2021-2022高考數學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知/（X）=1-2COS2（^X+-）（?〉0）.給出下列判斷：

①若/（尤1）=1,/（尤2）=-1，且后一馬1=兀，則。=2；

②存在（0,2）使得Ax）的圖象向右平移?個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱；

O

③若/（X）在［0,2兀］上恰有7個零點，則。的取值范圍為為，叫）；

nTil（2

④若/（X）在一工,二上單調遞增，則。的取值范圍為0=.

_64」I3一

其中，判斷正確的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

2.在滿足0<%<%<4,可尹=婷的實數對（看,凹）（，=1,2,3,〃「一）中，使得％+電+…+Z-I<3x“成立的正整

數〃的最大值為（）

A.5B.6C.7D.9

0,x<l

3.已知函數=若不等式/（%）?|無一看對任意的xeR恒成立，則實數A的取值范圍是（)

Inx,x>1J

A.B.[1,+℃)C.[0,1)D.(-1,0]

4.已知函數/(x)=x—?(x>0),g(x)=x+e*,/?(%)=%+1!1%(%>0)的零點分別為*,x2,芻，則()

A.xx<x2<x3B.x2<x]<x3

C.x2<x3<x]D.x3<X]<x2

5.已知復數2=2一+5，，則|z|=()

2-z

A.B.5&C.3亞D.2石

6.設復數二滿足二=1+3貝!!z=（)

1.11.

2222

7.如圖所示，在平面直角坐標系中，尸是橢圓［+。=13>6>0）的右焦點，直線y=，與橢圓交于B,。兩

點，且48尸。=90。，則該橢圓的離心率是（）

8.關于圓周率；r,數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發，我們也可

以通過設計下面的實驗來估計》的值：先請全?！?名同學每人隨機寫下一個都小于1的正實數對（x,y）;再統計兩數

能與1構成鈍角三角形三邊的數對（X,田的個數a;最后再根據統計數a估計71的值，那么可以估計71的值約為（）

4。。+2a+2加4。+2m

A.—B.---------C.------------D.---------------

mmmm

9.已知產為拋物線C：V=8x的焦點，點4（1,〃。在C上，若直線A尸與C的另一個交點為8,貝!!|4同=（）

A.12B.10C.9D.8

10.已知函數/（x）=hw-2+a在xw［l,e］上有兩個零點，則。的取值范圍是（）

—]X>0

11.己知函數/(尤)=<,/'.'c若函數/(x)的圖象上關于原點對稱的點有2對，則實數人的取值范圍是()

—In(-x),x<U,

A.(f,0)B.(0,1)C.(0,+力)D.10,；

12.執行如圖所示的程序框圖，若輸出的5=3二，則①處應填寫()

A.左<3?B.鼠3?C.鼠5?D.左<5?

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知一組數據-1,1,0,-2,x的方差為10,則工=

14.函數“X)滿足/(x)=.f(%-4),當xe[—2,2)時，/(x)=，2"+3a+a,2"，若函數”司在[o,2O2O)

\l-x,a<x<2

上有1515個零點，則實數。的范圍為.

15.已知函數是偶函數，直線y=f與函數y=/(x)的圖象自左向右依次交于四個不同

點A,B,C,D.若AB=5C,則實數，的值為.

16.如圖梯形A8CO為直角梯形，AB±AD,CD±AD,圖中陰影部分為曲線y=/與直線x=x+2圍成的平面圖形,

向直角梯形ABC。內投入一質點，質點落入陰影部分的概率是

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓C的中心在坐標原點。，其短半軸長為1,一個焦點坐標為(1,0),點A在橢圓C上，點B在

直線y=夜上，且OA_LQ6.

（1）證明：直線AB與圓f+y2=i相切；

（2）設AB與橢圓C的另一個交點為。，當AAOB的面積最小時，求8的長.

