第十一章三角形11.3多邊形及其內角和1多邊形（1）概念：在平面內，有一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.（2）分類：多邊形按組成它的線段的條數分成三角形、四邊形、五邊形等。如果一個多邊形由n條線段組成，那么這個多邊形叫做n邊形。（3）對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.（4）正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.2多邊形的內角和n邊形的內角和等于(n解釋n邊形的內角和可以分成n-2個三角形的內角和之和，故n邊形的內角和等于(【例】八邊形的內角和等于8-2×180°=1080°3多邊形的外角和多邊形的外角和等于360°.解釋（1）多邊形的外角和指的是多邊形每個頂點各取的一個外角之和；（2）證明：n邊形的內角和(n則多邊形的外角和等于180°×n【例】五邊形，吧邊形、十邊形的外角和均是360°.4鑲嵌用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，這類問題屬于鑲嵌問題.解釋類似鋪地磚，要求不能有重疊部分，也不能有空隙.常見的地磚可以是正方形，正三角形等.【題型1】與多邊形內角有關的計算【典題1】在如圖所示的多邊形中，根據標出的各內角度數，求出x的值是．解析五邊形的內角和為(5﹣2)×180°＝540°，由題意得，140°+4x°＝540°，解得x＝100．故答案為：100．【典題2】如圖，點A，B，C，D，E在同一平面內，連接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，則∠A+∠B+∠D+∠E＝()A．280° B．260° C．240° D．220°解析如圖，連接BD，∵∠BCD＝100°，∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣∠BCD＝180°﹣100°＝80°，∵四邊形內角和為360°，∴∠A+∠ABC+∠CDE+∠E＝360°﹣(∠CBD+∠CDB)＝360°﹣80°＝280°，故選：A．【鞏固練習】1.下列正多邊形中，內角和為540°的是()A． B． C． D．答案B解析A、正方形的內角和為：4×90°＝360°，不符合題意；B、正五邊形的內角和為：(5﹣2)×180°＝3×180°＝540°，符合題意；C、正六邊形的內角和為：(6﹣2)×180°＝4×180°＝720°，不符合題意；D、正八邊形的內角和為：(8﹣2)×180°＝6×180°＝1080°，不符合題意；故選：B．2.一個多邊形的內角和為1260°，則這個多邊形是()A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形答案C解析設這個多邊形是n邊形，根據題意得：(n﹣2)?180°＝1260°，解得：n＝9，則這個多邊形是九邊形．故選：C．3.如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED的外部時，測量得∠1＝50°，∠2＝152°，則∠AEC為()A．7° B．6.5° C．6° D．5.5°答案C解析∵∠1＝50°，∠2＝152°，∴∠B+∠C＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣50°﹣152°＝158°，∴∠A＝180°﹣(∠B+∠C)＝180°﹣158°＝22°，∴∠A+∠AEC＝180°﹣∠2，即22°+∠AEC＝180°﹣152°，∴∠AEC＝6°．故選：C．4.如圖所示，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數是()A．180° B．270° C．360° D．540°答案C解析如圖，連接AD，則∠B+∠BAD+∠ADC+∠C＝360°，根據“8字形”數量關系，∠E+∠F＝∠FAD+∠ADE，所以∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．故選：C．5.如圖，六邊形ABCDEF中，CD∥AF，∠D＝∠A，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，則∠F的度數為()A．110° B．120° C．130° D．140°答案C解析延長CB交FA延長線于G，∵CD∥AF，∠C+∠G＝180°，∵∠C＝120°，∴∠G＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABG＝90°，∴∠BAF＝∠G+∠ABG＝150°，∴∠D＝∠BAF＝150°，∵∠C+∠D+∠E+∠F+∠BAF+∠ABC＝(6﹣2)×180°＝720°，∴∠F＝720°﹣120°﹣150°﹣80°﹣150°﹣90°＝130°．