2021-2022高考數學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

則上=（

1.已知正四面體的內切球體積為力外接球的體積為匕)

V

A.4B.8C.9D.27

2.復數二的虛部是（）

1+21

A.iB.-iC.1D.-1

廠+□—20

3.設實數二二滿足條件三一三+30則二+二+1的最大值為（）

【0

A.1B.2C.3D.4

4.已知a=ln3,b=log3e,c=log.e,則下列關系正確的是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

5.若復數z=2加一l+mi在復平面內的對應點在直線了=一次上，貝匹等于（）

,,.11.11.

A.l+zB.1—iC.----------1D.------1—i

3333

6.已知i為虛數單位，若復數二滿足二?=彳-i,則z=()

1+21

A.1+iB.-1+iC.l-2iD.l+2i

7.已知三棱錐P—ABC中，AABC是等邊三角形，AB=473,PA=PC=275,PA1BC,則三棱錐P—ABC的

外接球的表面積為()

A.254B.757rC.804D.100?

IPMI2

8.已知點M(2,0),點P在曲線V=4x上運動，點F為拋物線的焦點，則，八…，的最小值為()

1^1-1

A.V3B.2(V5-1)C.4y/5D.4

9.已知銳角。滿足2sin2a=1-cos2a,則tana=()

1

A.-B.1C.2D.4

2

c*

10.已知復數2=二，則|z|=()

A.1+iB.l-ic.V2D.2

11.一個陶瓷圓盤的半徑為中間有一個邊長為4c僧的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發現落在正方形

花紋上的米共有51粒，據此估計圓周率〃的值為（精確到0.001）（）

A.3.132B.3.137C.3.142D.3.147

12.設i是虛數單位，若復數z=l+i,則囪+z2=（）

Z

A.1+zB.l-iC.-l-iD.-1+i

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.雙曲線《=1的焦距為________，漸近線方程為________.

54

14.“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數”.某校在周末學生業余興趣活動中開

展了“六藝”知識講座，每藝安排一節，連排六節，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節，“射”和“御”兩講座必須相鄰的

不同安排種數為.

15.如圖所示，點A（l,2）,8均在拋物線），2=4x上，等腰直角AABC的斜邊為8C,點C在x軸的正半軸上，則點

B的坐標是.

16.從編號為1,2,3,4的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數字能被第

一次抽得的卡片上數字整除的概率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數/（x）=e'—x+；x2.

（1）若工尸々，且/（內）=/（々），求證：須；

（2）若xeR時，+ax+h,求ab+匕的最大值.

18.（12分）如圖，已知在三棱錐P-ABC中，P4_L平面ABC,E,F,G分別為AC,PA,的中點，且AC=2BE.

p

c

(D求證：PB1BC；

(2)設平面EFG與BC交于點”，求證：H為BC的中點.

19.(12分)已知/(幻二^+④^+笈,々,。^^

(1)若6=1,且函數/(X)在區間上單調遞增，求實數a的范圍；

(2)若函數/(x)有兩個極值點當產2.,王＜々.且存在占滿足為+2%=3%2,令函數g(x)=/(x)―/(x0),試

判斷g(x)零點的個數并證明.

20.(12分)數列｛a,J滿足#0,q=1且。，…一+3。“+|。，=0.

(1)證明：數列，，，是等差數列，并求數列｛4｝的通項公式；

(2)求數列｛4?4什J的前”項和S”.

21.(12分)如圖1,在邊長為4的正方形ABC。中，E是A。的中點，尸是CO的中點，現將三角形。￡戶沿族翻

折成如圖2所示的五棱錐P—ABCFE.

(1)求證：AC〃平面「￡尸；

(2)若平面PE/，平面ABCFE,求直線與平面以七所成角的正弦值.

22.(10分)如圖，四棱錐P-ABCD中，側面Q鉆為等腰直角三角形，8C，平面

PAB,PA=PB,AB=BC=2,AD=BD=y[^.

