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單項式,多項式,同類項，去括號法則.整式討算

《整式及其加減》、《基本

線段,角的相關概念與計算

平面圖形》綜合復習

多邊形與畫的初步

)

類型一整式的相關概念

少考點說明：一.單項式：像8x、mn、100t、—fl2......這些式子都是數或者是字母的積,

我們把這樣的式子叫做單項式，單獨的一個數或者字母也是單項式。

x+21

提示：①單項式中只含有乘法或者乘方的運算，例如不是單項式，—不是單項式。

3x

②單項式可以是數和數的積，如62；也可以是數和字母的積，如：3a可以是字母和字母的

積，如：ab;也可以是多個數字和多個字母的積。③因為*是常數，所以2是單項式。

X

(1)單項式系數：單項式中的數字因數叫做單項式的系數。

提示：①當一個單項式只含有字母因數時，它的系數就是1或-1。②當單項式是常數是

系數就是他本身。③單項式的系數包括前面的符號。

(2)單項式的次數：一個單項式中，所有的字母的指數的和叫做這個單項式的次數。

提示：單項式的次數與數字的指數沒有關系，例如：24a2力的次數是5而不是9o

二.多項式：幾個單項式的和叫做多項式。例如：x2—2xy+y

(I)多項式的項：在多項式中，每個單項式叫做多項式的項。

提示：①多項式的每一項都包括它前面的符號。②多項式中單項式的個數叫做多項式的

項數。

(2)常數項：在多項式中，不含字母的項叫做常數項。

(3)多項式的次數：在多項式中，次數最高項的次數，叫做多項式的次數。

提示：多項式通常以它最高次項的次數和項數來命名，稱為幾次幾項式。例如：

6孫4+2孫2+5孫+3叫做五次四項式。

三.同類項：所含有的字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。另

外所有常數項都是同類項。例如一機,、3m%就是同類項。

注意：判斷是否為同類項的標準時“兩相同''就是字母相同，相同字母的指數也相同。同

類項與系數沒有關系。

四.整式：單項式和多項式統稱為整式。

例1.若4x，yn+i與-5x，"y2是同類項，則m+n=5.

【答案】由同類項的定義可得m=4,n+l=2,解得n=l.

【解析】同類項定義中的兩個“相同”：

(1)所含字母相同；

(2)相同字母的指數相同，是易混點，因此成了中考的常考點.

例2在代數式4x2-8x+5-3x2+6x-2中，4x?和-3x?是同類項,-8x和6x是同類

項，-2和也是同類項，合并后是x2-2x+3.

【答案】-3x2,6x,5,x2-2x+3.

【解析】在代數式4x2-8X+5-3x46x-2中，

4x2與-3x2是同類項，-8x和6x是同類項，-2和5是同類項，

合并后是x2-2x+3.

例3.A、B都是4次多項式，則A+B一定是()

A.8次多項式

第2頁

B.次數不低于4的多項式

C.4次多項式

D.次數不高于4的多項式或單項式

【答案】D

第2頁

【解析】根據合并同類項的法則，A+B的最高次數可能是4,最低次數可能是0即為常數.

例4.如果M是一個3次多項式，N是3次多項式，則M+N一定是（）

A.6次多項式

B.次數不高于3次整式

C.3次多項式

D.次數不低于3次的多項式

【答案】B

【解析】兩個多項式的次數均為3,說明相加后多項式的次數不會大于3,但結果有可能是

單項式，也有可能是多項式，所以結果為整式，故選B.

例5.下列說法中，正確的是（）

A.0是最小的有理數

B.任一個有理數的絕對值都是正數

C.-a是負數

D.3和-2是同類項

【答案】D

【解析】A、沒有最小的有理數；

B、任一個有理數的絕對值為非負數；

C、-a是任意數；

D、兩個常數項也是同類項.

例6.下列說法正確的是（）

A.工2■的系數是工B.a匚L是單項式

553

C.-25m是5次單項式D.-x2y-35xy3是四次多項式

【答案】D

【解析】：A、二三的系數是三；故錯誤；

55

B、江L是多項式，故錯誤；

3

C、-25m是1次單項式，故錯誤；

第3頁

D、-x2y-35xy3是四次多項式，故正確；

例7.單項式-3受21:的系數是-W,次數是5:多項式-3xy+5x3y-2x2y3+5的次

44~

數是5.

第3頁

【答案】-,5；5.

4

【解析】單項式上引■的系數是-W,次數是2+3=5；

44

多項式-3xy+5x3y-2x?y3+5的最高次項為-2x?y3,次數為5.

