專題02數軸上的動點問題點的往返運動1．一個動點P從數軸上的原點O出發開始移動，第1次向右移動1個單位長度到達點P1，第2次向右移動2個單位長度到達點P2，第3次向左移動3個單位長度到達點P3，第4次向左移動4個單位長度到達點P4，第5次向右移動5個單位長度到達點P5…，點P按此規律移動，則移動第158次后到達的點在數軸上表示的數為（）A．159 B．-156 C．158 D．1【答案】A【分析】根據數軸，按題目敘述的移動方法即可得到點前五次移動后在數軸上表示的數；根據移動的規律即可得移動第158次后到達的點在數軸上表示的數．【詳解】解：設向右為正，向左為負，則表示的數為+1，表示的數為+3表示的數為0表示的數為-4表示的數為+1……由以上規律可得，每移動四次相當于向左移動4個單位長度．所以當移動156次時，156=39×4相當于向左移動了39次四個單位長度．此時表示的數為．則第157次向右移動157個單位長度，；第158次還是向右，移動了158個單位長度，所以．故在數軸上表示的數為159．故選A．【點睛】本題考查了數軸上點的運動規律，正確理解題意，找出點在數軸上的運動次數與對應點所表示的數的規律是解題的關鍵．2．一個機器人從數軸原點出發，沿數軸正方向，以每前進3步后退2步的程序運動，設該機器人每秒鐘前進或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，表示第n秒時機器人在數軸上的位置所對應的數．給出下列結論：①；②；③；④．其中，正確結論的序號是．【答案】①②④【分析】“前進3步后退2步”這5秒組成一個循環結構，先根據題意列出幾組數據，從數據找尋規律：第一個循環節結束的數即x5=1，第二個循環節結束的數即x10=2，第三個循環節結束的數即x15=3，…，第m個循環節結束的數就是第5m個數，即x5m=m．然后再根據“前進3步后退2步”的運動規律來求取對應的數值．【詳解】根據題意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列舉知①②正確，符合題意；由上可知：第一個循環節結束的數即x5=1，第二個循環節結束的數即x10=2，第三個循環節結束的數即x15=3，…，即第m個循環節結束的數即x5m=m．∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③錯誤，不合題意；∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，故x2019＞x2020，故④正確．符合題意．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了規律型——數字的變化類，主要考查了數軸，要注意數軸上點的移動規律是“左減右加”．把數和點對應起來，也就是把“數”和“形”結合起來．前進3步后退2步”這5秒組成一個循環結構，讓n÷5看余數，余數是幾，那么第n秒時就是循環節中對應的第幾個數．運動時間問題3．已知多項式的常數項是a，次數是在數軸上分別表示的點是（如圖），點A與點B之間的距離記作．(1)求的值；(2)求的長；(3)動點P從數1對應的點開始向右運動，速度為每秒1個單位長度．同時點A，B在數軸上運動，點A，B的速度分別為每秒2個單位長度，每秒3個單位長度，運動時間為t秒．若點A向右運動，點B向左運動，，求t的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據多項式的次數和常數項的定義，即可進行解答；（2）用點A到原點的距離加上點B到原點的距離即可；（3）根據數軸上兩點之間的距離，將和的長度表示出來，進行分類討論即可．【詳解】（1）解：∵多項式，次數為30，常數項為，∴．（2）∵，∴點A表示，點B表示30，∴．（3）∵經過t秒后，點P運動到數對應的點，點A運動到數對應的點，點B運動到數對應的點，∴，，∵，∴，解得：．或，則，解得：．綜上：或．【點睛】本題主要考查了用數軸上點表示數，數軸上兩點之間的距離，解題的關鍵是熟練掌握數軸上兩點之間距離的表示方法．4．已知數軸上有A，B，C三個點，分別表示有理數，4，6．