(1)求證：~4_L平面PBC；

(2)求直線PC與平面％。所成的角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

設正四面體的棱長為1,取BC的中點為O,連接AO,作正四面體的高為首先求出正四面體的體積，再利用

等體法求出內切球的半徑，在RfMMN中,根據勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.

【詳解】

設正四面體的棱長為1,取的中點為。，連接A。，

作正四面體的高為

AC

則==24。=走,

233

PM=y/PA2-AM2=—,

3

吃…旦逅=立,

EC34312

設內切球的半徑為廣，內切球的球心為。,

則VP-ABC=4%一.=4*；x當r，

解得：r=旦;

12

設外接球的半徑為R,外接球的球心為N,

則—/或|R—PM，AN=R,

在&AAMN中，由勾股定理得：

AM2+MN2^AN2,

/+j"=R2,解得/?=逅，

334

故選：D

【點睛】

本題主要考查了多面體的內切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式,

屬于基礎題.

2.C

【解析】

5/5/(1-2z)10+5/5i

因為=2+，，所以的虛部是1,故選C.

1+2/(l+2z)(l-2z)5l+2i

3.C

【解析】

畫出可行域和目標函數，根據目標函數的幾何意義平移得到答案.

【詳解】

如圖所示：畫出可行域和目標函數，

二=二+二+/,即二=一二+二一八二表示直線在二軸的截距加上1,

根據圖像知，當二+二=2時，且二二時，二=二+二+1有最大值為三

故選：二

【點睛】

本題考查了線性規劃問題，畫出圖像是解題的關鍵.

4.A

【解析】

首先判斷。，上c和1的大小關系，再由換底公式和對數函數y=lnx的單調性判斷仇c的大小即可.

【詳解】

因為a=ln3>lne>l,b-loge--,c-logye=—,l<ln3<ln^-,所以。<力<1,綜上可得c<Z?<a.

3In3In7t

故選：A

【點睛】

本題考查了換底公式和對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

5.C

【解析】

由題意得2〃7-1+〃7=0,可求得，〃=g,再根據共扼復數的定義可得選項.

【詳解】

由題意得2加-1+m=(),解得，〃=：,所以z=—1+!i,所以1=一工一工，，

33333

故選：C.

【點睛】

本題考查復數的幾何表示和共扼復數的定義，屬于基礎題.

6.A

【解析】

分析：題設中復數滿足的等式可以化為Z=3+i,利用復數的四則運算可以求出z.

1+2/

詳解：由題設有三=-^一+，=1-2，+，=1一"故z=l+i,故選A.

l+2z

點睛：本題考查復數的四則運算和復數概念中的共粗復數，屬于基礎題.

7.D

【解析】

根據底面為等邊三角形，取8c中點可證明8CL平面Q4M,從而BC工PM,即可證明三棱錐產一ABC為

正三棱錐.取底面等邊AABC的重心為。'，可求得P到平面ABC的距離，畫出幾何關系，設球心為。，即可由球的性

質和勾股定理求得球的半徑，進而得球的表面積.

【詳解】

設"為8C中點，AABC是等邊三角形，

所以AA/L3C,

又因為B4_LBC,且Q4nAM=A,

所以平面則

由三線合一性質可知PB=PA=PC,

所以三棱錐。一ABC為正三棱錐，A8=46,PA=PB=PC=2底

設底面等邊MBC的重心為0',

可得AO'=§A〃=5X6=4,PO'=JPA2_AO'2=120-16=2,

所以三棱錐P-ABC的外接球球心在面ABC下方，設為。，如下圖所示：

由球的性質可知，PO_L平面A8C,且尸,0,0在同一直線上，設球的半徑為

在RfAAO。中，AO2=AO'2+OO'2>

即屋=16+(/?-2)2,

解得R=5,

所以三棱錐P-ABC的外接球表面積為S=4〃/?2=4〃x25=100%，

故選：D.