類型二、整式的加減運算

時考點說明：一去括號與添加括號

1.去括號的法則：當括號前面是“+”時，把括號和這個“+”去掉，括號內的各項不改變符

號；當括號前面是時，把括號和這個去掉，括號內各項都要改變符號。例如：+

(3f+5xy+1)=+5xy+1,-(6ahc+3crh-4bc)=-6abc—2>ccb+4bc

注意：①去括號時要連同括號前的“+”或一起去掉。②法則可以簡單的記為去正不變

號，去負全變號。

2.添加括號時，法則和去括號的相同，如果用正括號和負括號的說法，可以簡述為：添

加正括號，各項不變號，添加負括號，各項都要變號。

如：——2if+-=+(~2cr+-)；——+-=-2(6T———)

3^333

3.如果一個式子當中既有小括號，又有大括號和中括號，一般應先去掉小括號，再去掉

中括號，最后去掉大括號。

4.絕對值號上實際可以看成是一個正括號或者一個負括號。當絕對值號里面是一個正

數時，絕對值號就是一個正括號，當絕對值號里面是一個負數時，絕對值就是負括號。

二合并同類項法則：在合并同類項時，把同類項的系數相加減，所得的結果為系數，

字母和字母的指數不變。口訣：“同類項，需判斷；兩相同，是條件；合并時，需計算；系

數加，兩不變

根據合并同類項法則，在合并同類項時可以按以下步驟完成:

第4頁

第一步：準確找出同類項。

第二步：利用法則，把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變。

第三步：寫出合并同類項的結果。

第4頁

注意：如果兩個同類項的系數互為相反數，合并同類項后，結果為0；合并同類項時，

只能把幾個同類項合并成一項，不是同類項的不能合并；不能合并的項，在每一步運算時不

能漏掉。

整式的加減：整式的加減實質上就是去括號，合并同類項。若有括號，就應運用去括號

法則去掉括號，然后在合并同類項，當算式中沒有同類項，就是運算的最終的結果。

例1.下列去括號正確的是()

A.-(a+b-c)=-a+b-cB.-2(a+b-3c)=-2a-2b+6c

C.-(-a-b-c)="a+b+cD."(a-b-c)=-a+b-c

【答案】B

【解析】A、-(a+b-c)=-a-b+c,故不對；

B、正確；

C、-(-a-b-c)=a+b+c,故不對；

D、-(a-b-c)=-a+b+c,故不對.

例2.下列式子正確的是()

A.x-(y-z)=x-y-zB.-(x-y+z)=-x-y-z

C.x+2y-2z=x-2(z+y)D.-a+c+d+b=-(a-b)-(-c-d)

【答案】D

【解析】：A、x-(y-z)=x-y+z,錯誤；

B、-(x-y+z)=-x+y-z,括號前是“-去括號后，括號里的各項都改變符號，錯誤：

C、x+2y-2z=x-2(z-y),添括號后，括號前是“-括號里的各項都改變符號，錯誤；

D、正確.

例3.化簡：7a2b+(-4a2b+5ab2)-(2a2b-3ab2).

(x3-2y3-3x2y)-(3x3-3y3-7x2y)

2(2a2+9b)+3(-5a2-4b)

【答案】解：原式=7a2b-4a2b+5ab2-2a2b+3ab2

第5頁

=(7-4-2)a2b+(5+3)ab2

=a2b+8ab2.

解:原式=x3-2y3-3x2y-3x3+3y3+7x2y

=-2x3+y3+4x2y

第5頁

解：原式=4a418b-15a2-12b

=(4-15)a2+(18-12)b

=-lla-M-bb.

【解析】解決此類題目的關鍵是熟記去括號法則，熟練運用合并同類項的法則.去括號的時

候注意符號的變化，能夠根據同類項的概念正確找出同類項.

3(1+3)

例4.（1）探索規律并填空：1+1+2+3=

是*2

1+2+3+4="4)；...1+2+3+...+2O210l+2+3+...+n=

一2

（2）用火柴棒按下面的方式搭圖形，填寫下表:

△

①

圖形編號?②③④

大三角形周長的火柴棒根數36

小三角形個數1

火柴棒根數（選作）3

照這樣的規律搭下去：

i）第n個圖形的大三角形周長的火柴棒是幾根？

ii）第n個圖形的小三角形個數有幾個第200個圖形的小三角形個數有幾個？

iii）（選做）第n個圖形需要多少根火柴棒？（另加5分）

【答案】解：

（1）20X（1+20）（或210）,n（l+n）；

22

（2）表格中數據依次為：3,6,9,12

第6頁

1,22,32,42

3,9,18,30

所以可推出：i)3n根.

ii)十個，第200個圖形的小三角形個數有2002個(或40000個).

iii)3n(l+n)

2

第6頁

【解析】分析題中給出的數據可知道這種常見的等差數列的求和公式為哽包，直接運用

2

即可.第(2)題同樣需要讀圖，找到數據之間的關系3n,從而求解.關鍵是能夠利用(1)

中關系式求出如垃■.

