（蘇科版）九年級上冊數學《第2章對稱圖形---圓》2.8圓錐的側面積知識點一知識點一與圓錐相關的概念◆1、圓錐：圓錐是一個底面和一個側面圍成的幾何體.圓錐還可以看成由一個直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉一周形成的圖形.◆2、圓錐的母線：我們把連接圓錐的頂點S和底面圓上任一點的連線SA，SB等叫做圓錐的母線．圓錐有無數條母線，它們都相等．◆3、圓錐的高：從圓錐的頂點到圓錐底面圓心之間的距離是圓錐的高．◆4、重要的數量關系如果用r表示圓錐底面的半徑,h表示圓錐的高線長,l表示圓錐的母線長,那么r、h、l之間數量關系是：由勾股定理得：r2+h2=l2,利用這一關系，已知任意兩個量，可以求出第三個量．知識點二知識點二圓錐的側面積和全面積◆1、圓錐其側面展開圖扇形的半徑=母線的長l側面展開圖扇形的弧長=底面周長◆2、圓錐的側面積計算公式：S側=12?2πr?l＝π◆3、圓錐的全面積計算公式：S全＝S底+S側＝πr2+πrl題型一求圓錐的側面積題型一求圓錐的側面積【例題1】（2023?鹿城區校級三模）已知圓錐的底面半徑是4，母線長是5，則圓錐的側面積是（）A．10π B．15π C．20π D．25π【分析】根據圓錐的側面展開圖是扇形、扇形的面積公式計算，得到答案．【解答】解：圓錐的側面積=12×2π×4×5＝故選：C．【點評】本題考查的是圓錐的計算，理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵．解題技巧提煉直接代入圓錐的側面積計算公式：S側=12?2πr?l＝πrl【變式1-1】（2023?天門校級模擬）如圖，圓錐的軸截面是一個斜邊為2的等腰直角三角形，則這個圓錐的側面積是（）A．22π B．2π C．2π 【分析】首先可求得圓錐的底面半徑及母線長，再根據圓錐的側面積公式，即可求得．【解答】解：∵圓錐的軸截面是一個斜邊為2的等腰直角三角形，∴底面半徑＝1，母線長AB=AC=2，底面周長＝2π∴圓錐的側面積=1故選：B．【點評】本題考查了圓錐的側面積計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解，解題的關鍵是牢記有關公式．【變式1-2】（2023?新吳區二模）已知一個三角形的三邊長分別為3、4、5，將這個三角形繞著最短的邊所在直線旋轉一周，得到一個幾何體，那么這個幾何體的側面積為（）A．12π B．15π C．20π D．24π【分析】先根據勾股定理的逆定理可知為直角三角形，以直角邊為3所在直線旋轉一周得到一個圓錐，底面半徑是4，母線是5，然后利用扇形的面積公式計算即可．【解答】解：∵32+42＝52，∴這個三角形為直角三角形，兩直角邊為3，4，斜邊為5，∴以直角邊為3所在直線旋轉一周得到一個圓錐，底面半徑是4，母線是5，∴12×2π×4×5＝20故選：C．【點評】此題考查了點、線、面、體中的面動成體，勾股定理的逆定理和圓錐的計算，解題關鍵是熟練運用公式．【變式1-3】（2023?香洲區校級三模）如圖，冰淇淋蛋筒下部呈圓錐形，則蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計）是（）A．27cm2 B．54cm2 C．27πcm2 D．54πcm2【分析】由于錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，所以根據扇形的面積公式可計算出蛋筒圓錐部分包裝紙的面積【解答】解：根據題意，圓錐的側面積=12×2π×3×9＝27（即蛋筒圓錐部分包裝紙的面積為27cm2．故選：C．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．【變式1-4】（2023?諸暨市模擬）已知圓錐的底面半徑為5cm，高線長為12cm，則圓錐的側面積為（）cm2．A．130π B．120π C．65π D．60π【分析】先利用勾股定理求得圓錐的母線長，再根據圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2列式計算即可．【解答】解：∵圓錐的底面半徑為5cm，高線長為12cm，∴圓錐的底面周長＝2π×5＝10π（cm），母線長=52+12∴圓錐的側面積=12×10π×13＝65π（故選：C．【點評】本題考查了圓錐的計算，利用了勾股定理，圓的周長公式和扇形面積公式求解．【變式1-5】如圖，已知一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為9cm，圓心角為120°的扇形．