221

18.（12分）已知橢圓。：「+2=13＞。＞0）的焦點為F2,離心率為7,點尸為橢圓C上一動點，且6K

a~b~2

的面積最大值為6,。為坐標原點.

⑴求橢圓C的方程；

⑵設點M（x，y）,N（%,%）為橢圓C上的兩個動點，當m々+%已為多少時，點0到直線MN的距離為定值.

19.（12分）橢圓W：1+六=1（。＞人＞0）的左、右焦點分別是A，K，離心率為斗,左、右頂點分別為A，

B.過月且垂直于x軸的直線被橢圓W截得的線段長為1.

（1）求橢圓W的標準方程；

（2）經過點P（l,0）的直線與橢圓W相交于不同的兩點C、D（不與點A、3重合），直線C8與直線X=4相交于

點M,求證：A、。、M三點共線.

20.（12分）已知等比數列｛%｝中，％=2,%+2是生和小的等差中項.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

（2）記bn=anlog2an,求數列也｝的前〃項和Tn.

21.（12分）已知三棱錐A-BCD中側面與底面BC。都是邊長為2的等邊三角形,且面43。，面BCD,M、N

分別為線段A。、A3的中點.尸為線段BC上的點，且MNLNP.

（D證明：P為線段8C的中點；

（2）求二面角A-NP-M的余弦值.

22.（10分）在A48c中，角A,8,C所對的邊分別為a,Z7,c,向量相=（2a-符,gc）,向量京=（cosB,cosC）,且說//兀

（1）求角C的大小;

(2)求y=s加4+Gs加(3-馬的最大值.

3

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

JT

對函數/(X)化簡可得/(x)=sin(28+F),進而結合三角函數的最值、周期性、單調性、零點、對稱性及平移變換,

6

對四個命題逐個分析，可選出答案.

【詳解】

因為fM=l-2cos2(69x+—)=-cos(2d9x+—)=sin(269x+—),所以周期7.

3362a)co

1jr?

對于①，因為.=R=-T,所以T=2TT=—,即④=二，故①錯誤；

1lm,n2co2

對于②，函數Ax)的圖象向右平移?個單位長度后得到的函數為y=sin(2ax-絲+乙)，其圖象關于>軸對稱，則

636

一笠+w=7+E(%eZ),解得口=—1—3代女eZ),故對任意整數左，口仁(0,2),所以②錯誤；

362

對于③，令r(x)=sin(2Gx+P)=0,可得2。工+四=E(%￡Z),則工=包>———,

66Ico12。

TT

因為/'(0)=sin2>0,所以f(x)在［0,2可上第1個零點%>0,且玉=△,所以第7個零點

62co12a)

71Tl兀7T3兀4171人工-i

電=----—F3T=------------—I-----=—,若存在第8個零點/，則

2①12a)2G12G①12①

7i兀7兀717Tt47K

s2a)12a)22a)\2CD2a)12G'

41兀47K4147

所以x42Tl<4,即——<2n<——，解得一Ko<—,故③正確；

712a)12。2424

TT71兀所以，,6J62,解得又。>(),所以0<啰42,

對于④，因為/(0)=sin—,且

66'471717133

故④正確.

故選：B.

【點睛】

本題考查三角函數的恒等變換，考查三角函數的平移變換、最值、周期性、單調性、零點、對稱性，考查學生的計算

求解能力與推理能力，屬于中檔題.

2.A

【解析】

InX：Iny；,、Inf、

由題可知：0<%<4,且x”短可得一=一么，構造函數恤）=——（0<Y4）求導，通過導函數求出/巾）

xiy>t

的單調性，結合圖像得出入n=2,即2WX]<e得出3x“<3e,

從而得出〃的最大值.