(1)畫出數軸，并用數軸上的點表示點A，點B，點C；(2)動點P從點C出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向數軸負方向運動，到達點A后立即以每秒2個單位長度的速度沿數軸返回到點C，到達點C后停止運動，設運動時間為t秒．①當時，的長為__________個單位長度，的長為__________個單位長度，的長為____________個單位長度；②在點P的運動過程中，若個單位長度，則請直接寫出t的值為___________【答案】(1)見解析；(2)①4，2，4；②或或或【分析】（1）根據題意畫出數軸即可；（2）①先求出當時，P點表示的數為6-4=2，然后根據數軸上兩點距離公式求解即可；②分當P從C向A運動和當P從A向C運動兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：①當時，P點表示的數為6-4=2，∴，，，故答案為：4、2、4；②當P從C向A運動，時，，，，∵，∴，解得；當P從C向A運動，時，，，，∵，∴，解得；當P從A向C運動時，當時，，，，∵，∴，解得；當P從A向C運動時，當時，，，，∵，∴，解得；綜上所述，t的值為或或或．【點睛】本題主要考查了用數軸表示有理數，數軸上兩點的距離，數軸上的動點問題，解題的關鍵在于能夠正確理解題意，利用分類討論的思想求解．5．如圖，在數軸上點A表示的數為﹣6，點B表示的數為10，點M、N分別從原點O、點B同時出發，都向左運動，點M的速度是每秒1個單位長度，點N的速度是每秒3個單位長度，運動時間為t秒．（1）求點M、點N分別所對應的數（用含t的式子表示）；（2）若點M、點N均位于點A右側，且AN＝2AM，求運動時間t；（3）若點P為線段AM的中點，點Q為線段BN的中點，點M、N在整個運動過程中，當PQ+AM＝17時，求運動時間t．【答案】（1）點M、點N分別所對應的數分別為，；（2）；（3）t=1或18【分析】（1）根據題意進行求解即可；（2）由（1）所求，根據數軸上兩點距離公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案；（3）分當M、N均在A點右側時，當N在A點左側，M在A點右側時，當M、N都在A點左側時，三種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：點M、點N分別所對應的數分別為，；（2）∵點A表示的數為-6，點M、點N分別所對應的數分別為，，∴，，∵，∴，∴；（3）如圖1所示，當M、N均在A點右側時，由（1）（2）得點M、點N分別所對應的數分別為，，∵點P為線段AM的中點，點Q為線段BN的中點，∴點P和點Q表示的數分別為，，∴∵，∴，∴；如圖2所示，當N在A點左側，M在A點右側時，同圖1可知點P和點Q表示的數分別為，，∴∵，∴，∴，不符合題意；如圖3所示，當M、N都在A點左側時，同圖1可得點P和點Q表示的數分別為，，∴，，∵，∴，此時方程無解；如圖4所示，當M、N都在A點左側時，同理可得點P和點Q表示的數分別為，，∴，，∵，∴，解得，∴綜上所述，當，t=1或18．【點睛】本題主要考查了用數軸表示有理數，數軸上兩點的距離，數軸上的動點問題，熟知數軸的相關知識是解題的關鍵．點表示的數6．已知A，B兩點在數軸上分別表示有理數a，b，A，B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A，B兩點之間的距離．已知數軸上A，B兩點對應的數分別為－1，3，P為數軸上一動點．(1)若點P到A，B兩點之間的距離相等，則點P對應的數為______．(2)若點P到A，B兩點的距離之和為6，則點P對應的數為______．(3)現在點A以2個單位長度/秒的速度運動，同時點B以0.5個單位長度/秒的速度運動，A和B的運動方向不限，當點A與點B之間的距離為3個單位長度時，求點B所對應的數是多少？【答案】(1)1；(2)4或；(3)點表示的數為或或或．【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離計算方法進行計算即可得出答案；（2）設點對應的數為，根據題意可得；分類討論，當時，②當時，③當時，計算即可得出答案；（3）設經過秒，分情況討論①當點點相向而行時，經過秒，點表示的數為，點表示的數為，即可得出，②當點點同向向右運動時，經過秒，點表示的數為，點表示的數為，則，③當點點同向向左運動時，求出的值，即可算出點對應的數．