故選：C．【題型2】與多邊形外角有關的計算【典題1】若一個多邊形的內角和是其外角和的3倍，則該多邊形的邊數為()A．4 B．6 C．7 D．8解析設這個多邊形的邊數為n，則(n﹣2)?180°＝360°×3，解得：n＝8，即這個多邊形的邊數為8，故選：D．【典題2】如圖，淇淇從點A出發，前進3米后向右轉20°，再前進3米后又向右轉20°，這樣一直下去，直到他第一次回到出發點A為止，他所走的路徑構成了一個多邊形．則淇淇一共走了米．解析∵所經過的路線正好構成一個外角是20度的正多邊形，∴360÷20＝18，∵18×3＝54(米)，∴淇淇一共走了54米，故答案為：54．【鞏固練習】1.一個多邊形的每個內角都相等，這個多邊形的外角不可能是()A．30° B．40° C．50° D．60°答案C解析由題意得，這個多邊形的每一個外角均相等．∴每一個外角的度數整除360°．∵30°、40°、60°均能整除360°，50°不能整除360°，∴選項C符合題意．故選：C．2.在一個多邊形中，小于108°的內角最多有()個．A．2 B．3 C．4 D．5答案C解析∵多邊形的內角小于108°，∴外角大于72°，∴小于108°的內角個數＜360°÷72°＝5，即小于108°的內角最多有4個．故選：C．3.若一個多邊形的內角和是它的外角和的1.5倍，則這個多邊形的邊數為()A．5 B．6 C．7 D．4答案A解析設該多邊形的邊數為n，由題意可得：(n﹣2)?180°＝1.5×360°，解得：n＝5，故選：A．4.如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝110°，與∠BAD，∠ABC相鄰的外角都是120°，則∠α的值為()A．50° B．55° C．60° D．65°答案A解析∵在四邊形ABCD中，∠C＝110°，∴∠C相鄰的外角度數為：180°﹣110°＝70°，∴∠α＝360°﹣70°﹣120°﹣120°＝50°．故選：A．5.如圖，小亮從A點出發前進5m，向右轉15°，再前進5m，又向右轉15°…，這樣一直走下去，他第一次回到出發點A時，一共走了()m．A．24 B．60 C．100 D．120答案D解析∵小亮從A點出發最后回到出發點A時正好走了一個正多邊形，∴根據外角和定理可知正多邊形的邊數為n＝360°÷15°＝24，則一共走了24×5＝120(米)．故選：D．6.如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，則∠1+∠2+∠3等于()A．100° B．180° C．210° D．270°答案B解析延長AB，DC，∵AB∥CD，∴∠4+∠5＝180°．∵多邊形的外角和為360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣(∠4+∠5)＝360°﹣180°＝180°．故選：B．【題型3】正多邊形的角度計算【典題1】一個多邊形的每個內角都是108°，則這個多邊形的邊數為()A．4 B．5 C．6 D．8解析外角的度數是：180﹣108＝72°，則這個多邊形的邊數是：360÷72＝5．故選：B．【典題2】將正六邊形ABCDEF和正五邊形BCGHI按如圖所示的位置擺放，連接DG，則∠CDG＝．解析由題意得，CG＝CD．∴∠CGD＝∠CDG．∵多邊形ABCDEF是正六邊形、多邊形BCGHI是正五邊形．∴∠BCG＝120°，∠BCD＝108°．∴∠DCG＝360°﹣∠BCG﹣∠BCD＝360°﹣120°﹣108°＝132°．∴∠CGD+∠CDG＝180°﹣∠GCD＝48°．∴2∠CDG＝48°．∴∠CDG＝24°．故答案為：24°．【鞏固練習】1.如果多邊形的每一個外角都是20°，那么這個多邊形的邊數是()A．8 B．12 C．16 D．18答案D解析多邊形的邊數是：360°÷20°＝18．故選：D．2.一個正多邊形每個內角與它相鄰外角的度數比為2：1，則這個正多邊形是()A．正五方形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正八邊形答案B解析∵一個正多邊形每個內角與它相鄰外角的度數比為2：1，∴設這個外角是x，則內角是2x，根據題意得x+2x＝180°，解得x＝60°，∴360°÷60°＝6，故選：B．3.如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，若l1∥l2，則∠1﹣∠2＝()A．72° B．36° C．45° D．47°答案A解析延長AB交l2于F，∵l1∥l2，∴∠BFD＝∠2，∵正五邊形ABCDE的每個外角相等，∴∠FBC＝360°÷5＝72°，∵∠1＝∠BFD+∠FBC，∴∠1﹣∠BFD＝∠FBC＝72°，∴∠1﹣∠2＝72°．故選：A．4.如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AE，EG平分∠AED，交DC延長線于點G，則∠G為()A．