（蘇科版）九年級上冊數學《第2章對稱圖形---圓》2.7弧長及扇形面積知識點一知識點一弧長公式（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為【注意】①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設未標明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區分弧、弧的度數、弧長三個概念，度數相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統一．知識點二知識點二扇形及扇形的面積公式◆1、扇形：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.◆2、扇形面積公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12【注意】①公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的；②公式要理解記憶.題型一利用公式求弧長題型一利用公式求弧長【例題1】（2022秋?鞍山期末）已知一個扇形的圓心角為150°，半徑是6，則這個扇形的弧長是（）A．3π B．4π C．5π D．6π解題技巧提煉本題考查了弧長的計算，解題關鍵是掌握弧長公式l=nπr【變式1-1】（2023?中山市校級模擬）如圖，⊙O的半徑為1，點A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，則AC的長為（）A．18π B．14π C．12π 【變式1-2】（2023?裕華區二模）一張直徑為40cm的圓餅被切掉了一塊，數據如圖所示，則優弧ABC的長度為（）A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．30πcm【變式1-3】（2022?湖北）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點D，則AD的長為（）A．π B．43π C．53π D．【變式1-4】如圖，在⊙O中，弦AC，BD相交于點E，連結AD，已知AC＝BD．（1）求證：∠A＝∠D；（2）若AC⊥BD，⊙O的半徑為6，求CD的長．題型二列方程求圓心角或半徑題型二列方程求圓心角或半徑【例題2】一條弧所對的圓心角為120°，弧長等于6πcm，則這條弧的半徑為．解題技巧提煉本題已知弧長，利用弧長的計算公式得到關于圓心角或半徑的方程，然后解方程即可解決問題．【變式2-1】（2023?平陽縣校級三模）若一個扇形的圓心角為135°，弧長為3πcm，則此扇形的半徑是cm．【變式2-2】（2022秋?潁州區期末）已知弧的長是53π，弧的半徑為3，則該弧所對的圓心角度數為【變式2-3】（2022秋?越秀區校級期末）已知扇形半徑是3cm，弧長為32πcm，則扇形的圓心角為【變式2-4】（2022秋?任城區校級期末）如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕塑，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現力的瞬間．擲鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看成一張拉滿弦的弓，弧長約為58π米，“弓”所在的圓的半徑約0.75米，則“弓”所對的圓心角為【變式2-5】（2023?桐廬縣一模）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形．若其中一個扇形的弧長為5π，則另一個扇形的圓心角度數是．題型三利用弧長公式求周長題型三利用弧長公式求周長【例題3】（2023?東莞市一模）如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長為1，則凸輪的周長等于（）A．π3 B．π2 C．π D．解題技巧提煉本題考查三角形與圓的應用，解題關鍵是將陰影部分周長轉化為線段長度與弧長的和．【變式3-1】（2023?潢川縣校級三模）如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，C均在小正方形的頂點上，點B在弧AC上，且∠ACB＝15°，則陰影部分的周長為．【變式3-2】（2022?綠園區校級模擬）如圖，線段AB＝2．以AB為直徑作半圓，再分別以點A、B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C．則圖中陰影部分的周長為．【變式3-3】如圖，△ABC是邊長為12的等邊三角形，分別以點A、B、C為圓心，以4為半徑畫弧，則圖中陰影部分圖形的周長為.（結果保留π）【變式3-4】（2023?南關區校級二模）如圖，將半徑為2，圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉，在旋轉過程中，點B落在扇形BAC的弧AC上的點D處，點C的對應點為點E，則圖中陰影部分圖形的周長為.（結果保留π）題型四利用弧長公式求最值題型四利用弧長公式求最值【例題4】（2023?封丘縣二模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C為AB上一點，且BC=2AC，點P為扇形BOC區域內（不包含邊界）一動點．若OB＝1，則陰影部分周長的最小值為解題技巧提煉本題考查動點的最值問題，熟練掌握弧長的求法，將陰影部分周長的最值問題轉化為求弧長最值是解題的關鍵．【變式4-1】（2023?黃島區一模）如圖，半圓O的直徑AB＝3，AC=3BC．E是BC上一個動點，弦DE∥AB，OF⊥AB，交DE于點F．OH＝EF．則圖中陰影部分周長的最大值為【變式4-2】如圖，以BC為直徑作圓O，A，D為圓周上的點，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若點P為BC垂直平分線MN上的一動點，則陰影部分圖形的周長最小值為．題型五利用公式求扇形面積題型五利用公式求扇形面積【例題5】（2023?鶴山市模擬）圓心角為240°的扇形的半徑為3cm，則這個扇形的面積是（）cm2．A．π B．3π C．9π D．6π解題技巧提煉設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12【變式5-1】（2022?