重慶市2022屆高三第一次聯合診斷

數學試卷

一、單選題

1.已知集合4={x|log2%W2},B={x|-2<x<4},貝ijAClB=()

A.(-2,2)B.(0,2)C.(0,4)D.(0,4]

2.設復數z滿足i(z+i)CR,則z的實部為()

A.0B.1C.-1D.i

3.設向量ij是互相垂直的單位向量，則與向量i+j垂直的一個單位向量是()

A.i-yB.孝"一力

C.V2(f—J)D.

4.已知a>0且awl，則函數為奇函數的一個充分不必要條件是()

A.h<0B.b>—1C.b=-1D.b=±1

5.設雙曲線C：W一與=l(a>0,b>0)的右焦點為F,過點F且垂直于x軸的直線與

雙曲線C及其漸近線在第一象限分別交于A,B兩點，。為坐標原點,若萬？=/(而+而)，

則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±1xB.y=±￥，xC.y=±XD.y=±2x

4-5

6.已知a=>"吸c=*則()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

7.通過核酸檢測可以初步判定被檢測者是否感染新冠病毒，檢測方式分為單檢和混檢.單檢，

是將一個人的采集拭子放入一個采樣管中單獨檢測；混檢，是將多個人的采集拭子放入一個

采樣管中合為一個樣本進行檢測，若檢測結果呈陽性，再對這多個人重新采集單管拭子，逐

一進行檢測，以確定當中的陽性樣本.混檢按一個采樣管中放入的采集拭子個數可具體分為“3

合1”混檢，“5合1”混檢，"10合1”混檢等.調查研究顯示，在群體總陽性率較低(低于0.1%)

時.，混檢能較大幅度地提高檢測效力、降低檢測成本.根據流行病學調查結果顯示，某城市居

民感染新冠病毒的概率為0.0005.若對該城市全體居民進行核酸檢測，記采用“10合1”混檢方

式共需檢測X次，采用“5合1”混檢方式共需檢測Y次，已知當0<p<0.001時，(l-p)n?

1-np(neNf)，據此計算E(X):E(Y)的近似值為()

8,定義在(0,+8)上的函數/(%)滿足：當xG(0,1］時'/(x)=xlnx4-1，當x>1時，

/(%)"?)=a(a>0)，若關于X的方程/(%)=2有兩個不等實根，則a的取值范圍是

()

A.(0,e)B.(1,2)C.(2-52)D.(2—泉+8)

二、多選題

9.下列函數中，最小正周期為n,且在(0,費上單調遞增的是()

A.y—sin2xB.y—tanxC.y=|sinx|D.y=|tanx|

10.已知具有相關關系的兩個變量x,y的一組觀測數據(%“1)，(如、2)，…，(x"n)，

由此得到的線性回歸方程為y=bx+a,則下列說法中正確的是()

A.回歸直線y=bx+a至少經過點(%”力，(x2,y2)，…，中的一個點

B.若無=：￡之，y=%，則回歸直線y=bx+a.一定經過點(工力

C.若點(%1，%),(%2，為)，…，(xn,yn)都落在直線x-y+2=0上，則變量x,

y的樣本相關系數r=1

D.若為=98,轉=100,則相應于樣本點(%2，為)的殘差為-2

2

11.已知數列｛%｝滿足：an+1+an-cosn7r=n(nGN*),則下列說法中正確的是()

aa=

A.a9<ioB.a9+n20

C.數列｛%｝的前1()項和為定值D.數列｛a"的前2()項和為定值

12.已知正方體ABCD-,P是棱CCi的中點，以下說法正確的是()

A.過點P有且只有一條直線與直線AB,公。1都相交

B.過點P有且只有一條直線與直線AB,40都平行

C.過點P有且只有一條直線與直線AB,都垂直

D.過點P有且只有一條直線與直線AB,公。1所成角均為45。

三、填空題

13.已知a為非零實數，直線y=x+1與曲線y=aln(%+l)相切，則a=.

14.2cosl6°cos29°—cosl3°的值等于.