【詳解】

因為0<%<y<4,xJ=短

則InX,=In，即yiInxj=x,.Inyi

lnx;Inv,

整理得----=——.令f=x,.=y,.,

Xi%

設〃"）=皿（0<區4）,

1-

,.—,/—1,Inzii,

貝n"'①"^^=中，

令〃'（f）>0,則0<f<e,令則e</W4,

故〃（。在（0,e）上單調遞增，在（e,4）上單調遞減，則/7（e）=1，

e

因為七<y，〃（%）="（y）,

由題可知：〃（f）=；ln4時，則，mm=2,所以2W/<e,

所以<e<y,<4,

當x“無限接近e時，滿足條件，所以24x,<e,

所以要使得內+/+…+ZT<3x“<3ea8.154

故當X]=%=%3~x4=2時，可有玉+X2+&+X4=8<8.154,

故“―1?4,即〃W5,

所以：〃最大值為5.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查利用導數求函數單調性、極值和最值，以及運用構造函數法和放縮法，同時考查轉化思想和解題能力.

3.A

【解析】

/、zxf0,x<1,.

先求出函數/(x)在(1,0)處的切線方程，在同一直角坐標系內畫出函數/(x)=和g(x)=|x-4的圖象,

111人,人—JL

利用數形結合進行求解即可.

【詳解】

當時，/(x)=lnx,n/(x)=gn/()=l,所以函數/(x)在(1,0)處的切線方程為：y=x-l,令

g(x)=|x-《，它與橫軸的交點坐標為(A,0).

在同一直角坐標系內畫出函數/(x)=1和g(x)=|x-4的圖象如下圖的所示：

111—A

利用數形結合思想可知：不等式-M對任意的xeR恒成立，則實數A的取值范圍是攵W1.

故選：A

【點睛】

本題考查了利用數形結合思想解決不等式恒成立問題，考查了導數的應用，屬于中檔題.

4.C

【解析】

轉化函數f(x)=x-y/x(x>Q),g(x)=x+e*,Zz(x)=x+lnx(x>o)的零點為y=x與y=4(x>0),y=-ex,

y=-lnx(x>0)的交點，數形結合，即得解.

【詳解】

函數y(x)=x-Vx(x>0),g(x)=x+e*,/2(x)=x+lnx(x>0)的零點，即為y=x與曠=&*>。)，y=-ex,

)=—lnx(x>0)的交點，

作出y=x與y=J7(x>0),y=—e"y=-lnx(x>0)的圖象，

故選：C

【點睛】

本題考查了數形結合法研究函數的零點，考查了學生轉化劃歸，數形結合的能力，屬于中檔題.

5.B

【解析】

利用復數除法、加法運算，化簡求得二，再求得忖

【詳解】

z=三+51=5，：匕"+5i=—l+7i,故|z=，(-1)2+72=50.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查復數的除法運算、加法運算，考查復數的模，屬于基礎題.

6.D

【解析】

根據復數運算，即可容易求得結果.

【詳解】

_『_-i（l-i）_T-i_11.

'-T77-（I+D（I-O-2

故選：D.

【點睛】

本題考查復數的四則運算，屬基礎題.

7.A

【解析】

聯立直線方程與橢圓方程，解得3和。的坐標，然后利用向量垂直的坐標表示可得3c2=24,由離心率定義可得結

果.

【詳解】

’22

%y1

----F—=1x=±——a(八(、

2?百b

由1,，得9所以3——a,—,C,

bb2222

y=—77

[2y=-

由題意知R（c,O）,所以即=c+與a,—g,CF=c一與a,—g.

因為ZBFC=90°,所以8尸，CE,所以

[工62323212

BFCF=CH--a\\c------a+—=c——aH------------c——a=0n.

（2乂2）44442

所以3c2=2〃，所以e=￡=邁，

a3

故選：A.

【點睛】

本題考查了直線與橢圓的交點，考查了向量垂直的坐標表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎題.

8.D

【解析】

0<x<l

由試驗結果知加對0?1之間的均勻隨機數x，y，滿足,，面積為1,再計算構成鈍角三角形三邊的數對（x，y）,

[0<y<l

滿足條件的面積，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計》的

值.