2

建類型三、線段的相關概念和運算

0考點說明：一.線段、直線、射線

1.基本性質

(1)直線的性質：兩點確定一條直線。

(2)線段的性質：兩點之間線段最短。

①本知識點可用來解釋很多生活中的現象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可

以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.

②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點的距離.

2.線段的比較與運算

(1)線段的比較：

比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.

(2)線段的和與差：----------------------

如下圖，有AB+BC=AC,或AC=a+b；AD=AB-BD。

AaBbC

b________

ADB

(3)線段的中點：

把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點.如下圖，有：AM=MB=-AB

2

AMB

要點詮釋：

①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段AB上，且有AM=-AB,則點M為線

2

段AB的中點.

②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，

第7頁

點M,N,P均為線段AB的四等分點.

AMNPB

AM=MN=NP=PB=-AB

4

例1.下列說法中，正確的有（）

A.過兩點有且只有一條直線

B.連接兩點的線段叫做兩點的距離

C.兩點之間，直線最短

【答案】A

【解析】A、過兩點有且只有一條直線，正確，故本選項正確；

B、連接兩點的線段的長度叫做兩點的距離，故本選項錯誤；

C、兩點之間，線段最短，故本選項錯誤；

D、AB=BC,則點B是AC的中點錯誤，因為A、B、C三點不一定共線，故本選項錯誤.

例2.如圖，從A到B最短的路線是（）

A.A-G-E-BB.A-C-E-BC.A-D-G-E-BD.A-F-E-B

【答案】D

【解析】根據圖形，從A地到B地，一定要經過E點且必須經過線段EB,

所以只要找出從A到E的最短路線，

根據“兩點之間線段最短”的結論，從A到E的最短路線是線段AE,即A-F-E,

所以從A地到B地最短路線是A-F-E-B.

例4.探索題

第8頁

如圖，線段AB上的點數與線段的總數有如下關系：如果線段AB上有三個點時，線段總共

有3條，如果線段AB上有4個點時，線段總數有6條，如果線段AB上有5個點時，線段

總數共有10條，…

??.-------.-------*.__???____?

CBCDBAcDEB

3=2+16=3+2+110=4+3+2—1

第8頁

(1)當線段AB上有6個點時，線段總數共有條.

(2)當線段AB上有101個點時，線段總數共有多少條？

【答案】(1)當線段AB上有6個點時，線段總數共有1+2+3+4+5=15條；

故答案為：15；

(2)當線段AB上有101個點時，線段總數共有1+2+3+...+100=工(100+1)xl(X)=5050條.

2

【解析】(1)根據題意確定出線段總數即可；

(2)歸納總結得出線段總數即可；

例5.點C是線段AB上一點，點M是AC的中點，點N是BC如圖，C是線段AB上一點,

M是AC的中點，N是BC的中點

(1)若AM=1,BC=4,求MN的長度.

(2)若AB=6,求MN的長度.

A~~~CKB

解：⑴TN是BC的中點，M是AC的中點，AM=1,BC=4

；.CN=2,AM=CM=1

：.MN=MC+CN=3；

(2)是AC的中點，N是BC的中點，AB=6

NM=MC+CN=—AB=3.

2

(1)由已知可求得CN的長，從而不難求得MN的長度；

(2)由己知可得AB的長是NM的2倍，己知AB的長則不難求得MN的長度.

掌握兩點間的距離，掌握線段中點的概念是解題的關鍵.

解：設AB的中點與AC的中點分別是點M、N.

如圖1,MN」-AC-J-AB=—xl6-—xl0=3,

2222

如圖2,MN=1-AC+—AB=—x16+—x10=13；

2222

綜上所述，AB的中點與AC的中點之間的距離是3或13.

故答案為：3或13.

3/13

在直線AB±,AB=10,AC=16,那么AB的中點與AC的中點的距離為3或13.

?■________________________III_____________I________________________I

ACOCAR

第9頁

解：如上圖所示，可知：

①當點C在線段AB上時，，BC=AB-AC=2cm；

②當點C在線段BA的延長線上時，BC=AB+AC=8cm.