15° B．20° C．25° D．30°答案A解析∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AF＝EF，∠F＝∠DEF＝∠D＝(6﹣2)×180°÷6＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝(180°﹣∠F)÷2＝(180°﹣120°)÷2＝30°，∴∠AED＝∠DEF﹣∠FEA＝120°﹣30°＝90°，∵EG平分∠AED，∴∠DEG＝12∠AED＝12×90°＝∴∠G＝180°﹣∠D﹣∠DEG＝180°﹣120°﹣45°＝15°，故選：A．【題型4】多邊形的對角線問題【典題1】探究歸納題：(1)試驗分析：如圖1，經過A點可以做條對角線；同樣，經過B點可以做條對角線；經過C點可以做條對角線；經過D點可以做條對角線．通過以上分析和總結，圖1共有條對角線．(2)拓展延伸：運用(1)的分析方法，可得：圖2共有條對角線；圖3共有條對角線；(3)探索歸納：對于n邊形(n＞3)，共有條對角線．(用含n的式子表示)(4)運用結論：九邊形共有條對角線．解析經過A點可以做1條對角線；同樣，經過B點可以做1條；經過C點可以做1條；經過D點可以做1條對角線．通過以上分析和總結，圖1共有2條對角線．故答案為：1、1、1、1、2；(2)拓展延伸：運用(1)的分析方法，可得：圖2共有5條對角線；圖3共有9條對角線；故答案為：5；9；(3)探索歸納：對于n邊形(n＞3)，共有n(n-3)2故答案為：n(n-3)2(4)特例驗證：九邊形有9×(9-3)2故答案為：27．【鞏固練習】1.若從一個多邊形的一個頂點出發，最多可畫7條對角線，則它是()邊形．A．七 B．八 C．九 D．十答案D解析設多邊形有n條邊，則n﹣3＝7，解得：n＝10，故多邊形的邊數為10，即它是十邊形，故選：D．2.一個多邊形只有27條對角線，則這個多邊形的邊數為()A．8 B．9 C．10 D．11答案B解析設多邊形有n條邊，則n(n-3)2解得n＝9或n＝﹣6(負值舍去)．故選：B．3.探究歸納題：(1)試驗分析：如圖1，經過一個頂點(如點A)可以作條對角線，它把四邊形ABCD分為個三角形；(2)拓展延伸：運用(1)的分析方法，可得：圖2過一個頂點作所有的對角線，把這個多邊形分為個三角形；圖3過一個頂點作所有的對角線，把這個多邊形分為個三角形；(3)探索歸納：對于n邊形(n＞3)，過一個頂點的所有對角線把這個n邊形分為個三角形．(用含n的式子表示)(4)特例驗證：過一個頂點的所有對角線可把十邊形分為個三角形．解析(1)如圖1，經過一個頂點(如點A)可以作1條對角線，它把四邊形ABCD分為2個三角形；(2)應用(1)的分析方法，可得：圖2過一個頂點作所有的對角線，把這個多邊形分為3個三角形；圖3過一個頂點作所有的對角線，把這個多邊形分為4個三角形；(3)對于n邊形(n＞3)，過一個頂點的所有對角線把這個n邊形分為(n﹣2)個三角形．(用含n的式子表示)；(4)過一個頂點的所有對角線可把十邊形分為8個三角形．故答案為：(1)1，2；(2)3，4；(3)(n﹣2)；(4)8．【題型5】多邊形的鑲嵌問題【典題1】正六邊形和下列邊長相同的正多邊形地磚組合中，能鋪滿地面的是()A．正方形 B．正八邊形 C．正十二邊形 D．正四邊形和正十二邊形解析A、正方形的每個內角是90°，正六邊形的每個內角是120°，90°m+120°n＝360°，n取任何正整數時，m不能得正整數，故不能鋪滿，A選項不符合題意；B、正八邊形的每個內角是135°，正六邊形的每個內角是120°，135°m+120°n＝360°，n取任何正整數時，m不能得正整數，故不能鋪滿，B選項不符合題意；C、正十二形的每個內角是150°，正六邊形的每個內角是120°，150°m+120°n＝360°，n取任何正整數時，m不能得正整數，故不能鋪滿，C選項不符合題意；D、正方形的每個內角是90°，正六邊形的每個內角是120°，正十二形的每個內角是150°，90°+120°+150°＝360°，故能鋪滿，D選項符合題意．故選：D．【鞏固練習】1.用同一種下列形狀的圖形地磚不能進行平面鑲嵌的是()A．正三角形 B．長方形 C．正八邊形 D．正六邊形答案C解析A、正三角形的一個內角度數為180﹣360÷3＝60°，是360°的約數，能鑲嵌平面，不符合題意；B、長方形的一個內角度數為180﹣360÷4＝90°，是360°的約數，能鑲嵌平面，不符合題意；C、正八邊形的一個內角度數為180﹣360÷8＝135°，不是360°的約數，不能鑲嵌平面，符合題意；D、正六邊形的一個內角度數為180﹣360÷6＝120°，是360°的約數，能鑲嵌平面，不符合題意．故選：C．2.用一種正多邊形鋪設地面時，不能鋪滿地面的是()A．正三角形 B．正四邊形 C．正五邊形 D．正六邊形答案C解析A、正三角形的每個內角是60°，能整除360°，能密鋪，不符合題意；B、正四邊形的每個內角是90°，4個能密鋪，不符合題意；C、正五邊形的每個內角是108°，不能整除360°，不能密鋪，符合題意；D、正六邊形每個內角是120°，能整除360°，能密鋪，不符合題意．