【點睛】

本題考查了三棱錐的結構特征和相關計算，正三棱錐的外接球半徑求法，球的表面積求法，對空間想象能力要求較高,

屬于中檔題.

8.D

【解析】

如圖所示：過點尸作PN垂直準線于N,交y軸于。，貝！J|P尸卜1=|PN|-1=歸。|,設p(x,y),x>Q,貝！J

IPMF4

7——=x+—,利用均值不等式得到答案.

|PF|-1x

【詳解】

如圖所示：過點P作PN垂直準線于N,交y軸于。，則|尸產卜1=|PN|-1=歸。|,

設尸(”)，x>。，則①=富=1±2^=^2^…34,

'，|PF|-1\PQ\xxx

4

當x=2,即x=2時等號成立.

X

故選：D.

【點睛】

本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.

9.C

【解析】

利用sin2a=2sinacosa,cos2a=1-2sin2a代入計算即可.

【詳解】

由已知，4sin<zcosa=2sin2a>因a為銳角，所以sina/0,2cosa=sina,

即tana=2.

故選：C.

【點睛】

本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應用，考查學生的運算能力，是一道基礎題.

10.C

【解析】

根據復數模的性質即可求解.

【詳解】

故選：C

【點睛】

本題主要考查了復數模的性質，屬于容易題.

11.B

【解析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可

【詳解】

如圖，由幾何概型公式可知：￥=」7"烹=%"3.137.

31同冗,1U1Uuu

故選：B

【點睛】

本題考查隨機模擬的概念和幾何概型，屬于基礎題

12.A

【解析】

結合復數的除法運算和模長公式求解即可

【詳解】

???復數z=l+i,...|z|=&,Z2=(1+Z)2=2Z,則且+z2=2+2i=-+2j=i-i+2i=l+i,

''z1+z(l+z)(l-z)

故選：A.

【點睛】

本題考查復數的除法、模長、平方運算，屬于基礎題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

iq&.275

13?6y=i--------X

5

【解析】

由題得c?=5+4=9;.c=3所以焦距2c=6,故第一個空填6.

由題得漸近線方程為丫=±去=士半x.故第二個空填y=±2叵x.

14.24

【解析】

分步排課，首先將“禮''與"樂”排在前兩節，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個元素與其它兩個元素合起來全排列，

同時它們內部也全排列.

【詳解】

第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節，有A22=2種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節講座捆綁再和其他兩藝全

排有用人=12種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節，“射”和“御”兩節講座必須相鄰的不同安排種數

為用用看=24.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查排列的應用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用

插入法.

15.（3,273）

【解析】

設出用C兩點的坐標，結合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點間的距離公式列方程，解方程求得8的坐標.

【詳解】

設B（a,8）,C（c,0）,（a,0,c>0）,由于6在拋物線上，所以。？=4”.由于三角形ABC是等腰直角三角形，AC1BA,

所以原1%朋=占?三=一1?由|M|=|AC|得J(l—a)2+(2_b)2=J4+(1—C)2,化為

小，V.64

1------+(2-b)=4+-----可得(4一〃『X[16+(2+3[=64X[16+(2+〃)2],所以〃一4=8,解得

4J(2+47

b=2￡,則a=3.所以8(3,26).

故答案為：（3,26）

【點睛】

本題考查拋物線的方程和運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

1

16.-

2

【解析】

基本事件總數〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的數字能被第一次抽得的卡片上數字的基本事件有8個，由此能求

出概率.

【詳解】

解：從編號為1,2,3,4的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，

基本事件總數〃=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的數字能被第一次抽得的卡片上數字的基本事件有8個，分別為：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,2),(2,4),(3,3),(4,4).

