第十二章概率與統計§12.1隨機事件、古典概型與幾何概型高考理數

(課標Ⅲ專用)五年高考A組

統一命題·課標卷題組考點一古典概型(2018課標全國Ⅱ,8,5分)我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.

哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”,如30=7+23.在不超過30的素

數中,隨機選取兩個不同的數,其和等于30的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C本題主要考查古典概型.不超過30的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個,從這10個素數中隨機選取兩個不同的數,

有

=45種情況,其和等于30的情況有3種,則所求概率等于

=

.故選C.方法總結解決關于古典概型的概率問題關鍵是正確求出基本事件的總數和所求事件包含

的基本事件數.(1)當基本事件的總數較少時,可用列舉法把所有基本事件一一列舉出來.(2)注

意區分排列與組合,正確使用計數原理.考點二對立事件與互斥事件的概率(2015課標Ⅱ,18,12分)某公司為了解用戶對其產品的滿意度,從A,B兩地區分別隨機調查了20

個用戶,得到用戶對產品的滿意度評分如下:A地區:6273819295857464537678869566977888827689B地區:7383625191465373648293486581745654766579(1)根據兩組數據完成兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩地區滿意度評分

的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結論即可);A地區

B地區

4

5

6

7

8

9

(2)根據用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級:記事件C:“A地區用戶的滿意度等級高于B地區用戶的滿意度等級”.假設兩地區用戶的評價

結果相互獨立.根據所給數據,以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率,求C的概率.滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意解析(1)兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖如下:A地區

B地區

3642688643928651755245678968136424553346932113通過莖葉圖可以看出,A地區用戶滿意度評分的平均值高于B地區用戶滿意度評分的平均值;A

地區用戶滿意度評分比較集中,B地區用戶滿意度評分比較分散.(2)記CA1表示事件:“A地區用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”;CA2表示事件:“A地區用戶的滿意度等級為非常滿意”;CB1表示事件:“B地區用戶的滿意度等級為不滿意”;CB2表示事件:“B地區用戶的滿意度等級為滿意”,則CA1與CB1獨立,CA2與CB2獨立,CB1與CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所給數據得CA1,CA2,CB1,CB2發生的頻率分別為

,

,

,

,故P(CA1)=

,P(CA2)=

,P(CB1)=

,P(CB2)=

,P(C)=

×

+

×

=0.48.考點三幾何概型1.(2018課標全國Ⅰ,10,5分)下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個

半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍

成的區域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,

Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則

()A.p1=p2

B.p1=p3

C.p2=p3

D.p1=p2+p3

答案

A本題主要考查幾何概型概率的求法.不妨設BC=5,AB=4,AC=3,則△ABC三邊所圍成的區域Ⅰ的面積S1=

×3×4=6,區域Ⅲ的面積S3=

×

-S1=

-6,區域Ⅱ的面積S2=

×22+

×

-

=6,所以S1=S2>S3,由幾何概型的概率公式可知p1=p2>p3,故選A.方法總結與面積有關的幾何概型的解法求與面積有關的幾何概型的概率時,關鍵是弄清某事件所有結果對應的平面區域的形狀并能

正確計算面積.必要時可根據題意構造兩個變量,利用平面直角坐標系,找到全部試驗結果構成

的平面圖形及某事件所有結果構成的平面圖形,以便求解.2.(2017課標全國Ⅰ,2,5分)如圖,正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓

中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點,則此點取自

黑色部分的概率是

()

A.

B.

C.

D.

答案

B本題考查幾何概型.設正方形的邊長為2,則正方形的內切圓半徑為1,其中黑色部分和白色部分關于正方形的中心

對稱,則黑色部分的面積為

,所以在正方形內隨機取一點,此點取自黑色部分的概率P=

=

,故選B.3.(2016課標全國Ⅰ,4,5分)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發車,小明在7:50至8:30之間到達發車

站乘坐班車,且到達發車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B解法一:7:30的班車小明顯然是坐不到了.當小明在8:00前到達,或者8:20之后到達,

他等車的時間將不超過10分鐘,故所求概率為

=

.故選B.解法二:當小明到達車站的時刻超過8:00,但又不到8:20時,等車時間將超過10分鐘,其他時刻到

達車站時,等車時間將不超過10分鐘,故等車時間不超過10分鐘的概率為1-

=

.思路分析根據題意作出時間軸圖象,小明到達時間點落在AB段內,而他到達的時間在線段

AC或者BD內時,才會保證等車時間不超過10分鐘.