【詳解】

0cx<1

解：根據題意知，加名同學取〃對都小于1的正實數對(x,y),即＜

0<"1'

對應區域為邊長為1的正方形，其面積為1,

x2+y2<\1

x+y>1

若兩個正實數乂丁能與1構成鈍角三角形三邊，則有〈

0<x<1

0<y<1

一，…cn1r_aTV1eh4a+2m

其面積s=1一，；則有蔡=^一，'解得〃=r-

故選：D.

【點睛】

本題考查線性規劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規劃可行域是一個封閉的圖形，可以

直接解出可行域的面積；求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據題意構造兩個

變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結果構成的平面圖形，以便求解.

9.C

【解析】

求得A點坐標，由此求得直線A尸的方程，聯立直線A尸的方程和拋物線的方程，求得3點坐標，進而求得|A8|

【詳解】

拋物線焦點為尸(2,0),令x=l,/=8,解得y=±2及，不妨設A(l,20),則直線Af的方程為

)，=言(x—2)=—20(x—2),由解得4(1,2加),8(4,-4閭，所以

|陰=“4—爐+㈠夜—2何=9.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查拋物線的弦長的求法，屬于基礎題.

10.C

【解析】

對函數求導，對a分類討論，分別求得函數/(x)的單調性及極值，結合端點處的函數值進行判斷求解.

【詳解】

???r(x)W+?=管，辿回

當心一1時，f'(x)>0,〃x)在［l,e］上單調遞增，不合題意.

當e時，f\x)<0,/(x)在［l,e］上單調遞減，也不合題意.

當時，則xe［l,-a)時,/,(x)<0,/(x)在［1,一。)上單調遞減，xe(-a,e］時，/,(x)>0,/(x)在

(-a,e］上單調遞增，又/.(1)=0,所以/(x)在xe［l,e］上有兩個零點，只需/(e)=l-?+aNO即可，解得

—^―<6T<-1.

l-e

綜上，。的取值范圍是一1.

I［Fl-e，)

故選C.

【點睛】

本題考查了利用導數解決函數零點的問題，考查了函數的單調性及極值問題，屬于中檔題.

11.B

【解析】

考慮當x〉0時，"一l=lnx有兩個不同的實數解，令〃(x)=lnx+1,則/z(x)有兩個不同的零點，利用導數和

零點存在定理可得實數攵的取值范圍.

【詳解】

因為/(%)的圖象上關于原點對稱的點有2對，

所以x>0時，依一l=lnx有兩個不同的實數解.

令/?(x)=lnx—丘+1,則〃(x)在(0,+力)有兩個不同的零點.

又/(力=匕*,

當ZWO時，〃'(x)>0,故/i(x)在(O,+e)上為增函數，

/z(x)在(0,+力)上至多一個零點，舍.

當%>0時，

若則〃(x)>0,〃(x)在(0,￡|上為增函數；

若Xe(：,+oo),則〃'(X)<O,〃(X)在上為減函數；

故〃

yAt/ft

因為〃(x)有兩個不同的零點，所以ln：＞0,解得0＜女＜1.

K

<0,故〃(x)在[o]

又當0＜女＜1時，且〃上存在一個零點.

ek

又〃目

=In=——+1=2+2Inf—e/其中r=，>l.

k2kk

令g(f)=2+21nf-ef,則=

當￡>1時，g'(f)<0,故g(。為(Lx)減函數,

所以8(。<8(1)=2_0<()即力<0.

因為臺親＞卜所以〃(力在1

,+oo上也存在一個零點.

綜上，當0＜攵＜1時，A(x)有兩個不同的零點.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數的零點，一般地，較為復雜的函數的零點，必須先利用導數研究函數的單調性，再結合零點存在定理說

明零點的存在性，本題屬于難題.

12.B

【解析】

模擬程序框圖運行分析即得解.