B

已知線段AB=5cm,在直線AB上畫線段AC=3cm,則線段BC的長為（）

A.8cmB.2cm或8cmC.2cmD.不能確定

???點N是BC的中點，

NC=&B,

2

?/MC-NC=2,

.,.—AC-—BC=2,

22

則AC-BC=4,

故AC比BC長4cm,

解：：點M是AC的中點，

AC,

2

c

果MC比NC長2cm,AC比BC長（）

a111]

AVCNB

A.1cmB.2cmC.4cmD.6cm

的中點，如果MC比NC長2cm,AC比BC長（）

AVCN'B

A.1cmB.2cmC.4cmD.6cm

【答案】c

【解析】解：?.?點M是AC的中點，

AC,

2

?.?點N是BC的中點，

第10頁

.??NC=A<B,

2

VMC-NC=2,

第10頁

.?士A士BC=

2c：2，

則AC-BC=4,

故AC比BC長4cm,

例6.如圖，C是線段AB上一點，M是AC的中點，N是BC的中點

(1)若AM=1,BC=4,求MN的長度.

(2)若AB=6,求MN的長度.

A~~~CVB

【答案】解：(1)是BC的中點，M是AC的中點，AM=I,BC=4

，CN=2,AM=CM=1

；.MN=MC+CN=3；

(2)是AC的中點，N是BC的中點，AB=6

NM=MC+CN=J-AB=3.

2

【解析】(1)由已知可求得CN的長，從而不難求得MN的長度；

(3)由己知可得AB的長是NM的2倍，已知AB的長則不難求得MN的長度.

類型四、角相關概念和運算，多邊形的認識

昨考點說明：一.角的度量

(1)角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這

兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.

(2)角的分類：

Zp銳角直角鈍角平角周角

范0<Zp<90°ZP=9O°900<Zp<180°Zp=180°Zp=360°

圍

二.角的比較與運算

(1)角的比較方法：①度量法；②疊合法.

(2)角的平分線：

從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：

如下圖，因為0C是NAOB的平分線，所以N1=N2=!NAOB,或NAOB=2Z1=2N2.

2

類似地，還有角的三等分線等.

第11頁

A

3.方位角

以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.

要點詮釋：

(1)方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉一定角度而形成的.所以在應用中一要確

定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉方向是向東還是向西，三要確定旋轉角度的大小.

(2)北偏東45。通常叫做東北方向，北偏西45。通常叫做西北方向，南偏東45。通常叫做東

南方向，南偏西45。通常叫做西南方向.

(3)方位角在航行、測繪等實際生活中的應用十分廣泛.

三.多邊形及正多邊形：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉

平面圖形.其中，各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如下圖：

E

五邊形正六邊形

要點詮釋:

第12頁

(1)n邊形有n個頂點、n條邊，對角線的條數為

2

(2)多邊形的內角和公式(n-2)xl80°

(3)多邊形按邊數的不同可分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形等.

四.圓及扇形：

(1)圓：如圖，在一個平面內，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉一周，另一個端點A

所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點O為圓心的圓，

記作“。0”，讀作“圓0”.

第12頁

要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.

(2)扇形：由一條弧AB和經過這條弧的端點的兩條半徑OA,0B所組成的圖形叫做扇形.

如下圖:

要點詮釋：扇形OAB的面積公式:

扇形OAB的弧長公式:

S”嚼奪

nJUl

例1.將一個圓分成4個扇形，已知扇形AOB、AOD、BOD的圓心角的度數之比為2：3：4,

OC為/BOD的角平分線，求這4個扇形的圓心角度數.

【答案】；0C為NBOD的角平分線,

CD=BC,

???扇形AOB、AOD、BOD的圓心角的度數之比為2：3：4,

AZAOB：ZAOD：ZCOD：ZBOC=2：3：2：2,

?:ZAOB+ZAOD+ZCOD+ZBOC=360°,

ZAOB=ZCOD=ZBOC=80°,ZAOD=120°.

【解析】由OC為NBOD的角平分線，得到璉前，根據周角的定義列方程即可得到結論.

例2.如圖，圓的四條半徑分別是OA,OB,OC,OD,其中點O,A,B在同一條直線上，

第13頁

ZAOD=90°,ZAOC=3ZBOC,那么圓被四條半徑分成的四個扇形的面積的比是（）

D

A.1：2：2：3B.3：2：2：3C.4：2：2：3D.1：2：2：1

【答案】A

【解析】???點O,A,B在同一條直線上，ZAOD=90°,

,ZBOD=90°,

VZA0C=3ZB0C,

二ZBOC=—x180°=45°,ZAOC=3x45°=135°,

4

S??BOC：SHBBOD：Ssa?AOD：SmiAOC-45：90：90：135=1：2：2：3.

例3.線段、角、三角形、和圓都是幾何研究的基本圖形，請用這些圖形設計表現客觀事物的

圖案，每幅圖可以由一種圖形組成，也可以由兩種或三種圖案組成，但總數不得超過三個，

并且為每幅圖案命名，命名要求與畫面相符（不少