B組

自主命題·省(區、市)卷題組考點一古典概型1.(2017山東,8,5分)從分別標有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張.則抽

到的2張卡片上的數奇偶性不同的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C本題主要考查古典概型.由題意可知依次抽取兩次的基本事件總數n=9×8=72,抽到的2張卡片上的數奇偶性不同的基

本事件個數m=

=40,所以所求概率P=

=

=

.故選C.方法技巧古典概型中基本事件個數的探求方法:①枚舉法:適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉;②樹狀圖法:適用于對較為復雜的問題中的基本事件的探求,注意對有序問題的基本事件的探求;③排列、組合法:在求一些較為復雜的基本事件時,可利用排列、組合知識求出基本事件個數.2.(2015廣東,4,5分)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球,其中有10個白球,5個紅球.從袋中

任取2個球,所取的2個球中恰有1個白球,1個紅球的概率為

()A.

B.

C.

D.1答案

B從15個球中任取2個球,取法共有

種,其中恰有1個白球,1個紅球的取法有

×

種,所以所求概率為P=

=

,故選B.3.(2019江蘇,6,5分)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務,則選出的2名同

學中至少有1名女同學的概率是

.答案

解析本題主要考查了古典概型和古典概型概率的計算方法,考查學生的應用意識和運算求

解能力,考查的核心素養是邏輯推理和數學運算.解法一:記3名男同學分別為a1、a2、a3,2名女同學分別為b1、b2,從這5名同學中選出2名同學的

選法如下:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10種,其中至少有1

名女同學的選法如下:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7種,故所求概率P=

.解法二:從3名男同學和2名女同學中任選2名同學共有

=10種選法,其中選出的2名同學都是男同學的選法有

=3種,則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率P=1-

=

.解后反思解決古典概型概率問題的關鍵是不重不漏地列出所有基本事件,既可以從正面直

接求解,也可以從反面找對立事件來求解.4.(2019上海,10,5分)某三位數密碼,每位數字可在0—9這10個數字中任選一個,則該三位數密

碼中,恰有兩位數字相同的概率是

.答案

解析設恰有兩位數字相同為事件A,解法一:P(A)=

=

.解法二:P(A)=1-

=

.易錯警示所有基本事件的個數為103,而非

.5.(2018上海,9,5分)有編號互不相同的五個砝碼,其中5克、3克、1克砝碼各一個,2克砝碼兩個,

從中隨機選取三個,則這三個砝碼的總質量為9克的概率是

(結果用最簡分數表示).答案

解析本題主要考查古典概型的概率計算.記5克、3克、1克砝碼分別為5、3、1,兩個2克砝

碼分別為2a,2b,則從這五個砝碼中隨機選取三個,有以下選法:(5,3,1),(5,3,2a),(5,3,2b),(5,1,2a),

(5,1,2b),(5,2a,2b),(3,1,2a),(3,1,2b),(3,2a,2b),(1,2a,2b),共10種,其中滿足三個砝碼的總質量為9克

的有(5,3,1),(5,2a,2b),共2種,故所求概率為P=

=

.6.(2018江蘇,6,5分)某興趣小組有2名男生和3名女生,現從中任選2名學生去參加活動,則恰好

選中2名女生的概率為

.答案

解析本題考查古典概型.解法一:把男生編號為男1,男2,女生編號為女1,女2,女3,則從5名學生中任選2名學生有:男1男2,男1

女1,男1女2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10種情況,其中選中2名女生有3種

情況,則恰好選中2名女生的概率為

.解法二:所求概率P=

=

.易錯警示在使用古典概型的概率公式時,應注意:(1)要判斷該概率模型是不是古典概型;(2)