【詳解】（1）解：根據題意可得，，因為點到，兩點之間的距離相等，所以點到點和點3的距離為2，則點對應的數為：1；故答案為：1；（2）解：設點對應的數為，則；①當時，最大值為4，不滿足題意；②當時，解得：；③當時，解得：，點對應的數為4或；故答案為：4或；（3）解：設經過秒，①當點點相向而行時，經過秒，點表示的數為，點表示的數為，則，解得或，點對應的數為或；②當點點同向向右運動時，經過秒，點表示的數為，點表示的數為，則，解得：或，點表示的數為或；③當點點同向向左運動時，因為，點的運動速度大于點的運動速度，不能滿足題意．綜上：點表示的數為或或或．【點睛】本題主要考查了數軸上兩點間的距離，解題的關鍵是熟練掌握數軸上兩點間距離的計算方法進行求解．7．平移和翻折是初中數學中兩種重要的圖形變化，閱讀并回答下列問題：(1)平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．①把筆尖放在數軸的原點處，先向左移動2個單位長度，再向右移動3個單位長度，這時筆尖的位置表示的數是______；②一個機器人從數軸上表示﹣1的點出發，并在數軸上移動2次，每次移動3個單位后到達B點，則B點表示的數是______；③數軸上點A表示的數為m．則點A向左移動n個單位長度所表示的數為______；(2)翻折：將一個圖形沿著某一條直線折疊的運動．①若折疊紙條，表示﹣2的點與表示1的點重合，則表示﹣4的點與表示______的點重合；②若數軸上A、B兩點之間的距離為8，點A在點B的左側，A、B兩點經折疊后重合，折痕與數軸相交于表示﹣2的點，則A點表示的數為______；③在數軸上，點P表示的數為4，點Q表示的數為x，將點P、Q兩點重合后折疊，折痕與數軸交于M點；將點P與點M重合后折疊，新的折痕與數軸交于N點，若此時點P與點N的距離為3，數x的值為______．【答案】(1)①；②或5或；③；(2)①3；②；③16或．【分析】（1）平移：①根據右加左減的平移規律即可求解；②分四種情況：①兩次向左移動；②兩次向右移動；③第一次向左移動，第二次向右移動；④第一次向右移動，第二次向左移動．根據右加左減的平移規律分別求解即可；③設需將點向左移動個單位，根據，兩點的距離是，兩點距離的2倍列出方程，解方程即可；（2）翻折：①設所求數為，根據重合點相同列出方程，解方程即可；②設點表示的數為，根據與表示的點之間的距離等于4列出方程，解方程即可；③根據中點坐標公式得出點、表示的數，根據點與點的距離為3列出方程，解方程即可．【詳解】（1）①由題意可得，筆尖的位置表示的數是：．故答案為：；②分四種情況：①如果兩次向左移動，那么點表示的數是：；②如果兩次向右移動，那么點表示的數是：；③如果第一次向左移動，第二次向右移動，那么點表示的數是：；④如果是第一次向右移動，第二次向左移動，那么點表示的數是：．綜上所述，點表示的數是或6或0．故答案為：或5或；③數軸上點A表示的數為m．則點A向左移動n個單位長度所表示的數：．故答案為：；（2）翻折：將一個圖形沿著某一條直線折疊的運動．①設所求數為，根據題意得，解得．故答案為：3；②設點表示的數為，根據題意得，解得．故答案為：；③根據題意可得，點表示的數為，點表示的數為．點與點的距離為2，，即，，或，或．故答案為：16或．【點睛】本題考查了數軸、列代數式，解決本題的關鍵是掌握數軸上兩點之間的距離公式．定值問題8．如圖，記數軸上A、B兩點之間線段長為，（單位長度），（單位長度），在數軸上，點A在數軸上表示的數是，點D在數軸上表示的數是15．(1)點B在數軸上表示的數是_____，點C在數軸上表示的數是_____，線段BC的長＝_____．(2)若線段以1個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運動，當點B與C重合時，點B與點C在數軸上表示的數是多少？(3)若線段以1個單位長度/秒的速度向左勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運動，設運動時間為t秒，當時，M為中點，N為中點．①若數軸上兩個數為a、b，則它們的中點可表示為．則點M表示的數為_____，點N表示的數為______．