2023-2024學年高一第一學期單元測驗第四章《指數函數與對數函數》（新人教A版必修一）一、單項選擇題（每小題5分，共40分）1、若冪函數圖象過點，則（）A.1 B.2 C. D.2.已知函數，若，則的值為（）A. B.0 C.1 D.23、函數的零點所在的區間為（）A. B. C. D.4、三星堆遺址被稱為20世紀人類最偉大的考古發現之一.考古學家在測定遺址年代的過程中，利用“生物死亡后體內碳14含量按確定的比率衰減”這一規律，建立了樣本中碳14含量隨時間（單位：年）變化的數學模型：表示碳14的初始量）.2020年考古學家對三星堆古遺址某文物樣本進行碳14年代學檢測，檢測出碳14的含量約為初始量的，據此推測三星堆古遺址存在的時期距今大約是（）（參考數據：）A.2796年 B.3152年 C.3952年 D.4480年5、函數的大致圖像是（）A. B.C. D.6、若關于x的方程有解，則實數a的取值范圍是（）A.[0，1） B.[1，2） C.[1，+∞） D.（2，+∞）7、中國的5G技術領先世界，5G技術極大地提高了數據傳輸速率，最大數據傳輸速率C取決于信道帶寬W，經科學研究表明：C與W滿足，其中T為信噪比.若不改變帶寬W，而將信噪比T從499提升到1999，則C大約增加（）.（結果保留一位小數）參考數據：.A、20.3%B、21.3%C、22.3%D、23.3%8、已知定義在上的函數滿足①；②，則函數與的圖象在區間［－3，3]上的交點個數為（）A.3個 B.4個 C.5個 D.6個二、多項選擇題（每小題5分，共20分，有多項符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9、下列大小關系正確的是（）A. B.C. D.10、已知函數為奇函數，則（）A. B.為上的增函數C.的解集為 D.的值域為11、設a，b為兩個正數，定義a，b的算術平均數為，幾何平均數為．上個世紀五十年代，美國數學家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p為有理數．下列結論正確的是（）A. B.C. D.12、已知函數的零點為，函數的零點為，則（）A. B. C. D.三、填空題（每小題5分，共20分）13、函數的定義域是____________．14、寫出一個同時滿足下列性質①②③的函數解析式：______．①定義域為；②值域為；③是奇函數．15、函數的單調遞增區間為__________.16.已知函數，若在定義域內存在實數x，使得，則稱函數為定義域上的局部奇函數．若函數是上的局部奇函數，則實數m的取值范圍是__________．四、解答題（共6小題，共計70分）17、（10分）已知函數.（1）若，求的值；（2）判斷函數的奇偶性并證明.18．（12分）已已知函數（1）若是奇函數，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．19．（12分）已知函數．（1）若m＝f（3），n＝f（4），求的值；（2）求不等式的解集；（3）記函數，判斷的奇偶性并證明．20、（12分）已知函數，，其中，.（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；（2）若，都有成立，求的取值范圍.21、（12分）已知函數是定義在上奇函數，當時，．（1）求的值；（2）求在上的解析式；（3）若函數有零點，求實數的取值范圍．22、（12分）已知函數，其中e為自然對數的底數，記．（1）解不等式；（2）若存在，使得成立，求實數k的取值范圍．參考答案1、C2、D3、A4、B5、D6、B7、C8、B9、ABD10、AC11、AB12、BCD12、對C，，，，，由零點存在定理得，函數的零點，函數的零點，C對.對AB，由解析式知，、均為增函數，則，，A錯B對；對D，.，令，則即.∵是增函數，故，D對.故選：BCD.13、14、（答案不唯一）15、16、【詳解】由是上的局部奇函數，所以在上恒成立，所以，即，由局部奇函數的定義，存在，使得，即存在，使得，所以存在，使得，即，又因為，所以，所以，即，綜上.17、（1）由，可得,即，解得（舍）或，解得.（2）的定義域為，且，故函數為奇函數.18、（1）解：∵的定義域為且是奇函數，

∴，即，解得，此時，則，符合題意．（2）解：∵在上恒成立，∴．令，因為，所以，所以，，因為

在單調遞增，所以

，即

，故，解得，所以取值范圍是．19、（1）由，，得，，所以．（2）由題得，即，所以，解得，所以，所以不等的解集為．（3）是奇函數，由題得，所以x<－1或x>1，所以F（x）定義域關于原點對稱，因為，所以，所以函數F（x）是奇函數．20、（1）解：為奇函數，因為，由，解得，即的定義域為，因為對任意，都有，且，所以為奇函數.（2）解：化為，因為，且，所以且，所以問題轉化為，都有成立，①當時，，都有成立，即對恒成立，因為對稱軸，故在上單調遞減，所以，解得.②當時，，都有成立，即對恒成立，因為對稱軸，故在上單調遞減，所以，解得.綜上①②可知：的取值范圍為.21、（1）由于函數是定義在上的奇函數，所以.（2）由（1）得，當時，，所以，所以（3）函數有零點等價于方程有根，分離參數得，原問題等價于與的圖象有公共點，所以求k的范圍，即求函數的值域，記，即，①當時，顯然在上單調遞減，所以，所以時，，②當時，令，則，記，，因為對稱軸，所以在上單調遞增，所以，即，所以時，，綜上