分清基本事件總數n與事件A包含的基本事件數m,常用列舉法把基本事件一一列舉出來,再利

用公式P(A)=

求出事件A發生的概率,列舉時盡量按某一順序,做到不重復、不遺漏.7.(2016江蘇,7,5分)將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩

具)先后拋擲2次,則出現向上的點數之和小于10的概率是

.答案

解析先后拋擲2次骰子,所有可能出現的情況可用數對表示為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),……(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36個.其中出現向上的點數之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6個.從而出現向上的

點數之和小于10的數對共有30個,故所求概率P=

=

.8.(2018天津,16,13分)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24,16,16.現采用分層

抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調查.(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數,求隨機變量X的分布列與數學期望;(ii)設A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發生的概率.解析本題主要考查隨機抽樣、離散型隨機變量的分布列與數學期望、互斥事件的概率加

法公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽

取7人,因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(2)(i)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=

(k=0,1,2,3).所以,隨機變量X的分布列為X0123P

隨機變量X的數學期望E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

=

.(ii)設事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取

的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=B∪C,且B與C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=

.所以,事件A發生的概率為

.名師點睛超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到某類個體的個數.超幾何分

布的特點:(1)考察對象分兩類;(2)已知各類對象的個數;(3)從中抽取若干個個體,考察某類個體個數X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質是古典概型.考點二對立事件與互斥事件的概率1.(2018北京,17,12分)電影公司隨機收集了電影的有關數據,經分類整理得到下表:好評率是指:一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值.假設所有電影是否獲得好評相互獨立.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率;(3)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“ξk=1”表示第k類

電影得到人們喜歡,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關系.電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1解析(1)由題意知,樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25=50.故所求概率是

=0.025.(2)設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”,事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”.故所求概率為P(A

+

B)=P(A

)+P(

B)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由題意知:P(A)估計為0.25,P(B)估計為0.2.故所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.解后反思古典概型的概率以及方差的求解:在使用古典概型的概率公式時,應該注意:(1)要判斷該概率模型是不是古典概型;(2)先分清基

本事件的總數n與事件A中包含的結果數m,再利用公式P(A)=

求出事件A發生的概率.在求方差時,要學會判斷隨機變量是不是服從特殊分布,若服從,則利用特殊分布的方差公式求解.2.(2015北京,16,13分)A,B兩組各有7位病人,他們服用某種藥物后的康復時間(單位:天)記錄如

下:A組:10,11,12,13,14,15,16;B組:12,13,15,16,17,14,a.假設所有病人的康復時間互相獨立,從A,B兩組隨機各選1人,A組選出的人記為甲,B組選出的

人記為乙.(1)求甲的康復時間不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率;(3)當a為何值時,A,B兩組病人康復時間的方差相等?(結論不要求證明)解析設事件Ai為“甲是A組的第i個人”,事件Bj為“乙是B組的第j個人”,i,j=1,2,…,7.由題意可知P(Ai)=P(Bj)=

,i,j=1,2,…,7.(1)由題意知,事件“甲的康復時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5人,或者第6人,或者第

7人”,所以甲的康復時間不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=

.(2)設事件C為“甲的康復時間比乙的康復時間長”.由題意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)

=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=

.(3)a=11或a=18.考點三幾何概型1.(2015陜西,11,5分)設復數z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為

()A.

+

B.

-

C.

-

D.

+

答案

B∵|z|≤1,∴(x-1)2+y2≤1,表示以M(1,0)為圓心,1為半徑的圓及其內部,該圓的面積為

π.易知直線y=x與圓(x-1)2+y2=1相交于O(0,0),A(1,1)兩點,如圖:

∵∠OMA=90°,∴S陰影=

-

×1×1=

-

.故所求的概率P=

=

=

-

.2.(2017江蘇,7,5分)記函數f(x)=

的定義域為D.在區間[-4,5]上隨機取一個數x,則x∈D的概率是

.答案

解析本題考查幾何概型.由6+x-x2≥0,得-2≤x≤3,即D=[-2,3],∴P(x∈D)=

=

.3.(2016山東,14,5分)在[-1,1]上隨機地取一個數k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發生

的概率為

.答案

解析

直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交的充要條件為

<3,解之得-

<k<

,故所求概率為P=

=

.思路分析直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交的充要條件為圓心(5,0)到直線y=kx的距離小于半徑,