Q1

所以第二次抽得的卡片上的數字能被第一次抽得的卡片上數字整除的概率為

162

故答案為!.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析；(2)

2

【解析】

(D利用導數分析函數y=/(x)的單調性，并設斗<々，則不<0,%2>0,將不等式五戶)<0等價轉化為

證明西+馬<0,構造函數〃(x)=/(x)-/(T),利用導數分析函數y=〃(x)在區間(—,0)上的單調性，通過推

導出〃(西)<0來證得結論；

(2)構造函數G(x)="-x-ax,對實數，，分"7、a=—1、a>-1,利用導數分析函數y=G(x)的單調性，

求出函數y=G(x)的最小值，再通過構造新函數/一/inf,利用導數求出函數y=的最大值，可得出

次?+)的最大值.

【詳解】

(1)r(x)=/-l+x,/"(x)=，+l>0,所以，函數y=/'(x)單調遞增，

所以，當x<0時，/'(x)<0,此時，函數>=/(力單調遞減；

當x〉0時，/'(x)>0,此時，函數y=/(x)單調遞增.

要證立愛)<0,即證七+乙<0.

不妨設不<電，貝!I石<0,x2>0,

下證x2<一%，即證/(否)=/(/)</(—玉)，

構造函數〃(x)==e*++x+gx[=e*_e-*_2x(x<0),

〃'(x)=/+e-*-2〉2&'?e-*-2=0,所以，函數y=〃(x)在區間(F,0)上單調遞增，

"<0,.?/&)<(),即即/(々)=/(4)</(-%)，

vx2>0,一玉>0且函數y=/(x)在區間(0,+8)上單調遞增，

所以W〈一不，即%+々<0,故結論成立；

(2)由/(x)zgx2+如+〃恒成立，得/一+A恒成立，

令G(x)=e*-x-3,則G'(x)=e*-l-a.

①當“<-1時，對任意的xwR,G'(x)>0,函數y=G(x)在R上單調遞增，

當Xf-oc時，G(x)f-oo,不符合題意；

②當a=—1時，ab+b=O；

③當a>—1時，令G'(x)>0,得x>ln(a+l),此時，函數y=G(x)單調遞增；

令G'(x)<0,得x<ln(a+l),此時，函數y=G(x)單調遞減.

G(x)m“,=G0n(a+l))=(a+l)-(a+l)ln(a+l).

(tz+l)Z?<(?+l)2—(?+1)-ln(tz4-l).

令/=弓+1>0,設0(。=/一/Inr,則0'(r)=r(l-21n。.

當0<f<加時，”(。>0,此時函數>單調遞增；

當時，”(。<0,此時函數y=0(。單調遞減.

所以，函數>=夕(。在/=&處取得最大值，即9(。皿=0(五)=1.

因此，(a+1)人的最大值為

【點睛】

本題考查利用導數證明不等式，同時也考查了利用導數求代數式的最值，構造新函數是解答的關鍵，考查推理能力,

屬于難題.

18.(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)要做證明只需證明平面Q鉆即可；

(2)易得PC〃平面EFG,PCu平面P8C,利用線面平行的性質定理即可得到G”〃PC,從而獲得證明

【詳解】

證明：(1)因為B4_L平面ABC,BCu平面ABC,

所以24,3c.

因為AC=26E,所以B4J_3C.

又因為84cQ4=A,84u平面Q4B,PAu平面RIB,

所以BCL平面E4B.

又因為BBu平面Q46,所以PBLBC.

(2)因為平面EFG與BC交于點H,所以G"u平面PBC.

因為E,/分別為AC,必的中點，

所以EF〃尸C.

又因為PCZ平面EFG,EFu平面EFG,

所以PC〃平面EFG.

又因為PCu平面PBC,平面PBCPI平面￡EG=G”，

所以G”〃PC,

又因為G是P3的中點，

所以H為8c的中點.

【點睛】

本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質定理，考查學生的邏輯推理能力，是一道容易題.

19.(1)-<a<y/3(2)函數g(x)有兩個零點為和,“

【解析】

試題分析：(1)求導后根據函數在區間單調遞增，導函數大于或等于0(2)先判斷/為一個零點，然后再求導，根據

xt+2x0=3X2,化簡求得另一個零點。

解析：(1)當〃=1時，f\x)=3x2+2ax+},因為函數〃x)在上單調遞增，

所以當時，/'(力=312+.+120恒成立.