求：（1）圓錐的底面半徑；（2）圓錐的全面積．【分析】（1）設該圓錐底面圓的半徑為rcm，則可根據圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2πr=120π×9（2）計算圓錐的側面積和底面面積，則可得出答案．【解答】解：（1）設該圓錐底面圓的半徑為rcm，根據題意得2πr=120π×9解得r＝3，即該圓錐底面圓的半徑為3cm．（2）∵該圓錐的側面面積=120?π?92360=27圓錐的底面面積＝π?32＝9π（cm2），∴圓錐的全面積為27π+9π＝36π（cm2）．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了扇形面積公式．題型二求圓錐底面圓的半徑題型二求圓錐底面圓的半徑【例題2】（2023?婁星區一模）已知圓錐的母線長為20cm，其側面展開圖是圓心角為216°的扇形，則圓錐的底面半徑長為（）A．4πcm B．5πcm C．12cm D．15cm【分析】根據展開圖的扇形弧長是圓錐底面圓的周長進行求解即可．【解答】解：設圓錐的底面半徑長為rcm，∵圓錐的母線長為20cm，其側面展開圖是圓心角為216°的扇形，∴2πr=216×π×20解得：r＝12，∴圓錐的底面半徑長為12cm，故選：C．【點評】本題主要考查了求圓錐底面圓半徑，熟知展開圖的扇形弧長是圓錐底面圓的周長是解題的關鍵．解題技巧提煉根據扇形的弧長等于圓錐的底面周長求得半徑，列出方程求解即可．【變式2-1】已知扇形AOB的半徑為3cm，圓心角的度數為120°，若將此扇形圍成一個圓錐，則圍成的圓錐的底面半徑為（）A．1cm B．2cm C．4cm D．8cm【分析】首先利用扇形的弧長公式即可求得扇形，然后根據圓的周長公式即可求解．【解答】解：扇形的弧長是120×3π180=2π（設底面半徑是rcm，則2πr＝2π，解得：r＝1．故選：A．【點評】本題考查圓錐的計算，理解圓錐的展開圖中扇形的弧長等于圓錐的底面周長是關鍵．【變式2-2】（2023?聊城一模）如圖，已知Rt△ABC的∠A＝90°，AB＝AC＝4，以點B為圓心，BA為半徑，作AE交BC于點E．若扇形ABE恰好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（）A．12 B．1 C．22 D【分析】根據圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等列式計算即可．【解答】解：設圓錐的底面圓的半徑為r，根據題意可知：AB＝BE＝4，∠ABE＝45°，底面圓的周長等于弧長，∴2πr=45×π×4解得r=1該圓錐的底面圓的半徑是12故選：A．【點評】本題考查了圓錐的計算，解決本題的關鍵是掌握圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．【變式2-3】如圖，在邊長為4的正方形內部裁得一個扇形BAC，若將該扇形圍成一個圓錐，則此圓錐的底面半徑為（）A．1 B．2 C．32 D．【分析】根據扇形的弧長等于圓錐的底面周長求得半徑即可．【解答】解：設圓錐的底面半徑為r，根據題意得：2πr=2×4π解得：r＝1，故選：A．【點評】考查了圓錐的計算，解題的關鍵是了解圓錐的底面周長等于扇形的弧長，難度不大．【變式2-4】（2023?耿馬縣一模）小科同學將一張直徑為16的圓形卡紙平均分成4份，用其中一份作一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑是（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】先求出圓形卡紙的周長，再求出圓錐的底面圓的周長，最后根據圓的周長公式求出半徑即可．【解答】解：圓形卡紙的周長為16π，∵16π4=4∴圓錐的底面圓的周長為4π，設圓錐的底面半徑為r，則2πr＝4π，解得：r＝2，即這個圓錐的底面半徑為2，故選：A．【點評】本題考查了圓錐的計算，能求出圓錐的底面圓的周長是解此題的關鍵．【變式2-5】如圖所示，扇形OAB的面積為4πcm2，∠AOB＝90°，用這個扇形圍成一個圓錐的側面．求這個圓錐的底面圓的半徑．【分析】設扇形的半徑為Rcm，利用扇形的面積公式得到90×π×R2360=4π，解得R＝4，再設這個圓錐的底面圓的半徑為rcm，利用扇形面積公式得到12×2πr×4【解答】解：設扇形的半徑為Rcm，根據題意得90×π×R2360解得R＝4（負值舍去），設這個圓錐的底面圓的半徑為rcm，則12×2πr×4＝4解得r＝1，所以這個圓錐的底面圓的半徑為1cm．