從而求得k的范圍,再利用幾何概型的概率公式來求解概率.C組

教師專用題組考點一古典概型1.(2014課標Ⅰ,5,5分)4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日

都有同學參加公益活動的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

D由題意知4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動有24種情況,而4

位同學都選周六有1種情況,4位同學都選周日有1種情況,故周六、周日都有同學參加公益活

動的概率P=

=

=

,故選D.思路分析“周六、周日都有同學參加”的對立事件是“周六、周日兩天中有一天無同學

參加”,而每位同學有兩種選擇,共24種.周六、周日兩天中有一天無同學參加的情況有2種,故

所求概率P=

=

.2.(2014江蘇,4,5分)從1,2,3,6這4個數中一次隨機地取2個數,則所取2個數的乘積為6的概率是

.答案

解析從1,2,3,6這4個數中一次隨機地取2個數,有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6種情況.滿足條件的有(2,3),(1,6),共2種情況.故P=

=

.3.(2014江西,12,5分)10件產品中有7件正品、3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概

率是

.答案

解析

從10件產品中任取4件有

種取法,取出的4件產品中恰有1件次品有

種取法,則所求的概率P=

=

.4.(2016天津,16,13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數為1,2,3的

人數分別為3,3,4.現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”,求事件A發生的概率;(2)設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數學期望.解析(1)由已知,有P(A)=

=

.所以,事件A發生的概率為

.(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

.所以,隨機變量X的分布列為X012P

隨機變量X的數學期望E(X)=0×

+1×

+2×

=1.考點二對立事件與互斥事件的概率(2013北京,16,13分)下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖.空氣質量指數小于100

表示空氣質量優良,空氣質量指數大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月13日

中的某一天到達該市,并停留2天.(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率;(2)設X是此人停留期間空氣質量優良的天數,求X的分布列與數學期望;(3)由圖判斷從哪天開始連續三天的空氣質量指數方差最大?(結論不要求證明)解析設Ai表示事件“此人于3月i日到達該市”(i=1,2,…,13).根據題意,P(Ai)=

,且Ai∩Aj=?(i≠j).(1)設B為事件“此人到達當日空氣重度污染”,則B=A5∪A8.所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=

.(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=

,P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=

,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=

.所以X的分布列為X012P

故X的期望EX=0×

+1×

+2×

=

.(3)從3月5日開始連續三天的空氣質量指數方差最大.考點三幾何概型1.(2014湖北,7,5分)由不等式組

確定的平面區域記為Ω1,不等式組

確定的平面區域記為Ω2,在Ω1中隨機取一點,則該點恰好在Ω2內的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

D區域Ω1為直角△AOB及其內部,S△AOB=

×2×2=2.區域Ω2是直線x+y=1和x+y=-2夾成的條形區域.由題意得所求的概率P=

=

=

.故選D.

2.(2015福建,13,4分)如圖,點A的坐標為(1,0),點C的坐標為(2,4),函數f(x)=x2.若在矩形ABCD內

隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于

.

答案

解析由題圖可知S陰影=S矩形ABCD-

x2dx=1×4-

=4-

=

,則所求事件的概率P=

=

=

.A組

2017—2019年高考模擬·考點基礎題組三年模擬考點一古典概型1.(2019四川蓉城名校聯盟第二次聯考,9)2只大熊貓與3只熊貓機器人站成一排表演節目,則3

只熊貓機器人中有且只有2只熊貓機器人相鄰的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B先捆綁再插空,P=

=

.故選B.2.(2018廣西桂林、北海、崇左聯合調研考試,5)從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表,甲被

選中的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表,甲被選中的概率是

=

,故選B.3.(2019四川成都石室中學4月月考,13)若采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊擊中目標的

概率.先由計算器給出0到9之間取整數的隨機數,指定0,1,2,3表示沒有擊中目標,4,5,6,7,8,9表示

擊中目標,以4個隨機數為一組,代表射擊4次的結果,經隨機模擬產生了20組如下的隨機數:73270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據以上數據估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為

.答案

解析由隨機數表可知,共有20個隨機事件,其中該運動員射擊4次至少擊中3次有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共7個,因此估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為

.考點二對立事件與互斥事件的概率(2017云南五校聯考,9)甲、乙兩名同學參加一項射擊比賽游戲,其中任何一人每射擊一次擊中

目標得2分,未擊中目標得0分.若甲、乙兩人射擊的命中率分別為

和P,且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為

.假設甲、乙兩人射擊互不影響,則P的值為

()A.