故選：C．3.能夠鋪滿地面的正多邊形組合是()A．正六邊形和正五邊形 B．正方形和正八邊形 C．正五邊形和正八邊形 D．正三角形和正八邊形答案B解析A、正六邊形的每個內角是120°，正方形的每個內角是90°，120m+90n＝360°，顯然n取任何正整數時，m不能得正整數，故不能鋪滿；B、正方形的每個內角為90°，正八邊形的每個內角為135°，兩個正八邊形和一個正方形剛好能鋪滿地面；C、正五邊形每個內角是180°﹣360°÷5＝108°，正八邊形每個內角為135度，135m+108n＝360°，顯然n取任何正整數時，m不能得正整數，故不能鋪滿；D、正三角形每個內角為60度，正八邊形每個內角為135度，135m+108n＝360°，顯然n取任何正整數時，m不能得正整數，故不能鋪滿．故選：B．【題型6】多邊形的去（多角問題）【典題1】一個多邊形截取一個角后，形成另一個多邊形的內角和是1440°，則原來多邊形的邊數可能是()A．9，10，11 B．12，11，10 C．8，9，10 D．9，10解析設內角和為1440°的多邊形的邊數是n，則(n﹣2)?180＝1440，解得：n＝10．則原多邊形的邊數為9或10或11故選：A．【鞏固練習】1.一個四邊形，截一刀后得到的新多邊形的內角和將()A．增加180° B．減少180° C．不變 D．不變或增加180°或減少180°答案D解析∵四邊形，截一刀后得到的新多邊形可能是四邊形，五邊形，三角形，∴新多邊形的內角和將不變或增加180°或減少180°．故選：D．2.若一個多邊形剪去一個角后，內角和為720°，則原多邊形不可能是幾邊形()A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形答案A解析設內角和為720°的多邊形的邊數是n，則(n﹣2)?180＝720，解得：n＝6．∵截去一個角后邊數可能增加1，不變或減少1，∴原多邊形的邊數為5或6或7．故選：A．【A組---基礎題】1.若一個n邊形內角和為540°，則n的值為()A．5 B．6 C．7 D．8答案A解析由題意知，180°(n﹣2)＝540°，解得n＝5，故選：A．2.小聰利用最近學習的數學知識，給同伴出了這樣一道題：假如從點A出發，沿直線走6米后向左轉θ，接著沿直線前進6米后，再向左轉θ……如此下去，當他第一次回到A點時，發現自己走了72米，θ的度數為()A．30° B．36° C．60° D．72°答案A解析∵第一次回到出發點A時，所經過的路線正好構成一個正多邊形，∴多邊形的邊數為：72÷6＝12．根據多邊形的外角和為360°，∴他每次轉過的角度θ＝360°÷12＝30°．故選：A．3.如圖，將正五邊形與正方形按如圖所示擺放，公共頂點為O．若點A，B，C，D在同一條直線上，則∠BOC的度數為()A．15° B．18° C．28° D．30°答案B解析∵正五邊形的內角為：(5-2)×1805=108∴∠OBC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣108°＝72°，∠OCB＝180°﹣∠OCD＝90°，∴在△OBC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝18°，故選：B．4.下面能夠鋪滿地面的正多邊形的組合是()A．正方形和正五邊形 B．正方形和正六邊形 C．正方形和正七邊形 D．正方形和正八邊形答案D解析A、正方形和正五邊形內角分別為90°、108°，不能構成360°的周角，不能鋪滿，故此選項錯誤；B、正方形、正六邊形內角分別為90°、120°，不能構成360°的周角，不能鋪滿，故此選項錯誤；C、正方形、正七邊形內角分別為90°、900°7，不能構成D、正方形和正八邊形內角分別為90°、135°，因為135°×2+90°＝360°，能構成360°的周角，能鋪滿，故此選項正確．故選：D．5.把邊長相等的正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDM的CD邊重合，按照如圖的方式疊合在一起，延長MG交AF于點N，則∠ANG等于()A．140° B．144° C．148° D．150°答案B解析(6﹣2)×180°÷6＝120°，(5﹣2)×180°÷5＝108°，∠ANG＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2＝720°﹣360°﹣216°＝144°．故選：B．6.已知五邊形各內角的度數如圖所示，則圖中x＝°．答案解析依題意有x°+x°+x°+x°+60°＝(5﹣2)×180°，解得：x＝120．故答案為：120．7.一個多邊形的內角和與它的外角和之比為3：1，則這個多邊形的邊數是．答案8解析設多邊形的邊數是n，則(n﹣2)×180°：360°＝3：1，整理得n﹣2＝6，解得n＝8．