15.中國長征系列運載火箭包括長征一號、長征二號、長征三號、長征四號4個系列十多種

型號，具有發射從低軌到高軌、不同質量與用途的各種衛星、載人航天器和月球探測器的能

力.其中長征三號系列火箭因其入軌精度高、軌道選擇多、適應能力強，成為發射北斗導航衛

星的“專屬列車”12年間，長征三號系列火箭用38次成功發射的優異表現，將53顆北斗導航

衛星送入預定軌道.現假設長征三號系列火箭某8次成功發射共運送11顆相同的北斗導航衛

星進入預定軌道，每次發射運送1顆或2顆衛星，則這11顆衛星的不同運送方式共有

種.

22

16.在平面直角坐標系xOy中，過動點P作圓A：(x-I)+(y_1)=1的一條切線

PQ，其中Q為切點，若\PQ\=V2\P0\，則\PQ\的最大值為.

四、解答題

17.在XABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sin2?!+sin2S=(sinC—

^^sinAsinB)sinC?

(1)求C；

(2)若c=2V13,a=3b,點D在邊AB上，且乙4C。=乙BCD,求CD的長.

18.如圖，在直三棱柱ABC-必當Ci中，Z.ABC=90°,CA=2,CB=1,M是CC1

的中點，AM1BAX.

(1)求的長；

(2)求直線AC.與平面ABB^所成角的正弦值.

19.已知數列｛冊｝滿足：ai=1,an+an+1=3n+A(nG/V*),AG/?.

(1)證明：數列口2.｝是等差數列；

(2)是否存在A使得數列｛a"為等差數列?若存在，求A的值及數列｛a"的前n項

和Sn；否則，請說明理由.

20.某電視臺舉辦“讀經典”知識挑戰賽，初賽環節，每位選手先從A,B,C三類問題中選擇

一類.該類題庫隨機提出一個問題，該選手若回答錯誤則被淘汰，若回答正確則需從余下兩類

問題中選擇一類繼續回答.該類題庫隨機提出一個問題，該選手若回答正確則取得復賽資格，

本輪比賽結束：否則該選手需要回答由最后一類題庫隨機提出的兩個問題，兩個問題均回答

正確該選才可取得復賽資格，否則被淘汰.已知選手甲能正確回答A,B兩類問題的概率均為

1,能正確回答C類問題的概率為|,每題是否回答正確與回答順序無關，且各題回答正

確與否相互獨立.

(1)已知選手甲先選擇A類問題且回答正確，接下來他等可能地選擇B,C中的一類問

題繼續回答，求他能取得復賽資格的概率；

(2)為使取得復賽資格的概率最大，選手甲應如何選擇各類問題的回答順序?請說明理由.

21.已知橢圓C:W+￡=l(a>b>0)的右頂點為B,0為坐標原點，。為線段

0B的中點，過點D的直線1與橢圓C交于M,N兩點，且當直線1與x軸垂直時，|MN|=a.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若|MD|=2|DN|,求直線1的斜率.

1

22.已知函數/(久)=x+u+aln|x|,aE.R.

(1)當a=l時，討論/(x)的單調性；

(2)若/(%)存在唯一極值點，求a的取值范圍.

重慶市2022屆高三第一次聯合診斷

數學試卷

1【答案】c

2【答案】A

3【答案】B

4【答案】C

5【答案】B

6【答案】D

7【答案】B

8【答案】C

9【答案】B,C,D

10【答案】B,C,D

11【答案】A,D

12【答案】A,C

13【答案】e

14【答案】孚

15【答案】56

16【答案】2+V6

17【答案】（1）解：由已知借助正弦定理可得：sin24+sin2B=（sinC—sin?lsinB）sinC=>

az+b2=c2-^y-absinC，

即2abcosC=-absinC，即tanC=-V3，

C6（0,0,故C=等；

（2）解：由余弦定理知廬+9戶一52=2匕?3人（一》,：.b=2,

介?CD?sin^+號?3b?CD?sin^=聶?3b?sin竽,

由5ACFD+S^CAD=ShABC知，

即CD=益=￡

4L

18【答案】（1）解：取BBi中點N,連接MN,AN,則MN//BC,

,：BB11平面ABC,：.BB11BC,

XBCIBA,ABCBC=B,AB,BCu平面ABBrAr,

：.BC1平面ABB^,

故MNJ.平面4BB14,AN即為AM在平面ABB^內的射影，

又AMJ.,：.BA11AN,

故Rt△ABNsRt4A[AB,.,而AB=V4—1=y/3，

?'-AA1=y/2AB=A/6;

（2）解：連接ABX,由（1）知BXC11平面ABBXAX,

故/.C1AB1為直線4cl與平面ABB^所成角，

____]

AC1—，6+4=VTo,B]C]—1，/.sinZ-C^AB1—，

即所求角的正弦值為黑.