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．題型三求圓錐的高題型三求圓錐的高【例題3】（2023?紅塔區模擬）將一個直角三角形以一條直角邊所在的直線為軸旋轉一周，得到一個圓錐，若這個直角三角形斜邊的長為13cm，圓錐的側面積為65πcm2，則該圓錐的高為（）A．5cm B．12cm C．13cm D．69【分析】根據扇形面積公式求出圓錐的底面半徑，再根據勾股定理計算，得到答案．【解答】解：設圓錐的底面半徑為rcm，由題意得：12×2πr×13＝65解得：r＝5，則圓錐的高為：132-5故選：B．【點評】本題考查的是圓錐的計算，掌握扇形面積公式是解題的關鍵．解題技巧提煉此題主要考查了主要考查了圓錐的性質，要知道（1）圓錐的高，底面半徑，母線構成直角三角形，（2）此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．解此類題目要根據所構成的直角三角形的勾股定理作為等量關系求解．【變式3-1】（2023?上杭縣模擬）圓錐的側面展開圖是一個圓心角120°，半徑6cm的扇形，則該圓錐的高是（）A．1cm B．2cm C．42cm D．2【分析】利用弧長公式計算得出圓錐的底面周長，繼而求得底面圓半徑，再利用勾股定理求得高即可．【解答】解：∵一圓錐的側面展開圖是圓心角為120°、半徑為6cm的扇形，∴扇形弧長=120π×6180=4π∴2πr＝4π，∴r＝2（cm），∴圓錐的高=62-22故選：C．【點評】考查了圓錐的計算，用到的知識點為：扇形的弧長公式公式和勾股定理．【變式3-2】（2022?西雙版納模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，以頂點A為圓心，AB的長為半徑畫弧，則由圖中陰影部分的扇形圍成的圓錐的高為（）A．42 B．26 C．33 【分析】首先確定扇形的圓心角的度數，然后利用圓錐的底面圓周長是扇形的弧長計算即可．【解答】解：∵正六邊形的外角和為360°，∴每一個外角的度數為360°÷6＝60°，∴正六邊形的每個內角為180°﹣60°＝120°．設這個圓錐底面圓的半徑是r，根據題意得，2πr=120π×6解得，r＝2．∴圓錐的高為62-2故選：A．【點評】本題考查了正多邊形和圓及圓錐的計算的知識，解題的關鍵是求得正六邊形的內角的度數并理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．此題難度不大．【變式3-3】如圖，從一塊直徑是4m的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90°的扇形，將剪下的扇形圍成一個圓錐，圓錐的高是（）A．22m B．15m C．302m D．30【分析】連接AO，求出AB的長度，然后求出BC的弧長，進而求出扇形圍成的圓錐的底面半徑，應用勾股定理，求出圓錐的高．【解答】解：連接AO，∵AB＝AC，點O是BC的中點，∴AO⊥BC，又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠AC0＝45°，∴AB=2OB＝22（m∴BC的長為：90π×22180=2∴剪下的扇形圍成的圓錐的半徑是：2π÷2π=22（∴圓錐的高為：(22)2故選：C．【點評】此題主要考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．【變式3-4】如果從半徑為5cm的圓形紙片上剪去15【分析】因為圓錐的高，底面半徑，母線構成直角三角形，則留下的扇形的弧長=4×2π×55=8π，所以圓錐的底面半徑r＝【解答】解：∵從半徑為5cm的圓形紙片上剪去15∴留下的扇形的弧長=4×2π×55=根據底面圓的周長等于扇形弧長，∴圓錐的底面半徑r=8π2π=∴圓錐的高為52-42【點評】此題主要考查了主要考查了圓錐的性質，要知道（1）圓錐的高，底面半徑，母線構成直角三角形，（2）此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．解此類題目要根據所構成的直角三角形的勾股定理作為等量關系求解．【變式3-5】已知如圖，扇形AOB的圓心角為120°，半徑OA為9cm．（1）求扇形AOB的弧長和扇形面積；（2）若把扇形紙片AOB卷成一個圓錐形無底紙帽，求這個紙帽的高OH．【分析】（1）根據弧長公式、扇形面積公式計算即可；（2）根據扇形AOB的弧長求出圓錐的底面半徑，根據勾股定理計算即可．