【詳解】

k—\,S-O',k-2,S=0H------=—

22+26

Z=3,S='+]_A=4,S」+13

632+34442+410

所以①處應填寫“鼠3?”

故選：B

【點睛】

本題主要考查程序框圖，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.7或一8

【解析】

依據方差公式列出方程，解出即可.

【詳解】

Y—2

-b1,0,-2,X的平均數為每一，

,x-2丫八x-2?x-2丫(X—2丫(x-2?l

所以.一1一亍卜卜亍J+/—虧J+卜2—亍J+卜一亍Jj=1i0n

解得x=7或％=-8.

【點睛】

本題主要考查方差公式的應用.

14.--,0

2

【解析】

由已知，〃力在［-2,2)上有3個根，分2>a?l,0<a<l,-l<tz<0,一2<aW—l四種情況討論“X)的單調

性、最值即可得到答案.

【詳解】

由已知，/(X)的周期為4,且至多在［-2,2)上有4個根，而［0,2020)含505個周期，所以/(X)在“2,2)上有3個

根，^g(x)=2x3+3x2+a,g'(x)=6/+6x,易知g(x)在(一1,0)上單調遞減，在(9,一1),(L”)上單調遞增,

又g(—2)=a-4<0,g⑴=a+5>0.

若2>aNl時，/(x)在(a,2)上無根，在［-2,0必有3個根,

/(-1)>Q+1>0

即《此時。W0；

/(0)<0a<0

若0<a<l時，“X)在(”,2)上有1個根，注意到/(0)=a>0,此時“X)在［-2,a］不可能有2個根，故不滿足;

/(-1)>01

若—l<a40時，要使“力在［-2,0有2個根,只需，,解得<?<0；

/(?)<02

若一2<aW—1時，/(x)在［—2,a］上單調遞增，最多只有1個零點，不滿足題意;

綜上，實數。的范圍為-LsaWO.

2

故答案為：一了。

【點睛】

本題考查利用導數研究函數的零點個數問題，涉及到函數的周期性、分類討論函數的零點，是一道中檔題.

15.--

2

【解析】

由/(x)是偶函數可得x>0時恒有/(—x)=/(%),根據該恒等式即可求得。c的值，從而得到，令，=/(x),

可解得A,B,。三點的橫坐標，根據A8=3?？闪嘘P于/的方程，解出即可.

【詳解】

解：因為f(x)是偶函數，所以x>0時恒有/(一幻=/(幻，gp2x2-bx+c=ax2-4x-l,

所以(a—2)x2+(/?-4)x—c—1=0>

a—2=0

所以<匕-4=0,解得。=2,b=4,c=-l；

c+l=0

2d—4x—1,x..0

所以f(x)=<

2x2+4x-l,x<0

由f=2d+4x-l,即2d+4x-l-f=0,解得x=T±「j2f+6；

-—

故xA=1—J2t+6,4=-1+5J2t+6.

由1=2丁-4》-1,8P2x2-4A-l-r=0,解得x=l士;,2r+6.

故%=1-gJ2f+6,xD=1+—>j2t+6.

因為AB=BC,所以乙一乙=七一乙，即\/2f+6=2-j2f+6,解得》=-3,

故答案為：—-.

2

【點睛】

本題考查函數奇偶性的性質及二次函數的圖象、性質，考查學生的計算能力，屬中檔題.

16.之

5

【解析】

聯立直線與拋物線方程求出交點坐標，再利用定積分求出陰影部分的面積，利用梯形的面積公式求出S"。，最后根

據幾何概型的概率公式計算可得；

【詳解】

y=x2[x=2fx=-1-八

解：聯立廠解得，或1，即8(2,4),C(-l,l),D(-1,O),A(2,0),

y=x+2[y=4[y=i

2

陰影=j[(x+2)-巧公=吳+2%一=5,S^CD=(l+4)x3xl=y

-1一.一

9

2

3

故答案為：-

【點睛】

本題考查幾何概型的概率公式的應用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析；(2)亞.