10

19【答案】(1)解：an+a“+i=3n+A>斯+1+即+2=3n+3+4>

兩式相減得斯+2-斯=3,

故是公差為3的等差數列；

(2)解：由題知cii+a2=3+4,，a2=2+4,

若｛an｝為等差數列，則a2-a1=1(a3-a1)=|，

故2+2—1=|,即A=1,

由(1)得0n+2-即=3,.?.數列｛。2九+1｝,｛。2九｝都是公差為3的等差數列，

**?Ci2n+1=%+3n,a2n=a2+3(n-1),

又??a1=1,。2=2+2=2+]=2，

.3

,?^2n+l—a2n=%+3tl—敢一3(九一1)=%—敢+3=3,

3

a2n-a2n-l=+3(九一1)一Qi—3(八一1)=一%=之，

即對VnCN*有an+1~an=l,

a

故｛n｝為等差數列，且an=^n，

所以5^n(a1+an)=3n2+ln

20【答案】(1)解：甲接下來選擇回答B類問題并取得復賽資格的概率為1x(1+|x|x|)=

31

72，

甲接下來選擇回答C類問題并取得復賽資格的概率為|x(|+Jx|x1)=^|,

故所求概率為羽+*端；

(2)解：由于甲回答A,B兩類問題的概率相同，故只需考慮ABC、ACB、CAB這三

種回答順序，

按ABC順序回答，取得復賽資格的概率為1x(|+|x|x|)=U,

按ACB順序回答，取得復賽資格的概率為1x(|+|x|x|)=||,

按CAB順序回答，取得復賽資格的概率為|x(1+lx|x1)=Jf,

弱＞震＞盤，故甲按ABC或BZC順序回答問題取得復賽資格的概率最大.

12

21.【答案】⑴解:由題意可得，點或￡)在橢圓上，將點弓譚)代入橢圓方程得H方=1，

故y/3b=a，

c=y[2b，?=￡=軍；

a3

(2)解：由(1)知C：x2+3y2=3b2，D(空40)，

22

設,W(x2,y2)，直線I-x=my+^~b，代入橢圓方程得(m+3)y+

l9,

y/3mby--rb2=0,由D在橢圓內部知必有A〉0,

rnil,-73m/?-我

則為+丫2=擊7，為為=品，

故-為=壽①，-2董=離②，

由題知為=~2y2,

3m2b之「即病

由胃得⑺2+3>翡2-

故I的斜率為士*.

/21

1+>o

Y-I--.LInVY>。_-/-X

_X

產，，/'(%)_21

1+X<o

%+-^+ln(-x),%<0V_X-

{X3

即/(X)=%3+^~2(X0)，

令g(x)=x34-%2-2,則g'(%)=3x2+2%=3x(%+1)，

故g(x)在(一8,一|)和(0,4-co)上單增，在(-|,0)上單減，

乂g(一不)v。，。(1)=。,

所以g(%)>0<=>x>1,g(x)<0<=>x<0或OVxVl,

從而/(%)>O=x>l或％V0,/(%)<0?0<%<1，

/./(%)在(一8,0)和(1,+8)上單增，在(0,1)上單減；

2

a

%+3+alnx,x>0fl-/+_X>o

2

(2)解：由題知/(x)=\x，/(x)=1x/Q

+_<o

%+-2+aln(—x),%<011-_kX

x3

/1?

即/(x)=)(x-U+a)，

214-

令h（x）=x—記+Q,則九（%）=1+/,

，，/T1，1

九（％）>0=%>0或Xv_43，/i（X）<0<=>-43<%<0

即/l（x）在（-8,_J）和