SKIPIF1<0用坐標(biāo)形式可表示為________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0是空間的一個(gè)單位正交基底，則有SKIPIF1<0.所以向量SKIPIF1<0用坐標(biāo)形式表示為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)02：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)SKIPIF1<0，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法SKIPIF1<0減法SKIPIF1<0數(shù)乘SKIPIF1<0數(shù)量積SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)03：空間向量平行與垂直的條件，幾何計(jì)算的坐標(biāo)表示1、兩個(gè)向量的平行與垂直SKIPIF1<0平行（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均非零向量）特別提醒：在SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，應(yīng)特別注意，只有在SKIPIF1<0與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行時(shí)，才能寫成SKIPIF1<0.例如，若SKIPIF1<0與坐標(biāo)平面SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0，這樣SKIPIF1<0就沒有意義了.【即學(xué)即練2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知兩個(gè)空間向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為__________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<02、向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0空間向量長度公式表示的是向量的長度，其形式與平面向量長度公式一致，它的幾何意義是表示長方體的體對(duì)角線的長度3、兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即學(xué)即練3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求x，y，z的值；(2)求向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，設(shè)存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.∴所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.4、兩點(diǎn)間的距離公式已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0題型01空間向量的坐標(biāo)表示【典例1】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，根據(jù)向量基本定理可得SKIPIF1<0，故C點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，經(jīng)驗(yàn)算只有B選項(xiàng)符合條件，此時(shí)SKIPIF1<0，故選：B【典例2】（多選）（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0的邊長為2，三棱柱的高為SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點(diǎn)及向量坐標(biāo)表示正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【詳解】在等邊SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：ABC【典例3】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn).由點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0．【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體SKIPIF1<0的棱長為1，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體SKIPIF1<0的棱長為1，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選C．【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0．題型02空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)2(3)4【詳解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0．(1)寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)寫出向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，點(diǎn)CSKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【詳解】（1）點(diǎn)SKIPIF1<0在z軸上，且SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是SKIPIF1<0．同理，點(diǎn)C的坐標(biāo)是SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，SKIPIF1<0，它們?cè)谧鴺?biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，0，2，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，SKIPIF1<0，它們?cè)谧鴺?biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，4，2，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三向量共面，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三向量共面，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：D【變式2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0.故選：B.題型03空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量的數(shù)量積）【典例1】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┤粝蛄縎KIPIF1<0，滿足條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】B【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.【變式1】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意知，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.【變式2】（2023秋·天津·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：A題型04空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量數(shù)量積的最值范圍問題）【典例1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．17 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，SKIPIF1<0所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)平面MPN的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0.故選：A【典例2】（2023春·山東煙臺(tái)·高二山東省煙臺(tái)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）正四面體SKIPIF1<0的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的球面上，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為球心，以SKIPIF1<0為半徑的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與單位圓SKIPIF1<0相切時(shí)，截距取得最小值，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時(shí)，SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0，所以設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023秋·河南鄭州·高二鄭州市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，由點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，可得存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取得最小值SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0.故選：C.【變式2】（2023秋·上海徐匯·高二南洋中學(xué)?？计谀┮阎猄KIPIF1<0是長方體外接球的一條直徑，點(diǎn)P在長方體表面上運(yùn)動(dòng)，長方體的棱長分別為1、1、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镸N是長方體外接球的一條直徑，長方體的棱長分別為1、1、SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，如圖，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P在ABCD平面內(nèi)，又SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P在ABCD平面內(nèi).即所求的范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型05空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量的模（距離，長度））【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級(jí)中學(xué)校考期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．5【答案】C【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C．【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，H為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．求|SKIPIF1<0|.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023秋·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀┮阎猄KIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0題型06空間向量的模（根據(jù)空間向量的模求參數(shù)）【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____________．【答案】3【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為3.題型07空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量模的最值（范圍）問題）【典例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為4，點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0長度的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】以D為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為H，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.同理可證：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以點(diǎn)P只能在線段SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)．易知SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值36．故PC長度的取值范圍為SKIPIF1<0．故選：C【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，求線段SKIPIF1<0長的最小值．【答案】SKIPIF1<0【詳解】依題意，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．若線段EF的長最小，則必滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以線段EF長的最小值為SKIPIF1<0．【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知單位空間向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．若空間向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最小值是2，則SKIPIF1<0的最小值是_________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向?yàn)镾KIPIF1<0軸，垂直于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向?yàn)镾KIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是單位空間向量可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是2，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是空間互相垂直的單位向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是______.【答案】4【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0是空間相互垂直的單位向量，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取得等號(hào)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值是4．故答案為：4．【變式2】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空間兩兩垂直的單位向量，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立），所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.題型08空間向量的夾角問題（坐標(biāo)形式）【典例1】（2023秋·山東臨沂·高二?？计谀┮阎臻g向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0．故選：A．【典例2】（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0的大小是________．【答案】120°【詳解】由題意，空間三點(diǎn)A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例4】（2023秋·河南周口·高二統(tǒng)考期末）已知向量SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)求向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.【變式1】（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的夾角的余弦值為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0等于（

）.A．0 B．SKIPIF1<0 C．0或SKIPIF1<0 D．0或SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選:C．【變式2】（2023春·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夾角的余弦值是______．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，由空間向量的夾角公式可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夾角的余弦值是SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【變式3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.題型09空間向量的投影向量（坐標(biāo)形式）【典例1】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0.故選:C.【典例2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量是SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量的坐標(biāo)是SKIPIF1<0，故選：D.【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0故選：B【變式2】（2023秋·廣東廣州·高二秀全中學(xué)校考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0故選：C題型10空間向量的平行關(guān)系（坐標(biāo)形式）【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0故選：B【典例2】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）已知兩個(gè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：C【典例3】（2023·高二單元測試）向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則有SKIPIF