3

【解析】

(1)分斜率為0,斜率不存在，斜率不為0三種情況討論，設。4的方程為>=依，可求解得到|OAf=;言，

|。8『=2+2/，可得。到AB的距離為1,即得證；

12+2女2

(2)表示△498的面積為S=；；|Q4|-|O8|=/,利用均值不等式，即得解.

【詳解】

(1)由題意，橢圓C的焦點在x軸上，且匕=c=l,所以及.

所以橢圓C的方程為三+產=1.

2

由點B在直線y=啦上，且。4_L05知。4的斜率必定存在，

當。4的斜率為0時，|OA|=a,\OB\=y[2,

于是|AB|=2,。到AB的距離為1,直線AB與圓f+>21相切.

9

當。4的斜率不為0時，設。4的方程為了=丘，與5+9=1聯立得(1+2F)/=2,

由八]2_222&-II-3JTIA|22+2氏2

所以4二■;―T7T>y]=----7，從而04「二------7?

1+2&2人1+2廿1+2公

而。3J_Q4,故QB的方程為％=一6，而3在)，=后上，故x=_叵k，

從而|。*2+2也于是高+蘇=1.

此時，。到AB的距離為1,直線與圓龍2+丁=1相切.

綜上，直線與圓f+y2=i相切.

(2)由(1)知，AAQB的面積為

12+2左21+(1+2公U1

51J1+2A:?

上式中，當且僅當k=0等號成立，所以AAOB面積的最小值為1.

此時，點A在橢圓的長軸端點，8為(0,0).

不妨設A為長軸左端點，則直線AB的方程為了=%+血，

代入橢圓C的方程解得先,=2包

即_)4=1,^=|-所以|0。|=半?

【點睛】

本題考查了直線和橢圓綜合，考查了直線和圓的位置關系判斷，面積的最值問題，考查了學生綜合分析，數學運算能

力，屬于較難題.

18.(1)土+片=1；(2)當％工,+%%=0時，點O到直線MN的距離為定值空I.

437

【解析】

(1)耳用的面積最大時，P是短軸端點，由此可得歷=6，再由離心率及〃=￡+，可得a,b,從而得橢圓

方程；

(2)在直線MN斜率存在時，設其方程為.'，="+加，現橢圓方程聯立消元()')后應用韋達定理得怎+々，％毛，

注意/>0,一是計算玉々+凹必，二是計算原點到直線MN的距離，兩者比較可得結論.

【詳解】

(1)因為。在橢圓上，當P是短軸端點時，P到X軸距離最大，此時公尸耳工面積最大，所以;x2cxb=bc=C，

be=6

a=2

c_1,解得,=石,

由＜

a2

C=1

a2=b2+c2

92

所以橢圓方程為土+匕=1.

43

m\nr2

(2)在玉wx,時，設直線MN方程為、="+加，原點到此直線的距離為"=/,，即/

Jl+k2\+k2

y=kx+m

由,x2y2，得（3+4攵2）/+8的a+4>—12=0,

143

2222

A=Mkm-4（3+4左2）（4加2_]2）>0,m<4k+3，

8km4m2-12

所以％+x=—XiX2~~，

23+4公1-3+4k2

2

xtx2+y{y2-x,x2+（kxi+m）（kx2+m）=（l+k}xix2+km{x}+x2）+nr

4m2-127川一12（公+1）

=（1+攵2）2

3+4公3+4公3+4k2

所以當玉工2+y％=0時，加2=?(1+公)，筋=4.=口，"=冬包為常數.

71+k77

若％=工2，則弘=一必，修々+必必=x；-y：=°，x；=y:,/=一,d=|R=r——，

7117

綜上所述，當玉々+,%=()時，點0到直線MN的距離為定值上叵.