鹿城區校級三模）已知一個扇形的半徑為2cm，弧長是π3為cm2．【分析】根據扇形的面積公式s=12【變式5-2】如圖，一段公路的轉彎處是一段圓弧AB，則扇形AOB的面積為（）A．15πm2 B．30πm2 C．18πm2 D．12πm2【變式5-3】（2022?西城區二模）學校圖書館的閱讀角有一塊半徑為3m，圓心角為120°的扇形地毯，這塊地毯的面積為（）A．9πm2 B．6πm2 C．3πm2 D．πm2【變式5-4】（2022春?將樂縣校級月考）在一個直徑為6cm的圓中，小明畫了一個圓心角為120°的扇形，則這個扇形的面積為（）A．πcm2 B．2πcm2 C．3πc題型六列方程求扇形圓心角或半徑題型六列方程求扇形圓心角或半徑【例題6】扇形的弧長為20πcm，面積為240πcm2，那么扇形的半徑是（）A．6cm B．12cm C．24cm D．28cm解題技巧提煉本題已知扇形的面積，利用扇形面積的計算公式得到關于圓心角或半徑的方程，然后解方程即可解決問題．【變式6-1】（2022?公安縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD垂直OB交⊙O于C，D兩點，∠ABC＝60°，圖中陰影部分的面積2π3，則⊙OA．1 B．2 C．3 D．4【變式6-2】已知一個扇形的半徑為R，圓心角為n°，當這個扇形的面積與一個直徑為R的圓面積相等時，則這個扇形的圓心角n的度數是（）A．180° B．120° C．90° D．60°【變式6-3】已知40°的圓心角所對應的扇形面積為169πcm2A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【變式6-4】一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的2倍，且扇形面積是圓的面積的一半，則這個扇形的圓心角度數是（）A．45° B．60° C．90° D．75°題型七計算規則圖形的陰影部分的面積題型七計算規則圖形的陰影部分的面積【例題7】（2022春?萊西市期中）已知點C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，半徑AO＝2，則扇形COD的面積為．解題技巧提煉所求陰影部分是規則圖形，直接用幾何圖形的面積公式求解.【變式7-1】（2023?錦州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，連接OA，OC．若⊙O的半徑為3，則扇形AOC（陰影部分）的面積為（）A．23π B．π C．43π D．【變式7-2】（2022?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交CD于點E，連接BE，則扇形BAEA．π3 B．3π5 C．2π3 【變式7-3】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．（1）求BD的長；（2）求圖中陰影部分的面積．【變式7-4】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接AC，BC．（1）求證：∠A＝∠BCD；（2）若CD＝43，∠B＝60°，求扇形OAC（陰影部分）的面積．題型八計算不規則圖形的陰影部分的面積題型八計算不規則圖形的陰影部分的面積【例題8】（2023?鳳臺縣校級三模）如圖，點B在半圓O上，直徑AC＝10，∠BAC＝36°，則圖中陰影部分的面積為（）A．5π B．52π C．10π D．解題技巧提煉1、先將不規則陰影部分與空白部分組合，構造規則圖形或分割后為規則圖形，再進行面積和差計算.2、計算不規則圖形的陰影部分的面積通過對圖形的變換，為利用公式法或和差法求解創造條件.【變式8-1】（2022?長春一模）如圖，圓心重合的兩圓半徑分別為4、2，∠AOB＝120°，則陰影部分圖形的面積為（）A．4π B．163π C．8π D．16【變式8-2】如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝4，將半圓繞點A順時針旋轉45°，點B旋轉到點C的位置，則圖中陰影部分的面積為（）A．π B．2π C．4π D．6π【變式8-3】如圖，D是等邊△ABC內的一點，將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE和扇形EAD，連接CD、BE、DE．（1）若AD＝1，求陰影部分的面積；（結果保留根號和π）（2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度數．【變式8-4】（2022?江岸區模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半徑；（2）求圖中陰影部分的面積．題型九求旋轉過程中掃過的路徑或面積題型九求旋轉過程中掃過的路徑或面積【例題9】如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，將△ABC繞頂點C順時針旋轉至△A'B'C的位置，且A、C、B'三點在同一條直線上，則點A經過的路線的長度是（）A．8 B．43 C．323π D．8解題技巧提煉本題考查軌跡，全等三角形的性質，等邊三角形的判定，弧長公式，扇形面積公式等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式9-1】如圖，Rt△OCB的斜邊OB在y軸上，OC=3，∠BOC＝30°，直角頂點C在第二象限，將Rt△OCB繞原點順時針旋轉120°后得到△OC′B′，則B點的對應點B′的坐標和點BA．（3，﹣1）和43π B．（1，-3）和2C．（2，0）和43π D．（3，0）和2【變式9-2】如圖，等邊三角形和正方形的邊長都是a，在圖形所在的平面內，將△PAD以點A為中心沿逆時針方向旋轉，使AP與AB重合，如此繼續分別以點B、C、D為中心將三角形進行旋轉，使點P回到原來位置為止，則點P從開始到結束所經過路徑的長為（）A．72πa B．134πa C．196π【變式9-3】（2022秋?上城區校級月考）如圖，在△AOB中，OA＝2，OB＝5，將△AOB繞點O順時針旋轉90°后得△A'OB'．（1）求點B掃過的弧的長；（2）求線段AB掃過的面積．【變式9-4】（2022