【解答】解：（1）扇形AOB的弧長=120π×9180=6πS扇形AOB=120π×92360=27（2）∵扇形AOB的弧長為6πcm，∴圓錐的底面周長為6πcm，∴圓錐的底面半徑為3cm，∴OH=92-32【點評】本題考查的是圓錐的計算、弧長和扇形面積計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵．題型四求圓錐的母線長題型四求圓錐的母線長【例題4】（2022春?舟山月考）圓錐的底面半徑為4，側面展開圖扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線長為（）A．6 B．12 C．18 D．24【分析】根據弧長公式計算，得到答案．【解答】解：設圓錐的母線長為l，∵圓錐的底面半徑為4，∴圓錐的底面周長為8π，∴圓錐的側面展開圖扇形的弧長為8π，則120πl180=8解得：l＝12，∴圓錐的母線長為12，故選：B．【點評】本題考查的是圓錐的計算，熟記弧長公式是解題的關鍵．解題技巧提煉本題考查圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．掌握圓錐的相關知識是解題的關鍵．【變式4-1】（2023?如皋市一模）已知圓錐的側面積為10πcm2，底面圓的半徑為2cm，則該圓錐的母線長為cm．【分析】圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2，把相應數值代入即可求解．【解答】解：設圓錐的母線長為Rcm，圓錐的底面周長＝2π×2＝4πcm，則12×4π×R＝10解得，R＝5（cm）故答案為：5．【點評】本題考查的是圓錐的計算，理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．【變式4-2】（2022秋?句容市期中）某同學在數學實踐活動中，制作了一個側面積為40π，底面半徑為4的圓錐模型，則此圓錐的母線長為．【分析】設此圓錐的母線長為l，利用扇形的面積公式得到12【解答】解：如圖，設此圓錐的母線長為l，根據題意得：12解得：l＝10，∴此圓錐的母線長為10．故答案為：10．【點評】本題考查圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．掌握圓錐的相關知識是解題的關鍵．【變式4-3】（2023?吳忠模擬）如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為12cm，側面展開圖為半圓形，則它的母線長為．【分析】根據弧長公式列方程求解即可．【解答】解：設母線的長為R，由題意得，πR＝2π×12，解得R＝24，∴母線的長為24cm，故答案為：24cm．【點評】本題主要考查弧長的計算，根據展開后的半圓弧長等于圓錐形煙囪帽的底面周長列方程求解是解題的關鍵．【變式4-4】（2023?溫州模擬）已知圓錐的底面半徑為2cm，表面積為14πcm2，則該圓錐的母線長為cm．【分析】根據圓的周長公式求出圓錐的底面周長，根據圓錐的表面積的計算公式構建方程求解即可．【解答】解：設圓錐的母線長為Rcm，圓錐的底面周長＝2π×2＝4π（cm），則12×4π×R+π×22＝14解得，R＝5，故答案為：5．【點評】本題考查的是圓錐的計算，理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．題型五圓錐的側面展開圖的圓心角題型五圓錐的側面展開圖的圓心角【例題5】若一個圓錐的底面半徑為3cm，高為62cm，則圓錐的側面展開圖中圓心角的度數為（）A．150° B．120° C．100° D．80°【分析】設圓錐的側面展開圖中圓心角的度數為n°，先利用勾股定理計算出圓錐的母線長為9，再利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2π×3=nπ×9180，然后解關于【解答】解：設圓錐的側面展開圖中圓心角的度數為n°，圓錐的母線長為32+(6所以2π×3=nπ×9解得n＝120，即圓錐的側面展開圖中圓心角的度數為120°，故選：B．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．解題技巧提煉本題考查了圓錐側面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關系，明確圓錐的底面圓的周長＝扇形的弧長，通過列方程來解答本題的關鍵．【變式5-1】（2022秋?棗陽市期末）某學校組織開展手工制作實踐活動，一學生制作的圓錐母線長為30cm，底面圓的半徑為10cm，這個圓錐的側面展開圖的圓心角度數是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根據題意可知，圓錐的底面圓的周長＝扇形的弧長，即可列出相應的方程，然后求解即可．