7

【點睛】

本題考查求橢圓方程與橢圓的幾何性質,考查直線與橢圓的位置關系，考查運算求解能力.解題方法是“設而不求”法.在

直線與圓錐曲線相交時常用此法通過韋達定理聯系已知式與待求式.

19.（1）—+y2=l；（2）見解析

4-

【解析】

2b2

（1）根據已知可得竺=1,結合離心率和。，仇c關系，即可求出橢圓W的標準方程；

a

（2）CD斜率不為零，設CO的方程為+與橢圓方程聯立，消去x,得到C,?？v坐標關系，求出8c方

程，令x=4求出M坐標，要證A、D、加三點共線，只需證3"一"”=0,將心/,一心,“分子用縱坐標表示,

即可證明結論.

【詳解】

22

（1）由于02=/一從，將X=-C代入橢圓方程=+4=1,

CTb2

得了=±工，由題意知祖=1,即a=2〃.

aa

又e=±=&,所以a=2,b=L

a2

r2

所以橢圓W的方程為—+/=1.

4

（2）解法一：

依題意直線8斜率不為0,設co的方程為X=〃?y+1,

x-my+\

聯立方程,Y

消去x得(〃/+4)丁+2my-3=0，

—+/=1

14?

由題意，得/>0恒成立，設。（孫>2），

bi?2m3

所以X+%=一->x%=一一;-7

ITT+4ITT+4

直線CB的方程為y=-A;（x-2）.令x=4,得知（4,一馮）.

玉一2玉_2

又因為4—2,0）,。（々，必），

則直線AD,AM的斜率分別為原。=上7，卜,.=豕）1、，

x2+23（X|-2）

21_3%a-2)一y(12+2)

所以-^AM

X)+23(百一2)3(X—2)(^2+2)

上式中的分子3y2(*-2)—%(x2+2)=3%。孫一1)一X(加％+3)

，心“一的M=0.所以A，D,M三點共線?

解法二：

當直線CO的斜率攵不存在時，由題意，得CO的方程為x=l,

代入橢圓卬的方程，得C(l,立)，0(1,-立)，

22

直線CB的方程為y=一日(x-2).

則M(4,-G),AM=(6,-G)，AD=(3,-—),

所以布=2?方，即A,D,"三點共線.

當直線CD的斜率攵存在時，

設cr＞的方程為'=&"-1)(%H0),C(M，y),。(々,〉2)，

'y=k(x-l),

聯立方程’Y消去y,得(4/+1)/-8公》+4/一4=(

~+rT，

I4

“24*2—4

由題意，得』〉0恒成立，故石+看=—"，％々=竺一?

直線CB的方程為y=4X(x-2).令x=4,得M(4,2\).

須一2玉一2

又因為A(—2,0),D(x2,y2)9

則直線AD,AM的斜率分別為心°=一三，kAM=,

入2+23(玉一2)

213)，2」-2)一%(々+2)

所以心。一心”=

9+23(Xj-2)3(x)-2)(X2+2)

上式中的分子3%(%-2)-y(w+2)=-1)(西一2)—2(%—1)(工2+2)

4k2-4

=2辰］三一5%(%+*)+84=2kx―：----5kx---+8女=0

4k~+14A:+1

所以怎。-腦=0.

所以A,D,M三點共線.

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系，要熟練掌握根與系數關系，設而不求方法解決相交弦問題，考查

計算求解能力，屬于中檔題.

20.(1)a?=2n(2)4=2+(〃-1)?2"+1

【解析】

(1)用等比數列的首項和公比分別表示出已知條件，解方程組即可求得公比，代入等比數列的通項公式即可求得結果;

(2)把(1)中求得的結果代入瓦=a"?log2a",求出瓦”利用錯位相減法求出A,.

【詳解】

⑴設數列｛%｝的公比為夕，

由題意知：2(%+2)=4+4，

<y3—2g2+<7