故答案為：8．8.如圖，一個正五邊形和一個正六邊形有一個公共頂點O，則∠1+∠2＝．答案132°解析∵正五邊形的每個內角度數＝180°﹣360°÷5＝108°，正六邊形的每個內角度數＝180°﹣360°÷6＝120°，∴∠1+∠2+108°+120°＝360°，∴∠1+∠2＝132°．故答案為：132°．9.如圖，平面上兩個正方形與正五邊形都有一條公共邊，則α的度數為°．答案144解析由題意可得：正五邊形的每個內角為：(5-2)×180°5即：∠ABC＝108°，∠ABD＝90°，則∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝108°﹣90°＝18°，同理可得：∠DCB＝18°，∴∠BDC＝180°﹣18°﹣18°＝144°，即：α的度數為144°．故答案為：144．10.已知一個多邊形的邊數為n，每個內角都相等．(1)若這個多邊形的內角和的14比外角和多90°，求n(2)若這個多邊形的一個內角為108°，求n的值．答案(1)12(2)5解析(1)依題意，得(n-2)?180×14=360+90，解得n即n的值為12；(2)∵這個多邊形的每個內角都相等．∴這個多邊形的每個外角都相等．∵多邊形的一個內角為108°，∴這個多邊形的外角為72°，∵多邊形的外角和為360°，∴n=360即n的值為5．11.探究與發現：(1)如圖(1)，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD．①若∠A＝70°，則∠P＝．②若∠A＝α，用含有α的式子表示∠P為．(2)如圖(2)，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數量關系，并說明理由．(3)如圖(3)，在六邊形ABCDEF中，DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數量關系：．答案(1)125°(2)∠P＝12(∠A+∠B)(3)∠P＝12(∠A+∠B+∠E+∠F)解析(1)①∵∠A＝70°，∴∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝110°，∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝12∠ADC，∠DCP＝12∠∴∠P＝180°﹣(∠PDC+∠PCD)＝180°﹣12(∠ADC+∠ACD)＝180°﹣12×110°＝故答案為：125°；②∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝12∠ADC，∠DCP＝12∠∵∠A+∠ADC+∠ACD＝180°，∴∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A，∵∠P+∠PDC+∠PCD＝180°，∴∠P＝180°﹣(∠PDC+∠PCD)＝180°﹣12(∠ADC+∠ACD)∴∠P＝180°﹣12(180°﹣∠A)＝90°+12∠A＝90°+1故答案為：∠P＝90°+12α(2)∠P＝12(∠A+∠B)理由如下：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDP＝12∠ADC，∠DCP＝12∠∵∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠BCD+∠ADC＝360°﹣(∠A+∠B)，∵∠P+∠PDC+∠PCD＝180°，∴∠P＝180°﹣(∠PDC+∠PCD)＝180°﹣12(∠ADC+∠BCD)∴∠P＝180°﹣12[360°﹣(∠A+∠B)]＝12(∠A+∠B(3)∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，∴∠PDC＝12∠EDC，∠PCD＝12∠∵∠A+∠B+∠E+∠F+∠BCD+∠EDC＝720°，∴∠BCD+∠EDC＝720°﹣(∠A+∠B+∠E+∠F)，∵∠P+∠PDC+∠PCD＝180°，∴∠P＝180°﹣(∠PDC+∠PCD)＝180°﹣12(∠EDC+∠BCD)∴∠P＝180°﹣12[720°﹣(∠A+∠B+∠E+∠F)]∴∠P＝12(∠A+∠B+∠E+∠F)﹣180°故答案為：∠P＝12(∠A+∠B+∠E+∠F)﹣180°【B組---提高題】1.如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，若l1∥l2，∠1＝48°，則∠2＝°．答案120°解析如圖，過點B作直線BF∥l1，∵l1∥l2，BF∥l1，∴BF∥l2，∴∠1＝∠ABF＝48°，∠2+∠CBF＝180°，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴五邊形ABCDE的內角和為：(5﹣2)×180°＝540°，∴∠ABC∴∠CBF＝