【解答】解：設這種圓錐的側面展開圖的圓心角度數是n°，根據題意得，2π×10=nπ×30解得n＝120，即這種圓錐的側面展開圖的圓心角度數是120°，故選：D．【點評】本題考查圓錐的計算，解答本題的關鍵是明確圓錐的底面圓的周長＝扇形的弧長．【變式5-2】（2023?盱眙縣模擬）若要制作一個母線長為9cm，底面圓的半徑為4cm的圓錐，則這個圓錐的側面展開圖的圓心角度數是．【分析】利用圓錐側面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關系計算，即可求解．【解答】解：設這個圓錐的側面展開圖的圓心角的度數是n，根據題意得：2π×4=nπ×9解得n＝160，即這個圓錐的側面展開圖的圓心角是160°，故答案為：160°．【點評】本題考查了圓錐側面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關系，明確圓錐的底面圓的周長＝扇形的弧長是解答本題的關鍵．【變式5-3】若一個圓錐的底面圓的半徑是52，母線長8，則該圓錐的側面展開圖的圓心角度數是【分析】由題意可以得到圓錐側面展開圖的半徑和弧長，然后可以求得圓錐側面展開圖的圓心角度數．【解答】解：由題意可得：圓錐側面展開圖的半徑為8，圓錐側面展開圖的弧長為2π×5∵nπ?8180∴圓錐側面展開圖的圓心角度數是n=5π故答案為：112.5°．【點評】本題考查圓的綜合應用，熟練掌握圓錐側面展開圖的知識和圓心角的求法是解題關鍵．【變式5-4】（2023?仙桃校級一模）已知圓錐底面圓的周長為2π，圓錐的母線為3，則該圓錐的側面展開圖的圓心角為．【分析】根據圓錐底面圓周長是其展開圖的扇形弧長進行求解即可．【解答】解：設該圓錐的側面展開圖的圓心角為n°，由題意得，n?π?3180∴n＝120，∴該圓錐的側面展開圖的圓心角為120°，故答案為：120°．【點評】本題主要考查了求圓錐側面展開圖的圓心角度數，熟知圓錐底面圓周長是其展開圖的扇形弧長是解題的關鍵．題型六圓錐計算與實際應用問題題型六圓錐計算與實際應用問題【例題6】（2023?海州區二模）如圖，一把打開的雨傘可近似的看成一個圓錐，傘骨（面料下方能夠把面料撐起來的支架）末端各點所在圓的直徑AC長為12分米，傘骨AB長為10分米，那么制作這樣的一把雨傘至少需要綢布面料為平方分米．【分析】圓錐的側面展開圖為扇形，根據題意可得該圓錐的母線長為AB，則扇形的直徑為AC，根據AC的長度可求出圓錐地面周長，即可得出扇形的弧長，最后根據扇形面積公式S=1【解答】解：∵AC＝12分米，∴該圓錐底面周長為12π分米，∴該圓錐側面積=1故答案為：60π．【點評】本題主要考查了求圓錐側面積，解題的關鍵是掌握圓錐的側面展開圖為扇形，以及扇形面積公式S=1解題技巧提煉把實際問題轉化成數學問題來解決，明確求的是圓錐的哪個量，在套用公式即可.【變式6-1】如圖，糧倉的頂部是圓錐形狀，這個圓錐底面的半徑長為3m，母線長為6m，為防止雨水，需在糧倉頂部鋪上油氈，如果油氈的市場價是每平方米10元錢，那么購買油氈所需要的費用是（）A．540π元 B．360π元 C．180π元 D．90π元【分析】圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2．算出側面積后乘以單價即可．【解答】解：底面半徑為3m，則底面周長＝6π，側面面積=12×6π×6＝18π（所需要的費用＝18π×10＝180π（元），故選：C．【點評】本題利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解，解題的關鍵是熟練掌握公式并正確的運用，難度不大．【變式6-2】（2023?洪雅縣模擬）如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（）A．(30+529)π米2 B．40π米C．(30+521)π米2 D．55π【分析】利用圓的面積得到底面圓的半徑為5，再利用勾股定理計算出母線長，接著根據圓錐的側面展開圖為一扇形和圓柱的側面展開圖為矩形計算它們的側面積，最后求它們的和即可．【解答】解：∵底面圓的半徑為5米，高為3米，∴圓錐的母線長=2所以圓錐的側面積=12?2π?5?29=5圓柱的側面積＝2π?5?3＝30π米2，所以需要毛氈的面積＝（30π+529π）米2．故選：A．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．