函數r（%）=3/+功+1的對稱軸為x=-^.

①-1<-1,即a>3時，/，（-1）20,

3

即3-勿+120,解之得。解集為空集；

（2）-1<--|<|,即時，/（一］40

即3.3+2a{_￡）+120,解之得—6所以

③—>—,即a<—時,>0

322咽

1773

即3----h4Z+1>0,解之得。2—所以——

44f42

綜上所述，當-函數”X）在區間上單調遞增.

<2）???/（同有兩個極值點和々，

?"，々是方程r（x）=3f+2以+。=0的兩個根，且函數/（X）在區間（F0）和w，a）上單調遞增，在

&,々）上單調遞減.

???g'（x）=r（x）

...函數g（x）也是在區間（F0）和（私山）上單調遞增，在（』,々）上單調遞減

g（毛）=/（%）一/（毛）=。，???X。是函數g（X）的一個零點?

由題意知：g（%）=/（%）-八/）

VXy+2x0=3X2,2X0-2X2=x2-xi>0,；.x0>x2/./(%,)</(x0),g(W)=〃9)-F(/)<0又

g(^)=/(x,)-/(x0)

=(匚j-2Q(3匚7+2匚匚/+口+9口:+6U口：+3匚)

VX1,當是方程/'(x)=3x2+2ax+b=0的兩個根,

+

3%；+2町+b-Q,3%22ax2+b=0,

???g(玉)=/(不)一/(%)=o

?.?函數g（x）圖像連續，且在區間（F0）上單調遞增，在后,々）上單調遞減，在（W，”）上單調遞增

...當xe(f0，X)時,g(x)<0,當無?%,天,)時g(x)<0,當時g(x)>0,

，函數g（九）有兩個零點玉和X。.

n

20.(1)證明見解析，a,=-~-；(2)

3〃一23〃+1

【解析】

11c

（D利用4出一。“+3%+1%=0,推出--------=3,然后利用等差數列的通項公式，即可求解;

an+\an

=￡〃.23n1+1

(2)由(1)知）,利用裂項法，即可求解數列的前〃項和.

【詳解】

（1）由題意，數列｛4｝滿足4Ho且。“+1-4,+3%+必“=0

11c八11c

可得--------+3=0,即--------=3,

an%+1

所以數列,＞是公差d=3,首項二11,

1=1的等差數列,

%

故，=]+3(〃―1)=3〃_2,所以4=―--

3〃一2

(3-2)(13〃+1)=久〃一I23〃1+1

(2)由(1)知％4+1=),

所以數列｛a..%+J的前"項和:

11111

++…

3<3x1-23x1+1；3x2-23x2+1、3〃一23〃+1

1-’111

++1_1+…+

J"?7103〃-23n+l)

Tike

【點睛】

本題主要考查了等差數列的通項公式，以及“裂項法”求解數列的前〃項和，其中解答中熟記等差數列的定義和通項公

式，合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

21.(1)證明見解析；(2)2叵.

15

【解析】

(1)利用線面平行的定義證明即可

(2)取的中點0,并分別連接。尸，OB,然后，證明相應的線面垂直關系，分別以OE,0B,。尸為x軸，

軸，z軸建立空間直角坐標系，利用坐標運算進行求解即可

【詳解】

證明：(1)在圖1中，連接AC.

又E,尸分別為A。，CD中點,

所以EF\\AC.即圖2中有EF\\AC.

又EFu平面PEF,ACZ平面包戶,

所以AC〃平面PEF.

解：(2)在圖2中，取E尸的中點。，并分別連接OP,0B.

分析知，OPLEF,OB1EF.

又平面平面平面PEFD平面48。五石=石尸，。。匚平面必產，所以尸。J_平面ABCFE.

又AB=4,所以PF=AE=PE=2,E0=0P=0F=O,03=3五.