（用代數式表示）②線段MN的長是否為定值，如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)，14，24(2)當點B與C重合時，點B與點C在數軸上表示的數是﹣2(3)①；；②MN的長是定值，【分析】（1）數軸上點A右邊的點B表示的數是點A表示的數加上這兩個點的距離，數軸上點D左邊的點C表示的數是點D表示的數減去這兩個點的距離，依此方法可求出點B和點C表示的數，因為點C在點B的右邊，所以用點C表示的數減去點B表示的數即得到線段的長；（2）設運動的時間為t秒，先確定點B表示的數為，點B與點C相距24個單位長度，兩個點相向運動，則點B與點C重合時，點B與點C運動的距離和為24，列方程求出t的值再求出點B表示的數即可；（3）①先用t的代數式表示出A、B、C、D四點對應的數，再根據中點公式即可求解；②用兩點間距離公式即可求解．【詳解】（1）解：因為點A表示的數是，點B在點A右側，且，所以，所以點B表示的數是；因為點D表示的數是15，點C在點D的左側，且，所以，所以點C表示的數是14，點B與點C的距離是（單位長度），所以線段BC的長為24個單位長度，故答案為：，14，24．（2）設運動的時間為t秒，則點B表示的數是，根據題意得，解得，所以，答：當點B與C重合時，點B與點C在數軸上表示的數是．（3）①根據題意得，t秒后點A對應的數為：，點C對應的數為：，∵M為中點，∴點M對應的數為：，t秒后點B對應的數為：，點D對應的數為：，∵N為中點，∴點N對應的數為：，故答案為：；；②線段的長為定值，∵點M對應的數為，點N對應的數為；∴，∴線段的長為定值．【點睛】此題考查數軸上兩點的距離的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解應用題等知識與方法，解題的關鍵是正確理解行程問題中相遇問題和追及問題的數量關系并且用代數式和等式表示這些關系．9．如圖，一個點從數軸上的原點開始，先向左移動到達A點，再向右移動到達B點，然后再向右移動到達C點，數軸上一個單位長度表示．（1）請你在數軸上表示出A，B，C三點的位置；（2）把點C到點A的距離記為，則_______．（3）若點A沿數軸以每秒勻速向右運動，經過多少秒后點A到點C的距離為？（4）若點A以每秒的速度勻速向左移動，同時點B、點C分別以每秒、的速度勻速向右移動。設移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）秒或秒；（4）不變化，值為．【分析】（1）根據題意，在數軸上表示點A、B、C的位置即可；（2）利用數軸上兩點間的距離公式解題；（3）分兩種情況討論：點A在點C的左側或點A在點C的右側；（4）表示出，再相減即可解題．【詳解】解：（1）如圖，（2）故答案為：；（3）①當點A在點C的左側時：

②點A在點C的右側時：所以，經過或秒后點A到點C的距離為3cm，

（4）BA=，CB=的值不會隨著的變化而變化，BA-CB=．【點睛】本題考查數軸、數軸上兩點間的距離等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．12．根據數軸和絕對值的知識回答下列問題(1)一般地，數軸上表示數m和數n兩點之間的距離我們可用│m-n│表示．例如，數軸上4和1兩點之間的距離是________.數軸上-3和2兩點之間的距離是________.(2)

數軸上表示數a的點位于-4與2之間，則│a+4│+│a-2│的值為_____________.(3)

當a為何值時，│a+5│+│a-1│+│a-4│有最小值？最小值為多少？【答案】(1)3；5；（2）6；（3）當a=1時，原式有最小值9.【分析】(1)根據題意，結合數軸即可得到結果(2)由a的范圍，利用絕對值的代數意義化簡即可(3)根據|a＋5|＋|a?1|＋|a?4|表示一點到?5，1，4三點的距離的和．即可求解．【詳解】(1)數軸上表示1和4的兩點之間的距離是3；表示-3和2的兩點之間的距離是5；(2)根據題意得:-4＜a＜2，即a+4＞0，a-2＜0則原式=a+4+2-a＝6(3)根據|a＋5|＋|a?1|＋|a?4|表示一點到?5，1，4三點的距離的和．所以當a＝1時，式子的值最小，此時|a＋5|＋|a?1|＋|a?4|的最小值是9．故答案為:(1)3；5；（2）6；（3）當a＝1時，原式有最小值9.【點睛】本題主要考查了絕對值的定義，就是表