B.

C.

D.

答案

C設“甲射擊一次,擊中目標”為事件A,“乙射擊一次,擊中目標”為事件B,則P(A)=

,P(B)=P,則

=P(A

+

B)=

(1-P)+

×P,解得P=

.故選C.思路分析

甲、乙相互獨立,由對立事件的概率公式即可算得甲擊中乙不擊中,甲不擊中乙擊

中的概率,即可算得P的值.考點三幾何概型1.(2019廣西桂林、梧州、貴港、玉林、崇左、北海聯考,5)現模仿銅錢制作一個半徑為2cm

的圓形銅片,中間有邊長為1cm的正方形孔.若隨機向銅片上滴一滴水(水滴的大小忽略不計),

則水滴正好落入孔中的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

D因為銅片的面積為π×22=4π,中間方孔的面積為1,則所求概率為

,故選D.2.(2019第一次全國大聯考(課標Ⅲ卷),8)已知一只螞蟻在底面半徑為5cm,高為12cm的圓錐側

面爬行,若螞蟻在圓錐側面上任意一點出現的可能性相等,且將螞蟻看作一個點,則螞蟻距離圓

錐頂點超過5cm的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

C易得圓錐的母線長為13cm,當螞蟻距離圓錐頂點不超過5cm時,螞蟻應爬行在底面

半徑為

cm,母線長為5cm的小圓錐側面上,由幾何概型可知,螞蟻距離圓錐頂點超過5cm的概率為1-

=

,故選C.3.(2019四川宜賓二診,8)已知b是區間[-2

,2

]上的隨機數,直線y=-x+b與圓x2+y2=1有公共點的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C圓x2+y2=1的圓心為點(0,0),半徑r=1,圓心到直線y=-x+b的距離d=

=

,直線與圓有公共點,則d≤r,即

≤1,解得-

≤b≤

,所以直線與圓有公共點的概率為

=

.故選C.4.(2018廣西桂林、賀州聯考,7)太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖案,它形象地表達了陰陽

輪轉,相反相成是萬物生成變化根源的哲理,展現了一種相互轉化,相對統一的形式美.按照太

極圖的構圖方法,在平面直角坐標系中,圓O被y=3sin

x的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案,其中小圓的半徑均為1,現在大圓內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率為

()

A.

B.

C.

D.

答案

D根據題意,大圓的直徑為y=3sin

x的周期,則T=

=8,大圓面積S=π×

=16π,一個小圓的面積S'=π×12=π,根據幾何概型概率公式可得在大圓內隨機取一點,此點取自陰影部分的

概率P=

=

=

,故選D.5.(2018四川成都畢業班摸底測試,9)小明在花店定了一束鮮花,花店承諾將在第二天早上7:30~

8:30之間將鮮花送到小明家.若小明第二天離開家去公司上班的時間在早上8:00~9:00之間,則

小明在離開家之前能收到這束鮮花的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

D設送花人到達的時間為x,小明離家去工作的時間為y,記小明離家前能收到鮮花為

事件A,以橫坐標表示鮮花送到時間,以縱坐標表示小明離家時間,建立平面直角坐標系,如圖,

根據題意,陰影區域內的點表示小明在離開家前能收到鮮花,即事件A發生,所以P(A)=1-

=

.故選D.

B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時間:20分鐘分值:25分選擇題(每小題5分,共25分)1.(2019廣西南寧二中、柳州高中第二次聯考,5)已知直角坐標系xOy中,O(0,0),A(1,0),B(1,2),C(0,2).設D是矩形區域OABC,E是D內位于函數y=

(x>0)圖象下方的陰影區域,從D內隨機取一個點M,則點M取自E內的概率為()

A.

B.

C.

D.

答