【變式6-3】如圖，糧倉的頂部是圓錐形狀，這個圓錐的底面圓的半徑為3米，母線長為6米，為防雨水，需要在糧倉頂部鋪上油氈，如果油氈的市場價為10元/米2，那么購買油氈所需要的費用是元（結果保留π）．【分析】根據圓錐側面積公式S＝πrl，算出油氈的面積，乘以10即可得到結果．【解答】解：根據題意得：圓錐側面積＝π×3×6＝18π（平方米），則購買油氈所需要的費用＝10×18π＝180π（元）．故答案為：180π．【點評】此題考查了圓錐的計算，熟練掌握圓錐側面積公式是解本題的關鍵．【變式6-4】如圖，有一直徑為4的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大圓心角為60°的扇形ABC．（1）求剪下的扇形ABC（即陰影部分）的半徑；（2）若用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐形鐵帽，求此圓錐形鐵帽的底面圓的半徑r．【分析】（1）連接OA，過點O作OD⊥AC于D，根據含30°角的直角三角形的性質求出OD，根據勾股定理求出AD，進而求出AC；（2）根據圓的周長公式計算即可．【解答】解：（1）連接OA，過點O作OD⊥AC于D，則AD＝DC，∵∠BAC＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12OA＝∴AD=O∴AC＝2AD＝23，即剪下的扇形ABC（即陰影部分）的半徑為23；（2）扇形BAC的弧長為：60π×23∴圓錐形鐵帽的底面周長為23∴2πr=2解得：r=3【點評】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，要熟記弧長公式和扇形的面積公式．【變式6-5】下圖是一紙杯，它的母線AC和EF延長后形成的立體圖形是圓錐．該圓錐的側面展開圖形是扇形OAB．經測量，紙杯上開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長EF＝8cm．求扇形OAB的圓心角及這個紙杯的表面積．（面積計算結果用π表示）．【分析】（1）設∠AOB＝n°，AO＝R，則CO＝R﹣8，利用圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關系列方程，并聯立成方程組求解即可；（2）求紙杯的側面積即為扇環的面積，需要用大扇形的面積減去小扇形的面積．紙杯表面積＝S紙杯側面積+S紙杯底面積．【解答】解：由題意可知：BA=6π，CD=4π，設∠AOB＝n，AO＝R，則CO＝R﹣由弧長公式得：nπR180=6π，∴6×180=nR4×180=nR-8n解得：n＝45，R＝24，故扇形OAB的圓心角是45度．∵R＝24，R﹣8＝16，∴S扇形OCD=12×4π×16＝32π（S扇形OAB=12×6π×24＝72π（紙杯側面積＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝72π﹣32π＝40π（cm2），紙杯底面積＝π?22＝4π（cm2）紙杯表面積＝40π+4π＝44π（cm2）．【點評】主要考查圓錐的側面展開圖與底面周長之間的關系和扇環的面積的求法．本題中（1）就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關系，列方程求解；（2）扇環的面積等于大扇形的面積減去小扇形的面積．題型七圓錐與最短距離題型七圓錐與最短距離【例題7】如圖，已知圓錐的底面半徑為r＝20cm，h＝2015cm，現在有一只螞蟻從底邊上一點A出發．在側面上爬行一周又回到A點，則螞蟻爬行的最短距離是（）cm．A．40 B．40π C．160 D．802【分析】螞蟻爬行的最短距離是圓錐的展開圖的扇形中AA′的長度．根據勾股定理求得母線長后，利用弧長等于底面周長求得扇形的圓心角的度數為90度，再由等腰直角三角形的性質求解．【解答】解：設扇形的圓心角為n，圓錐的頂點為B，∵r＝20cm，h＝2015cm，∴由勾股定理可得母線l=r2+h而圓錐側面展開后的扇形的弧長為2×20π=nπ×80∴n＝90°，即△BAA′是等腰直角三角形，由勾股定理得：AA'=BA'2+BA∴螞蟻爬行的最短距離為802cm．故選：D．【點評】本題利用了勾股定理，弧長公式，圓的周長公式，等腰直角三角形的性質求解．解題技巧提煉本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．【變式7-1】（2022秋?沙坪壩區校級期中）如圖1，一只螞蟻從圓錐底端點A出發，繞圓錐表面爬行一周后回到點A，將圓錐沿母線OA剪開，其側面展開圖如圖2所示，若∠AOA′＝120°，OA=3，則螞蟻爬行的最短距離是【分析】連接